曲面定义及其切空间 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 1.1曲面向量值映照 定义1.1(曲面).一般地,m+1维 Euclid空间中的m维曲面可以由以下向量值映照给出 (as (as) X +1 如图1所示 曲线 ry-曲线 Figure1:有限维 Euclid空间中曲面向量值映照示意 该曲面∑(xx)的 Jacobi矩阵可以表示为 s D∑(xx)= ∈R(m+1)xm 0∑ 0∑ ax
张量分析讲稿谢锡麟 曲面定义及其切空间 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 曲面向量值映照 定义 1.1 (曲面). 一般地, m + 1 维 Euclid 空间中的 m 维曲面可以由以下向量值映照给出 Σ(xΣ) : R m ⊃ Dx ∋ xΣ = x 1 Σ . . . x m Σ 7→ Σ(xΣ) , X1 . . . Xm Xm+1 (xΣ) ∈ R m+1 , 如图1所示. X1 Xm Xm+1 O xm Σ -齒楫 x 1 Σ-齒楫 g1 gm n g1 gm n g1 gm n g1 gm n O x 1 Σ . . . x m−1 Σ x m Σ Figure 1: 有限维 Euclid 空间中曲面向量值映照示意 该曲面 Σ(xΣ) 的 Jacobi 矩阵可以表示为 DΣ(xΣ) = ∂Σ1 ∂x1 Σ · · · ∂Σ1 ∂xm Σ . . . . . . ∂Σm+1 ∂x1 Σ · · · ∂Σm+1 ∂xm Σ ∈ R (m+1)×m, 1
曲面定义及其切空间 谢锡麟 令D(x2)=((2)…9n(ms),其中 9(cx) ∑(xx+λi)-∑(xx) (xx)∈R O∈R 0∑m 称为曲面∑(xx)在m点处沿坐标线x的切向量 12曲面切空间 使得D∑(xy)为列满秩的点称为正则点.向量n(x)∈Rm+1如果满足 In(aslam+1= 1, (n(xx),91(xy)Rm+1=0,i=1,…,m, 则称其为曲面在点c∑处的法向量 定义12(切空间).在曲面∑(xx)的正则点处,切向量{g}1张成的空间称为切空间,记 作T2∑ 所有的切向量和法向量{91}m1U{n}构成Rm+空间中一个基,可称为曲面上局部协变基 按对偶关系,一定唯一存在曲面上局部逆变基{g}m+,满足 =6或者 Rmt 9m+1 由此,由(9nm+1,9m+)gm+1=1,91m+1=n,有gm+1=n.由(9m+1,9y)m+1=(mn,g)gm+1 0,可得g2也是切空间TE的元素,满足(g2,9)gm+1= 引入9=(19)gm+1,y0=(9,9y)1m+,则有 91=(9,9)gm+9+(g,m)m+n=9i9y 9'=(9,gRm+ 9,+(9, nRm+i n=gg 亦即,切空间中的两组基可按照上式关系进行相互转换 13曲面上的曲线 曲面上的曲线在参数空间可以表示为如下映照(如图2所示): 5() rxg:la,月3λ→x2(从≡c()= ∈R r2(
张量分析讲稿谢锡麟 曲面定义及其切空间 谢锡麟 令 DΣ(xΣ) = ( g1 (xΣ) · · · gm(xΣ) ) , 其中 gi (xΣ) , lim λ→0∈R Σ(xΣ + λii) − Σ(xΣ) λ = ∂Σ1 ∂xi Σ . . . ∂Σm+1 ∂xi Σ (xΣ) ∈ R m+1 称为曲面 Σ(xΣ) 在 xΣ 点处沿坐标线 x i Σ 的切向量. 1.2 曲面切空间 使得 DΣ(xΣ) 为列满秩的点称为正则点. 向量 n(xΣ) ∈ R m+1 如果满足 |n(xΣ)|Rm+1 = 1, (n(xΣ), gi (xΣ))Rm+1 = 0, i = 1, · · · , m, 则称其为曲面在点 xΣ 处的法向量. 定义 1.2 (切空间). 在曲面 Σ(xΣ) 的正则点处, 切向量 {gi} m i=1 张成的空间称为切空间, 记 作 TxΣ. 所有的切向量和法向量 {gi} m i=1 ∪ {n} 构成 R m+1 空间中一个基, 可称为曲面上局部协变基. 按对偶关系, 一定唯一存在曲面上局部逆变基{g α} m+1 α=1 , 满足 ( gα, g β ) Rm+1 = δ β α 或者 g T 1 . . . g T m+1 ( g 1 · · · g m+1) = Im+1, 由此, 由 ( gm+1, g m+1) Rm+1 = 1, gm+1 = n, 有 g m+1 = n. 由 ( gm+1, g i ) Rm+1 = ( n, g i ) Rm+1 = 0, 可得 g i 也是切空间 TxΣ 的元素, 满足 ( g i , gj ) Rm+1 = δ i j . 引入 gij = ( gi , gj ) Rm+1 , g ij = ( g i , g j ) Rm+1 , 则有 gi = ( gi , gj ) Rm+1 g j + (gi , n)Rm+1 n = gijg j , g i = ( g i , g j ) Rm+1 gj + ( g i , n ) Rm+1 n = g ijgj . 亦即, 切空间中的两组基可按照上式关系进行相互转换. 1.3 曲面上的曲线 曲面上的曲线在参数空间可以表示为如下映照 (如图2所示): ΓxΣ : [α, β] ∋ λ 7→ ΓxΣ (λ) ≡ xΣ(λ) = x 1 Σ(λ) . . . x m Σ (λ) ∈ R m, 2
曲面定义及其切空间 谢锡麟 Fxx(从)=xx(入) ∑(xx)=X(x(从 (xA))=:r() Figure2:曲面上曲线示意 而该曲线在Rm+1空间可以表示为 r(A)≡X()=EoFx(从=∑(xx(入) 其切向量可以表示为 dX 全lim X(A+△入)-X() D∑(x)2()=2(Ag(x()∈Tx 即曲面上曲线的切向量一定落在该曲面的切空间中 应用事例 3建立路径 所有自变量维数比因变量维数低一维的向量值映照都可以称为“曲面”:可基于曲面向量值 映照的特殊性,研究曲面的基本几何性质
张量分析讲稿谢锡麟 曲面定义及其切空间 谢锡麟 x 1 Σ x i Σ xm Σ O DxΣ ΓxΣ (λ) = xΣ(λ) = x 1 Σ . . . xm Σ (λ) λ a λ b Γx O X1 Xm Xm+1 Σ(xΣ) = X(xΣ(λ)) = X1 . . . Xm+1 (xΣ(λ)) =: Γ(λ) Σ Figure 2: 曲面上曲线示意 而该曲线在 R m+1 空间可以表示为 Γ(λ) ≡ X(λ) = Σ ◦ ΓxΣ (λ) = Σ(xΣ(λ)), 其切向量可以表示为 τ (λ) = dX dλ (λ) , lim ∆t→0∈R X(λ + ∆λ) − X(λ) ∆λ = DΣ(xΣ) dxΣ dλ (λ) = ˙x i Σ(λ)gi (xΣ(λ)) ∈ TxΣ Σ, 即曲面上曲线的切向量一定落在该曲面的切空间中. 2 应用事例 3 建立路径 • 所有自变量维数比因变量维数低一维的向量值映照都可以称为 “曲面”. 可基于曲面向量值 映照的特殊性, 研究曲面的基本几何性质. 3