度量张量与 Eddington张量 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 性质1.1(三阶 eddington张量分量同 Kronecker符号之间的关系) 626 663 2.“前前后后,内内外外” eijkEist =eject=8s5-8582 证明可通过直接计算,证明相关性质 首先显然有Ek=e1k√,e=es1,而根据向量三重积的计算方法有 66 =[i,,约=81882 同理,有 erst=ir, is, ith 根据行列式的性质det(AB)= det a det B,可得 x=en=|品吲6=8l 碴嵴 2.根据(1)中的结论与行列式的定义可得
张量分析讲稿谢锡麟 度量张量与 Eddington 张量 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 性质 1.1 (三阶 Eddington 张量分量同 Kronecker 符号之间的关系). 1. ε ijkεrst = e ijkerst = δ i r δ i s δ i t δ j r δ j s δ j t δ k r δ k s δ k t ; 2. “前前后后, 内内外外” ε ijkεist = e ijkeist = δ j s δ k t − δ k s δ j t . 证明 可通过直接计算, 证明相关性质. 1. 首先显然有 εijk = eijk√g, ε rst = e rst √ 1 g , 而根据向量三重积的计算方法有 e ijk = [i i , i j , i k ]R3 = δ i 1 δ i 2 δ i 3 δ j 1 δ j 2 δ j 3 δ k 1 δ k 2 δ k 3 . 同理, 有 erst = [ir, is, it ]R3 = δ 1 r δ 1 s δ 1 t δ 2 r δ 2 s δ 2 t δ 3 r δ 3 s δ 3 t . 根据行列式的性质 det(AB) = det A det B, 可得 ε ijkεrst = e ijkerst = δ i 1 δ i 2 δ i 3 δ j 1 δ j 2 δ j 3 δ k 1 δ k 2 δ k 3 δ 1 r δ 1 s δ 1 t δ 2 r δ 2 s δ 2 t δ 3 r δ 3 s δ 3 t = δ i r δ i s δ i t δ j r δ j s δ j t δ k r δ k s δ k t . 2. 根据 (1) 中的结论与行列式的定义可得 ε ijkεrst = δ i r δ i s δ i t δ j r δ j s δ j t δ k r δ k s δ k t = ∑ σ∈P3 sgnσδσ(i) r δ σ(j) s δ σ(k) t , 1
度量张量与 Eddington张量 谢锡麟 所以有 eet=∑ sonata(8g)( 可见,只有当σ= 和 时,才能保证求和式中第一项(非零 i k 如此可得 66-66 定理1.2(Rici引理).本书按度量张量及 Eddington张量沿坐标曲线变化率的观点给出相 关结论 度量张量沿坐标曲线的变化率为零 o(a)=a(09189)(a)=Vy(a)()89(a)=0∈(R 2. Eddington张量沿坐标曲线的变化率为零: b(a)=a(91899)( =Vve(x)g1(x)891(x)89(a)=0∈3(R3 证明可通过直接计算,证明相关结论 1.按协变导数的定义,有 V19i=8 (a)-Tigsi-Tiigis Tili-l Til,j+Iili-lil,j-T. i=0; Vigy=Vig9'gst)=gst VI(g) =gt(Vg°)g2+g(vg2) 8f V19+0f VIg= Vig+Vig=0 V=a2(a)+-=l-=0
张量分析讲稿谢锡麟 度量张量与 Eddington 张量 谢锡麟 所以有 ε ijkεist = ∑ σ∈P3 sgnσδσ(i) i δ σ(j) s δ σ(k) t . 可见, 只有当 σ = ( i j k i j k) 和 σ = ( i j k i k j) 时, 才能保证求和式中第一项 δ σ(i) i 非零, 如此可得 ε ijkεist = δ j s δ k t − δ k s δ j t . 定理 1.2 (Ricci 引理). 本书按度量张量及 Eddington 张量沿坐标曲线变化率的观点给出相 关结论. 1. 度量张量沿坐标曲线的变化率为零: ∂G ∂xl (x) = ∂ ∂xl ( g ijgi ⊗ gj ) (x) = ∇lg ij (x)gi (x) ⊗ gj (x) = 0 ∈ T 2 (R 3 ); 2. Eddington 张量沿坐标曲线的变化率为零: ∂ε ∂xl (x) = ∂ ∂xl ( ε ijkgi ⊗ gj ⊗ gk ) (x) = ∇lε ijk(x)gi (x) ⊗ gj (x) ⊗ gk (x) = 0 ∈ T 3 (R 3 ). 证明 可通过直接计算, 证明相关结论. 1. 按协变导数的定义, 有 ∇lgij = ∂gij ∂xl (x) − Γ s ilgsj − Γ s ljgis = ( ∂gi ∂xl (x), gj ) R3 + ( gi , ∂gj ∂xl (x) ) R3 − Γil,j − Γlj,i = Γil,j + Γjl,i − Γil,j − Γlj,i = 0; ∇lg ij = ∇l(g isg jtgst) = gst∇l(g isg jt) = gst [ (∇lg is)g jt + g is(∇lg jt) ] = δ j s∇lg is + δ i t∇lg jt = ∇lg ij + ∇lg ij = 0; ∇lδ i j = ∂δi j ∂xl (x) + Γ i lsδ s j − Γ s ljδ i s = Γ i lj − Γ i lj = 0. 2
量张量与 Eddington张量 谢锡麟 2.按协变导数的定义,有 (ac)+lisa 19,g,g]R3+rises+Ii axt(a),9',9 +y,-9,]2+[9,9,-g]a+r r。=-+ VlEijk=VI(gip9jqgkrEP4)=gipgjqgkr VIePg=0 2应用事例 建立路径 体积上度量张量与 Eddington张量整体沿坐标线的偏导数为零,反映了体积作为 Euclid 流形的内在性质.对于体积上张量场场论完全可以就只使用 Euclid空间中的典则基,在此 情况下度量张量与 Eddington张量都为常值张量 对于曲面(作为 Riemann流形)其上度量张量与 eddington张量的分量的协变导数为零, 但其整体沿坐标线的偏导数不为零,本质上反映了曲面的“弯曲性
张量分析讲稿谢锡麟 度量张量与 Eddington 张量 谢锡麟 2. 按协变导数的定义, 有 ∇lε ijk = ∂εijk ∂xl (x) + Γ i lsε sjk + Γ j lsε isk + Γ k lsε ijs = ∂ ∂xl [g i , g j , g k ]R3 + Γ i lsε sjk + Γ j lsε isk + Γ k lsε ijs = [ ∂g i ∂xl (x), g j , g k ] R3 + [ g i , ∂g j ∂xl (x), g k ] R3 + [ g i , g j , ∂g k ∂xl (x) ] R3 + Γ i lsε sjk + Γ j lsε isk + Γ k lsε ijs = [ −Γ i lsg s , g j , g k ] R3 + [ g i , −Γ j lsg s , g k ] R3 + [ g i , g j , −Γ k lsg s ] R3 + Γ i lsε sjk + Γ j lsε isk + Γ k lsε ijs = −Γ i lsε sjk − Γ j lsε isk − Γ k lsε ijs + Γ i lsε sjk + Γ j lsε isk + Γ k lsε ijs = 0; ∇lεijk = ∇l(gipgjqgkrε pqr) = gipgjqgkr∇lε pqr = 0. 2 应用事例 3 建立路径 • 体积上度量张量与 Eddington 张量整体沿坐标线的偏导数为零, 反映了体积作为 Euclid 流形的内在性质. 对于体积上张量场场论完全可以就只使用 Euclid 空间中的典则基, 在此 情况下度量张量与 Eddington 张量都为常值张量. • 对于曲面 (作为 Riemann 流形) 其上度量张量与 Eddington 张量的分量的协变导数为零, 但其整体沿坐标线的偏导数不为零, 本质上反映了曲面的 “弯曲性”. 3
