曲面形态连续介质有限变形理论一输运方程 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月21日 1知识要素 11相关变形刻画 性质1.1(当前物理构型中有向线元、有向面元的物质导数同其自身之间的关系) rp T d(4≈L.d 入),L全v 0×1(A,)=B.(0x(x 0∑0∑ l),B全0I-口⑧ 性质1.2(当前物理构型中有向线元、有向面元模的物质导数同其自身之间的关系) a(x=(r:D·T)出M)r=( d万 0∑0∑ 2. (A,p) 此处D盘D+L 称为曲面变形理论的变形率张量,T表示线元的指向 12输运方程 12.1第一类输运定理 将第四类变形刻画(性质1.2,第1页)结合微积分中第一类曲线、曲面积分的计算式,可容易 地获得“第一类输运定理” 1.物质线第一类输运定理 a 更dl (入)d入 更dl+/更(r:D.7)d
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论—输运方程 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 相关变形刻画 性质 1.1 (当前物理构型中有向线元、有向面元的物质导数同其自身之间的关系). 1. ˙ d t Σ dλ (λ) = L · d t Σ dλ (λ), L , V ⊗ Σ ; 2. ˙ ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ) = B · ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ), B , θI − Σ ⊗ V . 性质 1.2 (当前物理构型中有向线元、有向面元模的物质导数同其自身之间的关系). 1. ˙ d t Σ dλ R3 (λ) = (τ · D · τ ) d t Σ dλ R3 (λ), τ = d t Σ dλ (λ) d t Σ dλ R3 (λ) ; 2. ˙ ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ R3 (λ, µ) = θ ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ R3 (λ, µ), 此处 D , L + L ∗ 2 称为曲面变形理论的变形率张量, τ 表示线元的指向. 1.2 输运方程 1.2.1 第一类输运定理 将第四类变形刻画 (性质1.2, 第1页) 结合微积分中第一类曲线、曲面积分的计算式, 可容易 地获得 “第一类输运定理”. 1. 物质线第一类输运定理 d dt ∫ t C Φdl = d dt ∫ b a Φ d t Σ dλ R3 (λ)dλ = ∫ t C Φ˙ dl + ∫ t C Φ(τ · D · τ )dl. 1
曲面形态连续介质有限变形理论输运方程 谢锡麟 2.物质面第一类输运定理 dl do- d 0∑0∑ dt oH(A, H)o 122第二类输运定理 物质线第二类输运定理 d d derd=正/eax() =中回rdl+,回(L·r)dl d。=Pd2 d (入)⊙dλ T@重+(x·L)回更dl 2.物质面第二类输运定理 d 0∑0∑ d/2垂n=回 ( udo 更@nda+1.更回(B·n)do; 正/ d 0∑0∑ n⊙重do DAg( oa u(, p)oddo n吏d+(m·B)回n 2应用事例 3建立路径 为计算物质系统(物质线,物质面以及物质体)上张量场的第一类或第二类积分,首先按微 积分中曲线积分,曲面积分的计算方法将积分转化至参数域,由于参数域不随时间变化,故 对于时间的导数可以直接移至积分内(对参数域上的被积张量进行求导),结合变形刻画可 以将所有情形的参数域上的积分再转化至当前构型中物质系统上的积分,由此可建立所有 形式的输运定理 本讲稿获得输运定理的思想与方法基于微积分并利用严格形式的变形刻画,故分析过程及 结论完全严格
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -输运方程 谢锡麟 2. 物质面第一类输运定理 d dt ∫ t Σ Φdσ = d dt ∫ Dλµ Φ ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ R3 (λ, µ)dσ = ∫ t Σ Φ˙ dσ + ∫ t Σ θΦdσ. 1.2.2 第二类输运定理 1. 物质线第二类输运定理 d dt ∫ t C Φ } τdl = d dt ∫ b a Φ } d t Σ dλ (λ)dλ = ∫ t C Φ˙ } τdl + ∫ t C Φ } (L · τ )dl; d dt ∫ t C τ } Φdl = d dt ∫ b a d t Σ dλ (λ) } Φdλ = ∫ t C τ } Φ˙ dl + ∫ t C (τ · L ∗ ) } Φdl. 2. 物质面第二类输运定理 d dt ∫ t Σ Φ } ndσ = d dt ∫ Dλµ Φ } ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ)dσ = ∫ t Σ Φ˙ } ndσ + ∫ t Σ Φ } (B · n)dσ; d dt ∫ t Σ n } Φdσ = d dt ∫ Dλµ ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ) } Φdσ = ∫ t Σ n } Φ˙ dσ + ∫ t Σ (n · B∗ ) } Φdσ. 2 应用事例 3 建立路径 • 为计算物质系统 (物质线, 物质面以及物质体) 上张量场的第一类或第二类积分, 首先按微 积分中曲线积分, 曲面积分的计算方法将积分转化至参数域, 由于参数域不随时间变化, 故 对于时间的导数可以直接移至积分内 (对参数域上的被积张量进行求导), 结合变形刻画可 以将所有情形的参数域上的积分再转化至当前构型中物质系统上的积分, 由此可建立所有 形式的输运定理. • 本讲稿获得输运定理的思想与方法基于微积分并利用严格形式的变形刻画, 故分析过程及 结论完全严格. 2
