曲面局部参数化 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 1.1曲面上标架运动方程 曲面上协变基的运动方程为 +bin= li 9+ bi 9k 曲面上逆变基的运动方程为 (ay) kg an i arj 1.2度量张量与曲率张量的同时对角化 根据同时对角化定理,曲面第一基本形式G是对称正定矩阵,曲面第二基本形式B是对称 矩阵,因此唯一存在一个非奇异矩阵S∈Rmxm,使得 S BS 此处λ满足det(B-AG)=0,i=1,…,m. 13曲面局部参数化 曲面的一般参数表示 D Dx 3 ∑(xx) X
张量分析讲稿谢锡麟 曲面局部参数化 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 曲面上标架运动方程 曲面上协变基的运动方程为 ∂gi ∂xj Σ (xΣ) = Γ k ijgk + bijn = Γij,kg k + bijn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 曲面上逆变基的运动方程为 ∂g i ∂xj Σ (xΣ) = −Γ i jkg k + b i jn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 1.2 度量张量与曲率张量的同时对角化 根据同时对角化定理, 曲面第一基本形式 G 是对称正定矩阵, 曲面第二基本形式 B 是对称 矩阵, 因此唯一存在一个非奇异矩阵 S ∈ R m×m, 使得 S TGS = Im, S TBS = λ1 . . . λm . 此处 λi 满足 det(B − λiG) = 0, i = 1, · · · , m. 1.3 曲面局部参数化 由曲面的一般参数表示 R m ⊃ Dx ∋ xΣ = x 1 Σ . . . x m Σ 7→ Σ(xΣ) = X1 . . . Xm+1 ∈ R m+1 , 1
曲面局部参数化 谢锡麟 可有∑(xx)各个分量的无限小增量公式 x(x+△xx)=X(xx)+DXa(x)△x+(△x)Hxa(x)△x+o(△xylm =x(x)+△(y)+aPxa (x)△x△m3+o°(1△ax最m) 故有 J(a+△rx)=(s)+a(2x)a+b△4xaPx (Es)ia +o(△m)ia =(2)+△x9(x)+△n2△x(2x)+o1△ms1m) =X(a2)+△29()+24△((()+1(m(a) s)+(△+2△△)) b1(2)△n△nn(2)+o(△xmm) 由于{94(x)=1非正交,故由上述形式不便获得曲面的局部形态.考虑到彐S(x)∈Rmxm 非奇异,满足 ES bu(ir)s 定义 则{}1为切空间T∑的单位正交基故引入另一参数坐标yx=S-xx.由于参数间的变化 为线性变换,yx同xx有全局意义的微分同胚存在,因此可有 ∑(yy)全∑((yy)=∑(Syx) 于是 (1…9)(ys)DS(s)=Dx(xs=(1…9n)( 其中(21(0)为单位正交基对应()()=Im∈Rmm 另有 y()( m08030)=-(06m (n)3) (ys)ay> O)(ys)=-(D28)(Dn(2
张量分析讲稿谢锡麟 曲面局部参数化 谢锡麟 可有 Σ(xΣ) 各个分量的无限小增量公式: Xα ( ◦ xΣ + ∆xΣ) = Xα ( ◦ xΣ) + DXα ( ◦ xΣ)∆xΣ + 1 2 (∆xΣ) THXα ( ◦ xΣ)∆xΣ + o α (|∆xΣ| 2 Rm) = Xα ( ◦ xΣ) + ∆x i Σ ∂Xα ∂xi Σ ( ◦ xΣ) + 1 2 ∂ 2Xα ∂xi Σ ∂xj Σ ( ◦ xΣ)∆x i Σ∆x j Σ + o α (|∆xΣ| 2 Rm), 故有 Σ( ◦ xΣ + ∆xΣ) = Σ( ◦ xΣ) + ∆x i Σ ∂Xα ∂xi Σ ( ◦ xΣ)iα + 1 2 ∆x i Σ∆x j Σ ∂ 2Xα ∂xi Σ ∂xj Σ ( ◦ xΣ)iα + o α (|∆xΣ| 2 Rm)iα = Σ( ◦ xΣ) + ∆x i Σgi ( ◦ xΣ) + 1 2 ∆x i Σ∆x j Σ ∂gj ∂xi Σ ( ◦ xΣ) + o(|∆xΣ| 2 Rm) = Σ( ◦ xΣ) + ∆x i Σgi ( ◦ xΣ) + 1 2 ∆x i Σ∆x j Σ ( Γ k ij ( ◦ xΣ)gk ( ◦ xΣ) + bij ( ◦ xΣ)n( ◦ xΣ) ) + o(|∆xΣ| 2 Rm) = Σ( ◦ xΣ) + ( ∆x k Σ + 1 2 Γ k ij ( ◦ xΣ)∆x i Σ∆x j Σ ) gk ( ◦ xΣ) + 1 2 bij ( ◦ xΣ)∆x i Σ∆x j Σn( ◦ xΣ) + o(|∆xΣ| 2 Rm). 由于 {gk ( ◦ xΣ)} m k=1 非正交, 故由上述形式不便获得曲面的局部形态. 考虑到 ∃S( ◦ xΣ) ∈ R m×m 非奇异, 满足 S T ( gij) ( ◦ xΣ)S = Im, S T ( bij) ( ◦ xΣ)S = λ1 . . . λm , 定义 ( gˆ1 · · · gˆm ) , ( g1 · · · gm ) S, 则 {gˆ} m i=1 为切空间 TxΣ 的单位正交基. 故引入另一参数坐标 yΣ = S −1xΣ. 由于参数间的变化 为线性变换, yΣ 同 xΣ 有全局意义的微分同胚存在, 因此可有 Σˆ (yΣ) , Σ(xΣ(yΣ)) = Σ(SyΣ). 于是 ( gˆ1 · · · gˆm ) (yΣ) , DΣˆ (yΣ) = DΣ(xΣ)S = ( g1 · · · gm ) (xΣ)S, 其中 {gˆi} m i=1( ◦ yΣ) 为单位正交基, 对应 ( gˆij) ( ◦ yΣ) = Im ∈ R m×m. 另有 ˆbij ( ◦ yΣ) , ( ∂gˆj ∂yi Σ ( ◦ yΣ), nˆ( ◦ yΣ) ) Rm+1 = − ( gˆj ( ◦ yΣ), ∂nˆ ∂yi Σ ( ◦ yΣ) ) Rm+1 , ( ˆbij) ( ◦ yΣ) = − gˆ T 1 . . . gˆ T m ( ◦ yΣ) ( ∂nˆ ∂y1 Σ · · · ∂nˆ ∂ym Σ ) ( ◦ yΣ) = −(DΣˆ ) T( ◦ yΣ)Dnˆ( ◦ yΣ), 2
曲面局部参数化 谢锡麟 式中n(yx)=n(xx(yx).考虑到 Dn(ys)= Dn(ay)Da(yx)=Dn(as)s 故有 (y)=-s(Dx))Dn()S=s(b3)()S 综上,可有 S6+4)=56)+(+2小M)9 (△ys)2(ay)(s2sn()+o(△v最 (02)+[△+0(△m:(+(△n( +o(△yxl最m) 现以{G(x)}=1U{ni(v)}作为Rm+1的单位正交基,{x4}m+1为对应的 Cartesian坐 标,则局部有 k=△+0(△yslm),k=1,…,m, Xm+=立A(△v)2+…+Mmn(△) =2[2(x)2+…+Am(+0(△ 2[A(2+…+M(]+0△xm) 亦即,在二阶精度下,曲面有局部 Monge型表示 ∈R Xm+ 受上述分析启发,引入曲面∑(x)∈Rm+1的另一参数{y}1,满足 Dyy(as)=s(asER 式中S(xx)∈Rmxm非奇异,成立 sT(a2)()(ex)=Lm,s(e3)(a)/)(s)=
张量分析讲稿谢锡麟 曲面局部参数化 谢锡麟 式中 nˆ(yΣ) = n(xΣ(yΣ)). 考虑到 Dnˆ(yΣ) = Dn(xΣ)DxΣ(yΣ) = Dn(xΣ)S, 故有 ( ˆbij) ( ◦ yΣ) = −S T(DΣ) T( ◦ xΣ)Dn( ◦ xΣ)S = S T ( bij) ( ◦ xΣ)S = λ1 . . . λm . 综上, 可有 Σˆ ( ◦ yΣ + ∆yΣ) = Σˆ ( ◦ yΣ) + ( ∆y k Σ + 1 2 Γˆk ij ( ◦ yΣ)∆y i Σ∆y j Σ ) gˆk ( ◦ yΣ) + 1 2 (∆yΣ) T ( ˆbij) ( ◦ yΣ)∆yΣnˆ( ◦ yΣ) + o(|∆yΣ| 2 Rm) = Σˆ ( ◦ yΣ) + [ ∆y k Σ + o k (|∆yΣ|Rm+1 ) ] gˆk ( ◦ yΣ) + 1 2 λk(∆y k Σ) 2nˆ( ◦ yΣ) + o(|∆yΣ| 2 Rm). 现以 {gˆk ( ◦ yΣ)} m k=1 ∪ {nˆ( ◦ yΣ)} 作为 R m+1 的单位正交基, {Xˆ k} m+1 k=1 为对应的 Cartesian 坐 标, 则局部有 Xˆ k = ∆y k Σ + o k (|∆yΣ|Rm), k = 1, · · · , m, Xˆ m+1 = 1 2 [ λ1(∆y 1 Σ) 2 + · · · + λm(∆y m Σ ) 2 ] = 1 2 [ λ1(Xˆ 1 ) 2 + · · · + λm(Xˆ m) 2 ] + o(|∆yΣ| 2 Rm) = 1 2 [ λ1(Xˆ 1 ) 2 + · · · + λm(Xˆ m) 2 ] + o(|∆Xˆ Σ| 2 Rm). 亦即, 在二阶精度下, 曲面有局部 Monge 型表示 R m ∋ Xˆ 1 . . . Xˆ m 7→ Xˆ 1 . . . Xˆ m Xˆ m+1 (Xˆ 1 , · · · , Xˆ m) = Xˆ 1 . . . Xˆ m 1 2 [ λ1(Xˆ 1 ) 2 + · · · + λm(Xˆ m) 2 ] ∈ R m+1 . 受上述分析启发, 引入曲面 Σ(x) ∈ R m+1 的另一参数 {y i Σ} m i=1, 满足 DyΣ(xΣ) = S −1 (xΣ) ∈ R m×m, 式中 S(xΣ) ∈ R m×m 非奇异, 成立 S T(xΣ) ( gij) (xΣ)S(xΣ) = Im, S T(xΣ) ( bij) (xΣ)S(xΣ) = λ1 . . . λm . 3
曲面局部参数化 谢锡麟 小(y)线 Xm+ Xm+l xx-线 线 工y r x-线 y-线 Figure1:曲面局部参数化示意 亦即S()为将(5)(x)和(h)(x)同时对角化的非奇异阵当S(x)是足够光滑,可 有参数变换yx(xy)为一定区域上的微分同胚.曲面二组参数所确定的局部基,如图1所示.由 92(yy) (yx)= axs - 9k(az), 即有 9n)(yx)=(91…gm)(x)D(ys)=(g1 S(as) 因此,根据 (ay)s(as)=I, 有{91(y)=:e1(yy)1为TE的单位正交基.亦即,∑(yx)所诱导的切平面的局部协变基 为单位正交基.考虑 △ 9;(y ),a(y y (yE)gk(as) says arl (y)buk as)
张量分析讲稿谢锡麟 曲面局部参数化 谢锡麟 O X1 Xm Xm+1 TxΣ Σ x i Σ-楫 gi (xΣ) x j Σ-楫 gj (xΣ) Σ(xΣ) O X1 Xm Xm+1 TyΣ Σ y i Σ-楫 ei(yΣ) y j ej (yΣ) Σ-楫 Σˆ (yΣ) x 1 Σ x i Σ xm Σ O x i Σ-楫 x j Σ-楫 xΣ = x 1 Σ . . . xm Σ DxΣ y 1 Σ y i Σ ym Σ O y i Σ-楫 y j Σ-楫 yΣ = y 1 Σ . . . ym Σ DyΣ Σ Σˆ y Figure 1: 曲面局部参数化示意 亦即 S(xΣ) 为将 ( gij) (xΣ) 和 ( bij) (xΣ) 同时对角化的非奇异阵. 当 S(xΣ) 是足够光滑, 可 有参数变换 yΣ(xΣ) 为一定区域上的微分同胚. 曲面二组参数所确定的局部基, 如图1所示. 由 gˆi (yΣ) , ∂Σˆ ∂yi Σ (yΣ) = ∂xk Σ ∂yi Σ ∂Σ ∂xk Σ (xΣ) = ∂xk Σ ∂yi Σ gk (xΣ), 即有 ( gˆ1 · · · gˆm ) (yΣ) = ( g1 · · · gm ) (xΣ)DxΣ(yΣ) = ( g1 · · · gm ) S(xΣ). 因此, 根据 S T(xΣ) ( gij) (xΣ)S(xΣ) = Im 有 {gˆi (yΣ) =: ei(yΣ)} m i=1 为 TyΣ 的单位正交基. 亦即, Σˆ (yΣ) 所诱导的切平面的局部协变基 为单位正交基. 考虑 ˆbij (yΣ) , ( ∂gˆj ∂yi Σ (yΣ), nˆ ) Rm+1 = − ( gj (yΣ), ∂nˆ ∂yi Σ (yΣ) ) Rm+1 = − ( ∂xk Σ ∂yj Σ (yΣ)gk (xΣ), ∂xi Σ ∂yi Σ (yΣ) ∂n ∂xl Σ (xΣ) ) Rm+1 = ∂xk Σ ∂yj Σ (yΣ) ∂xi Σ ∂yi Σ (yΣ) ( ∂gk ∂xl Σ (xΣ), n ) Rm+1 = ∂xk Σ ∂yj Σ (yΣ) ∂xi Σ ∂yi Σ (yΣ)blk(xΣ), 4
曲面局部参数化 谢锡麟 即有 (ys)=(Dae)(ys)(buk)(x)Das(yx sT(2)(e)(ss(s)= 综上,有 S(yx+△yx)=S(yx)+△+0(△ysm+)9k(yx)+Ak(yx)(△n(yx) +o(△ siRM+1) 现以{9(yx)=:e(vs)}1U{m(yx)}作为Rm+1的单位正交基,{Yk}m2+1为对应的 Cartesian 坐标,则局部有 Yk=△y+0(△ siRM+,k=1,……,m, ym+1=5x1(y2)(Y1)2+…+Amy)(Ym)2+o(△ym+ 2应用事例 3建立路径 基于曲面上标架运动方程,向量值映照的无限小增量公式可以获得曲面局部参数表示.进 一步,通过度量张量以及曲率张量同时对角化的结论可以定义曲面的新参数,对于于新参 数的曲面局部表示可以达到最简单的形式 最简形式下曲面切空间上的局部基为单位正交基,且局部基的指向“恰为”主法方向 ①获得主法方向以及局部参数化的核心数学机制是共同的度量张量与曲率张量的同时对角化
张量分析讲稿谢锡麟 曲面局部参数化 谢锡麟 即有 ( ˆbij) (yΣ) = (DxΣ) T(yΣ) ( blk) (xΣ)DxΣ(yΣ) = S T(yΣ) ( blk) (xΣ)S(xΣ) = λ1 . . . λm . 综上, 有 Σˆ (yΣ + ∆yΣ) = Σˆ (yΣ) + [ ∆y k Σ + o k (|∆yΣ|Rm+1 ) ] gˆk (yΣ) + 1 2 λk(yΣ)(∆y k Σ) 2nˆ(yΣ) + o(|∆yΣ|Rm+1 ). 现以 {gˆi (yΣ) =: ei(yΣ)} m i=1 ∪ {nˆ(yΣ)} 作为 R m+1 的单位正交基, {Yˆ k} m+1 k=1 为对应的 Cartesian 坐标, 则局部有 Yˆ k = ∆y k Σ + o k (|∆yΣ|Rm+1 ), k = 1, · · · , m, Yˆ m+1 = 1 2 [ λ1(yΣ)(Yˆ 1 ) 2 + · · · + λm(yΣ)(Yˆ m) 2 ] + o(|∆yΣ| 2 Rm+1 ). 2 应用事例 3 建立路径 • 基于曲面上标架运动方程, 向量值映照的无限小增量公式可以获得曲面局部参数表示. 进 一步, 通过度量张量以及曲率张量同时对角化的结论可以定义曲面的新参数, 对于于新参 数的曲面局部表示可以达到最简单的形式. • 最简形式下曲面切空间上的局部基为单位正交基, 且局部基的指向 “恰为” ➀主法方向. ➀ 获得主法方向以及局部参数化的核心数学机制是共同的度量张量与曲率张量的同时对角化. 5