复旦大学：《现代连续介质力学理论及实践》讲稿_张量代数-02-反称化算子及反对称张量

张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 015年4月3日 1知识要素 11对称化算子与反称化算子 定义1.1(置换算子).设有置换σ∈P,置换算子l。定义为 I:(皿")3φ→Iφ∈(Rm) 此处,(重)(u1,…,tr)会更(u(1,…,t(r)∈R 性质11(置换算子的线性性).对重,业∈(Rm)和Va,B∈R,有 I(a更+)=al重+BI 证明根据置换算子的定义,以及张量的线性性,有 I(a更+B重)( ,ur)=(a更+)( =a更(u(1),…,n(1)+v(u(1),…,(r) =al更(u1,…,)+Bly(1 =(al+BI业)(u1 根据置换算子的定义,任意张量经过置换算子作用之后可以表示为 (I重)(u1,…,ur)=更(ur(1),…,(r) (u(1),g1)m…(u(r),91n)m更(g2,…,g") (v1,9a-1(4)m…(tr ga-1(1)⑧…⑧9-1(x1)( ), 即有 l中= go-l(ir 又可得 =φ 91…⑧g

张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 3 日 1 知识要素 1.1 对称化算子与反称化算子 定义 1.1 (置换算子). 设有置换 σ ∈ Pr, 置换算子 Iσ 定义为 Iσ : T r (R m) ∋ Φ 7→ IσΦ ∈ T r (R m). 此处, (IσΦ)(u1, · · · ,ur) , Φ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) ∈ R. 性质 1.1 (置换算子的线性性). 对 ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m) 和 ∀ α, β ∈ R, 有 Iσ(αΦ + βΨ) = αIσΦ + βIσΨ. 证明 根据置换算子的定义, 以及张量的线性性, 有 Iσ(αΦ + βΨ)(u1, · · · ,ur) = (αΦ + βΨ)(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) = αΦ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) + βΨ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) = αIσΦ(u1, · · · ,ur) + βIσΨ(u1, · · · ,ur) = (αIσΦ + βIσΨ)(u1, · · · ,ur). 根据置换算子的定义, 任意张量经过置换算子作用之后可以表示为 (IσΦ)(u1, · · · ,ur) = Φ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) = (uσ(1), gi1 )Rm · · ·(uσ(r) , gir )RmΦ(g i1 , · · · , g ir ) = Φ i1···ir (u1, gσ−1(i1) )Rm · · ·(ur, gσ−1(ir) )Rm = Φ i1···ir gσ−1(i1) ⊗ · · · ⊗ gσ−1(ir) (u1, · · · ,ur), 即有 IσΦ = Φ i1···ir gσ−1(i1) ⊗ · · · ⊗ gσ−1(ir) . 又可得 IσΦ = Φ σ(i1)···σ(ir) gi1 ⊗ · · · ⊗ gir . 1

张量代数一反称化算子及反对称张量谢锡麟 定义1.2(对称张量与反对称张量).如果张量φ∈丌(Rm)满足Lφ=更,Vσ∈P或者 φ()o()=φt,则张量更称为对称张量,记作更∈Sym或者中∈∥r(Rm).如果张量 更∈(Rm)对a∈P满足L更=sm更或者(a)()=sno,则张量更称为反 对称张量,记作更∈Skw或者更∈A(Rm) 定义1.3(对称化算子和反称化算子),.对称化算子和反称化算子分别定义为 ():(R口四会∑l∈Sym ():9()→如1∑s∈(" 对于对称化算子,设Vr∈P,则有 I9=-l l rog p= 9=9 因此更是对称张量. 对于反称化算子,设Vr∈P,则有 1)=∑1o I更=8gnrm更 a∈Pr 因此凶更是反对称张量. 性质12(反称化算子基本性质).反称化算子具有如下基本性质 1.线性性:对V更,亚∈(Rm)和va,B∈R,有 a+B)=a重+B重; ,更一般地,有k=a,k∈N 3.对vφ∈丌(Rm),业∈(Rm),有 (⑧业)=m(更业=8业=(重⑧业 证明可按置换算子的基本性质,证明反称化算子的基本性质 1.根据置换算子的线性性,这是显然的 2.设更∈少(Rm),则有 2更=m(a/垂)= nolad ∑ sgnBIB ∑ ∑=以4 由此,即有a/2=a.再根据数学归纳法,易于证明ak=

张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 定义 1.2 (对称张量与反对称张量). 如果张量 Φ ∈ T r (R m) 满足 IσΦ = Φ , ∀ σ ∈ Pr 或者 Φ σ(i1)···σ(ir) = Φ i1···ir , 则张量 Φ 称为对称张量, 记作 Φ ∈ Sym 或者 Φ ∈ S r (R m). 如果张量 Φ ∈ T r (R m) 对 ∀ σ ∈ Pr 满足 IσΦ = sgn σΦ 或者 Φ σ(i1)···σ(ir) = sgn σΦi1···ir , 则张量 Φ 称为反 对称张量, 记作 Φ ∈ Skw 或者 Φ ∈ Λ r (R m). 定义 1.3 (对称化算子和反称化算子). 对称化算子 S 和反称化算子 A 分别定义为 S (Φ) : T r (R n ) ∋ Φ 7→ S Φ , 1 r! ∑ σ∈Pr IσΦ ∈ Sym; A (Φ) : T r (R n ) ∋ Φ 7→ A Φ , 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ∈ Λ r (R n ). 对于对称化算子, 设 ∀ τ ∈ Pr, 则有 IτS Φ = 1 r! Iτ (∑ σ∈Pr IσΦ ) = 1 r! ∑ σ∈Pr Iτ◦σΦ = 1 r! ∑ γ∈Pr IγΦ = S Φ. 因此 S Φ 是对称张量. 对于反称化算子, 设 ∀ τ ∈ Pr, 则有 IτA Φ = 1 r! Iτ (∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) = 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIτ◦σΦ = 1 r! sgn τ ∑ γ∈Pr IγΦ = sgn τA Φ. 因此 A Φ 是反对称张量. 性质 1.2 (反称化算子基本性质). 反称化算子具有如下基本性质: 1. 线性性: 对 ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m) 和 ∀ α, β ∈ R, 有 A (αΦ + βΨ) = αA Φ + βA Ψ; 2. A 2 = A , 更一般地, 有 A k = A , k ∈ N; 3. 对 ∀ Φ ∈ T r (R m), Ψ ∈ T s (R m), 有 A (Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ Ψ) = A (Φ ⊗ A Ψ) = A (A Φ ⊗ A Ψ). 证明 可按置换算子的基本性质, 证明反称化算子的基本性质. 1. 根据置换算子的线性性, 这是显然的. 2. 设 Φ ∈ T r (R m), 则有 A 2Φ = A (A Φ) = A ( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) = 1 r! ∑ β∈Pr sgn βIβ ( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) = 1 r! ∑ β∈Pr ( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn (β ◦ σ)Iβ◦σΦ ) = 1 r! ∑ β∈Pr A Φ = A Φ. 由此, 即有 A 2 = A . 再根据数学归纳法, 易于证明 A k = A . 2

张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3.证明a(⑧业)=(重⑧重).由 a(重y)= gnaI更⑧业 ∑n0(更8) 此处1更⑧=φ)mpn-g18…8918918…⑧91,作置换o∈P的延拓 a∈P+1,如下所示: ∈Pr,a= ∈Pr+s, o(i1) o(i1) a(ir)j1 因此有I更⑧业=b{更⑧业).所以,有 (8业)=以∑0m( (r+s)! sgnBIBF ∑ sonia(更8业) B ∑s(。0)l(④重) (⑧业) 用类似的方法可以证明a(φ⑧业)={重⑧业 按以上结论,可得 (中⑧业)=m(/更⑧业)=m(s更⑧业) 1.2反对称张量的外积运算 定义1.4(外积运算).反对称张量的外积运算定义如下 ∧:P(m)×A(Rm)3便,}→更∧业∈AP+(Rmn) 其中 更∧业p+q)! p! g! anglo(⑧ p! g! 性质1.3(外积运算基本性质).外积运算具有如下基本性质 线性性:对V更,业∈AP(Rm),日∈A(Rm)和va,B∈R,有 a+)∧日=更∧白+ 2.对重∈P(Rm),业∈A9(Rm),O∈A(Rm),有 A日=A四A日)=如十十(日)∈P+(Rm) 由此,上述两种表达都统一记作更∧亚∧日;

张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3. 证明 A (Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ Ψ). 由 A (A Φ ⊗ Ψ) = A [( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) ⊗ Ψ ] = A [ 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σ (IσΦ ⊗ Ψ) ] . 此处 IσΦ ⊗ Ψ = Φ σ(i1)···σ(ir)Ψ j1···js gi1 ⊗ · · · ⊗ gir ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjs , 作置换 σ ∈ Pr 的延拓 σˆ ∈ Pr+1, 如下所示: σ = ( i1 · · · ir σ(i1) · · · σ(ir) ) ∈ Pr, σˆ = ( i1 · · · ir j1 · · · js σ(i1) · · · σ(ir) j1 · · · js ) ∈ Pr+s, 因此有 IσΦ ⊗ Ψ = Iσˆ(Φ ⊗ Ψ). 所以, 有 A (A Φ ⊗ Ψ) = A [ 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσˆ(Φ ⊗ Ψ) ] = 1 (r + s)! ∑ βˆ∈Pr+s sgn βIˆ βˆ [ 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσˆ(Φ ⊗ Ψ) ] = 1 r! ∑ σ∈Pr   1 (r + s)! ∑ βˆ∈Pr+s sgn (βˆ ◦ σˆ)I βˆ◦σˆ (Φ ⊗ Ψ)   = 1 r! ∑ σ∈Pr A (Φ ⊗ Ψ) = A (Φ ⊗ Ψ). 用类似的方法可以证明 A (Φ ⊗ Ψ) = A (Φ ⊗ A Ψ). 按以上结论, 可得 A (Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ A Ψ). 1.2 反对称张量的外积运算 定义 1.4 (外积运算). 反对称张量的外积运算定义如下: ∧ : Λ p (R m) × Λ q (R m) ∋ {Φ, Ψ} 7→ Φ ∧ Ψ ∈ Λ p+q (R m), 其中 Φ ∧ Ψ , (p + q)! p! q! A (Φ ⊗ Ψ) = 1 p! q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Φ ⊗ Ψ). 性质 1.3 (外积运算基本性质). 外积运算具有如下基本性质: 1. 线性性: 对 ∀ Φ, Ψ ∈ Λ p (R m), Θ ∈ Λ q (R m) 和 ∀ α, β ∈ R, 有 (αΦ + βΨ) ∧ Θ = αΦ ∧ Θ + βΨ ∧ Θ; 2. 对 ∀ Φ ∈ Λ p (R m), Ψ ∈ Λ q (R m), Θ ∈ Λ r (R m), 有 (Φ ∧ Ψ) ∧ Θ = Φ ∧ (Ψ ∧ Θ) = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ) ∈ Λ p+q+r (R m), 由此, 上述两种表达都统一记作 Φ ∧ Ψ ∧ Θ; 3

张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3.对更∈A(Rm),重∈A9(Rm),则有 y=(-1) 证明可基于反称化算子的基本性质,证明外积运算的基本性质 1.根据反称化算子的线性性,这是显然的 2.根据反称化算子的性质(3),有 更∧业)A日 sy(业)∧ (P+q)!(p+q y(+!(更8y)6 p! qlr 同理可得 ∧(业∧白) +r20(908e p! q!r! 因此有 ∧业)A日=更∧业∧) (p+q+m)d(④8y8日) pl q 3.根据外积运算的定义,有 (P+0)/( p! q! p! q! ∑sLn匝更ψ) ∑ sgn al(yg18…891,89n18…⑧g pl q! pl q! ∑sgnoφlh18…89n89n8…89n) P 引入置换 1 ∈P Jg 此置换将哑标i,…,与哑标j,…,j整体换位(此处假设了q<p,另一种情况的构 造方法完全类似),则有 更∧ goT 1or(918…③gn③9 ⑧g) pl q! sgno'1py 1"yala 89+-1() plg! gnr 89n③91②…9) d∈Pp+q Ty∧更 o∈Pp+q

张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3. 对 ∀ Φ ∈ Λ p (R m), Ψ ∈ Λ q (R m), 则有 Φ ∧ Ψ = (−1)pqΨ ∧ Φ. 证明 可基于反称化算子的基本性质, 证明外积运算的基本性质. 1. 根据反称化算子的线性性, 这是显然的. 2. 根据反称化算子的性质 (3), 有 (Φ ∧ Ψ) ∧ Θ = (p + q)! p!q! A (Φ ⊗ Ψ) ∧ Θ = (p + q)! p!q! (p + q + r)! (p + q)!r! A [A (Φ ⊗ Ψ) ⊗ Θ] = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ). 同理可得 Φ ∧ (Ψ ∧ Θ) = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ). 因此有 (Φ ∧ Ψ) ∧ Θ = Φ ∧ (Ψ ∧ Θ) = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ). 3. 根据外积运算的定义, 有 Φ ∧ Ψ = (p + q)! p!q! A (Φ ⊗ Ψ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Φ ⊗ Ψ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Φ i1···ip Ψ j1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σΦi1···ip Ψ j1···jq Iσ(gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ). 引入置换 τ −1 = ( i1 · · · iq iq+1 · · · ip j1 · · · jq j1 · · · jq i1 · · · ip−q ip−q+1 · · · ip ) ∈ Pp+q, 此置换将哑标 i1, · · · , ip 与哑标 j1, · · · , jq 整体换位 (此处假设了 q < p, 另一种情况的构 造方法完全类似). 则有 Φ ∧ Ψ = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn (σ ◦ τ )Φ i1···ip Ψ j1···jq Iσ◦τ (gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ) = 1 p!q! sgn τ ∑ σ∈Pp+q sgn σΦi1···ip Ψ j1···jq Iσ(gτ−1(i1) ⊗ · · · ⊗ gτ−1(ip) ⊗ gτ−1(j1) ⊗ · · · ⊗ gτ−1(jq) ) = 1 p!q! sgn τ ∑ σ∈Pp+q sgn σΦi1···ip Ψ j1···jq Iσ(gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ⊗ gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ) = sgn τ 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Ψ ⊗ Φ) = sgn τΨ ∧ Φ. 4

张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 以下考虑sgnτ,依次将i,…,i移动到j,…,j之前,总共需要γ次操作,因此 综上,有 更∧业=(-1)P∧ 13反对称张量的表示 反对称张量也常称为外形式,r阶反对称张量则称为τ-形式.显然R上全体r形式组成的 空间是r阶张量空间(Rm)的一个子空间,称为Rm上的r-形式空间,记作A(Rm) 定义1.5(简单r-形式).设u1,…,ur∈Rm,则a1A…Aar∈Ar(Rm)称为简单r-形式 根据外积运算的基本性质(1),有 au18…⑧ur)=r!af(u1⑧…⑧ur)∈A(Rm) 即简单r-形式是r阶反对称张量 定理1.4.设u1,……,u∈Rm,U1,…,r∈Rm,则有 (u1, u1)Rm u1A…∧ar(U1, (ur,℃1)Rm 证明根据外积的定义可有 u1∧…∧ur(U1, r)=r!(1②…⑧ur)( sunol 8ur)(v1,……,Ur) ∈Pr sgna(u18…8ur)(v(),…,vn()(置换算子的定义) ∑gn(u1,n()lxm…(u-,n()m(简单张量的定义) (u1,v1)R (行列式的定义 (ur,1) (ur,℃)R 推论1.41.对Va∈P,有 In(gn∧…^g1)=g(x)A…∧gn(a)=gn-1(1)A…∧ = shogi1∧…∧9;1

张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 以下考虑 sgn τ , 依次将 i1, · · · , ip 移动到 j1, · · · , jq 之前, 总共需要 pq 次操作, 因此 sgn τ = (−1)pq . 综上, 有 Φ ∧ Ψ = (−1)pqΨ ∧ Φ. 1.3 反对称张量的表示 反对称张量也常称为外形式, r 阶反对称张量则称为 r-形式. 显然 R m 上全体 r-形式组成的 空间是 r 阶张量空间 T r (R m) 的一个子空间, 称为 R m 上的 r-形式空间, 记作 Λ r (R m). 定义 1.5 (简单 r-形式). 设 u1, · · · ,ur ∈ R m, 则 u1 ∧ · · · ∧ ur ∈ Λ r (R m) 称为简单 r-形式. 根据外积运算的基本性质 (1), 有 u1 ∧ · · · ∧ ur = r! 1! · · · 1!A (u1 ⊗ · · · ⊗ ur) = r!A (u1 ⊗ · · · ⊗ ur) ∈ Λ r (R m). 即简单 r-形式是 r 阶反对称张量. 定理 1.4. 设 u1, · · · ,ur ∈ R m, v1, · · · , vr ∈ R m, 则有 u1 ∧ · · · ∧ ur(v1, · · · , vr) =         (u1, v1)Rm · · · (u1, vr)Rm . . . . . . (ur, v1)Rm · · · (ur, vr)Rm         . 证明 根据外积的定义可有 u1 ∧ · · · ∧ ur(v1, · · · , vr) = r!A (u1 ⊗ · · · ⊗ ur)(v1, · · · , vr) = ∑ σ∈Pr sgn σIσ(u1 ⊗ · · · ⊗ ur)(v1, · · · , vr) = ∑ σ∈Pr sgn σ(u1 ⊗ · · · ⊗ ur)(vσ(1), · · · , vσ(r) ) (置换算子的定义) = ∑ σ∈Pr sgn σ(u1, vσ(1))Rm · · ·(ur, vσ(r) )Rm (简单张量的定义) =         (u1, v1)Rm · · · (u1, vr)Rm . . . . . . (ur, v1)Rm · · · (ur, vr)Rm         (行列式的定义). 推论 1.4.1. 对 ∀ σ ∈ Pr, 有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir ) = gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) = gσ−1(i1) ∧ · · · ∧ gσ−1(ir) = sgn σgi1 ∧ · · · ∧ gir . 5

张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明根据置换算子的定义,有 n(g1A…∧91)(u1,,r)=g1A…^g;1(u(1),…,w() (g1,u()m…(g1,t(n)m h,1) Ur rm gog i1A…∧91,( ur) 同样有 n(gn1A…∧g1)(u1,…,ur) (91 (g1,1)m( (g1,1)e Lr (9(x),1 )(;…,ar), I(92 (g1,()m (gi, uo(r))Rmo-1(1), u1)Rm 1(i1),r)Rm 综上,有 n(g1A…∧91)= snog1A…∧g1=9(x)A…^9(-) 引理1.5.如果反对称张量的分量有两个指标相同,则该分量必为零 证明设更∈A(Rm),则其分量满足 va∈P 设该分量的第i个和第j个指标是相同的,即k=k,令 则有sgna=-1.所以有 0(k=k) 此引理表明,如果某外形式空间r>m,则必然有A(Rm)={0},即仅含有r阶零张量 根据引理1.5(第6页),可以得出如下的反对称张量表示定理

张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明 根据置换算子的定义, 有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir )(u1, · · · ,ur) = gi1 ∧ · · · ∧ gir (uσ(1), · · · ,uσ(r) ) =         (gi1 ,uσ(1))Rm · · · (gi1 ,uσ(r) )Rm . . . . . . (gir ,uσ(1))Rm · · · (gir ,uσ(r) )Rm         = sgn σ         (gi1 ,u1)Rm · · · (gi1 ,ur)Rm . . . . . . (gir ,u1)Rm · · · (gir ,ur)Rm         = sgn σgi1 ∧ · · · ∧ gir (u1, · · · ,ur). 同样有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir )(u1, · · · ,ur) = sgn σ         (gi1 ,u1)Rm · · · (gi1 ,ur)Rm . . . . . . (gir ,u1)Rm · · · (gir ,ur)Rm         =         (gσ(i1) ,u1)Rm · · · (gσ(i1) ,ur)Rm . . . . . . (gσ(ir) ,u1)Rm · · · (gσ(ir) ,ur)Rm         = gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) (u1, · · · ,ur), Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir )(u1, · · · ,ur) =         (gi1 ,uσ(1))Rm · · · (gi1 ,uσ(r) )Rm . . . . . . (gir ,uσ(1))Rm · · · (gir ,uσ(r) )Rm         =         (gσ−1(i1) ,u1)Rm · · · (gσ−1(i1) ,ur)Rm . . . . . . (gσ−1(ir) ,u1)Rm · · · (gσ−1(ir) ,ur)Rm         = gσ−1(i1) ∧ · · · ∧ gσ−1(ir) (u1, · · · ,ur). 综上, 有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir ) = sgn σgi1 ∧ · · · ∧ gir = gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) . 引理 1.5. 如果反对称张量的分量有两个指标相同, 则该分量必为零. 证明 设 Φ ∈ Λ r (R m), 则其分量满足 Φ σ(k1)···σ(kr) = sgn σΦk1···kr , ∀ σ ∈ Pr. 设该分量的第 i 个和第 j 个指标是相同的, 即 ki = kj . 令 σ = [ 1 · · · i · · · j · · · r 1 · · · j · · · i · · · r ] , 则有 sgn σ = −1. 所以有 Φ k1···ki···kj ···kr = −Φ k1···kj ···ki···kr = −Φ k1···ki···kj ···kr , 即 Φ k1···ki···kj ···kr = 0 (ki = kj ). 此引理表明, 如果某外形式空间 r > m, 则必然有 Λ r (R m) = {0}, 即仅含有 r 阶零张量. 根据引理1.5(第6页)), 可以得出如下的反对称张量表示定理. 6

张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 定理1.6(反对称张量表示定理).设φ∈A(Rm),则反对称张量φ可以表示为 1 ∧9;r 91∧……∧g 1≤i1<…<ir≤m 证明根据引理1.5(第6页),除去φ更中必为零的分量(即有相同指标的分量,即有 8…②9 9a(i1)⑧ 1≤i1<…<ir≤mo∈P l-1(g;⑧…⑧91) ∑[r!a/(g18…89,(反称化算子的定义) ≤i1<…<ir≤m 9 9 r 定理的第一个式子得证.以下证明定理的第二种表示,有 1≤i1<…<i≤m ∑ senado(1).a(in) sonora--(91A…^9n),vo∈P 1≤i1<…<ir≤ ∑((mgn(a)A…^9n(),V∈P 1≤i1<…<ir≤m ∑∑ 中(i)o(x)gn(in) ∧9 1≤i1<…<ir≤m∈Pr ∑ ∧……∧9ir=r! 9 定理1.6(第7页)表明,{g1A…∧9h≤i1<…<≤m为r-形式空间A(Rm)的基,其维数为 m(m-1)…(m-(r-1)= 设有反对称张量更∈A(Rm),业∈A°(Rm),其表示为 则更和v的外积更∧亚的表示为 更∧亚 91∧…∧9;)∧ ∧·…∧ rsy92A…^9nA91A…A9n∈A+(Rm 此结论基于外积运算基本性质1.3(第3页)的(1)和(2)

张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 定理 1.6 (反对称张量表示定理). 设 Φ ∈ Λ r (R m), 则反对称张量 Φ 可以表示为 Φ = Φ i1···ir gi1 ⊗ · · · ⊗ gir = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir = 1 r! Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir . 证明 根据引理1.5(第6页), 除去 Φ 中必为零的分量 (即有相同指标的分量), 即有 Φ = ∑ 16i1<···<ir6m ∑ σ∈Pr Φ σ(i1)···σ(ir) gσ(i1) ⊗ · · · ⊗ gσ(ir) = ∑ 16i1<···<ir6m ∑ σ∈Pr sgn σΦi1···ir gσ(i1) ⊗ · · · ⊗ gσ(ir) = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1···ir ∑ σ∈Pr sgn σIσ−1 (gi1 ⊗ · · · ⊗ gir ) = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1···ir [ r!A (gi1 ⊗ · · · ⊗ gir ) ] (反称化算子的定义) = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir . 定理的第一个式子得证. 以下证明定理的第二种表示, 有 Φ = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir = ∑ 16i1<···<ir6m sgn σΦσ(i1)···σ(ir) sgn σIσ−1 (gi1 ∧ · · · ∧ gir ), ∀ σ ∈ Pr = ∑ 16i1<···<ir6m Φ σ(i1)···σ(ir) gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) , ∀ σ ∈ Pr = ∑ 16i1<···<ir6m ∑ σ∈Pr 1 r! Φ σ(i1)···σ(ir) gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) = 1 r! ∑ i1,··· ,ir Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir = 1 r! Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir . 定理1.6(第7页) 表明, {gi1 ∧ · · · ∧ gir }16i1<···<ir6m 为 r-形式空间 Λ r (R m) 的基, 其维数为 ( r m ) = m(m − 1)· · ·(m − (r − 1)) = m! (m − r)!. 设有反对称张量 Φ ∈ Λ r (R m), Ψ ∈ Λ s (R m), 其表示为 Φ = 1 r! Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir , Ψ = 1 s! Ψ j1···js gj1 ∧ · · · ∧ gjs , 则 Φ 和 Ψ 的外积 Φ ∧ Ψ 的表示为 Φ ∧ Ψ = ( 1 r! Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir ) ∧ ( 1 s! Ψ j1···js gj1 ∧ · · · ∧ gjs ) = 1 r!s! Φ i1···irΨ j1···js gi1 ∧ · · · ∧ gir ∧ gj1 ∧ · · · ∧ gjs ∈ Λ r+s (R m). 此结论基于外积运算基本性质1.3(第3页) 的 (1) 和 (2). 7

张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 2应用事例 21有关向量组的应用 引理21(向量组线性相关性的外积表示),向量组{9}=1CRm线性相关的充分必要条件 为 91 0∈A(Rm) 证明可直接基于运算,证明充分必要性 1.证明必要性.设有{91}=1cRm线性相关,需证g1A…∧9n=0∈Ar(Rm) 由于{9}1线性相关,不妨设有9=91+…+-191 ∈Rm,故有 g1∧…∧9r-1∧ A9-1^(c191 0+…+0+0=0∈A(R") 2.证明充分性设有91A…^9r=0∈A(Rm),需证{g}=1cRm线性相关 利用反证法,设{9}=1线性无关,可补充{g}=+1使得{g1}=1U{9}=r+1为Rm的 组基,由此存在对偶基{g"}a=1.考虑到 (91, g)Rm 919)Rm 91A…∧g(9 det l= 1 (9r,91)Rm…(g,g)R 即有g1A…∧9≠0∈A(Rm),即得矛盾. 由引理2.1(第8页)可得如下引理 引理22(向量组线性无关性的外积表示).向量组{g2}=1cRm线性无关的充分必要条件 为 9 9r≠0∈A(R") 按引理21(第8页)和引理22(第8页),可有两向量组之间的关系 引理2.3( Cartan引理).设有向量组{u}=1,{vt}=1cRmn,满足 ∑uA=0∈A(Rm) 如有{v}=1线性无关,则有 P 且B;=P3,ij=1

张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 2 应用事例 2.1 有关向量组的应用 引理 2.1 (向量组线性相关性的外积表示). 向量组 {gi} r i=1 ⊂ R m 线性相关的充分必要条件 为 g1 ∧ · · · ∧ gr = 0 ∈ Λ r (R m). 证明 可直接基于运算, 证明充分必要性. 1. 证明必要性. 设有 {gi} r i=1 ⊂ R m 线性相关, 需证 g1 ∧ · · · ∧ gr = 0 ∈ Λ r (R m). 由于 {gi} r i=1 线性相关, 不妨设有 gr = c1g1 + · · · + cr−1gr−1 ∈ R m, 故有 g1 ∧ · · · ∧ gr−1 ∧ gr = g1 ∧ · · · ∧ gr−1 ∧ ( c1g1 + · · · + cr−1gr−1 ) = 0 + · · · + 0 + 0 = 0 ∈ Λ r (R m). 2. 证明充分性. 设有 g1 ∧ · · · ∧ gr = 0 ∈ Λ r (R m), 需证 {gi} r i=1 ⊂ R m 线性相关. 利用反证法, 设 {gi} r i=1 线性无关, 可补充 {gj} m j=r+1 使得 {gi} r i=1 ∪ {gj} m j=r+1 为 R m 的 一组基, 由此存在对偶基 {g α} m α=1. 考虑到 g1 ∧ · · · ∧ gr (g 1 , · · · , g r ) =         (g1 , g 1 )Rm · · · (g1 , g r )Rm . . . . . . (gr , g 1 )Rm · · · (gr , g r )Rm         = det Ir = 1, 即有 g1 ∧ · · · ∧ gr ̸= 0 ∈ Λ r (R m), 即得矛盾. 由引理2.1(第8页) 可得如下引理. 引理 2.2 (向量组线性无关性的外积表示). 向量组 {gi} r i=1 ⊂ R m 线性无关的充分必要条件 为 g1 ∧ · · · ∧ gr ̸= 0 ∈ Λ r (R m). 按引理2.1(第8页) 和引理2.2(第8页), 可有两向量组之间的关系. 引理 2.3 (Cartan 引理). 设有向量组 {ui} r i=1, {vi} r i=1 ⊂ R m, 满足 ∑r i=1 ui ∧ vi = 0 ∈ Λ 2 (R m). 如有 {vi} r i=1 线性无关, 则有 ui = ∑r s=1 Psivs, i = 1, · · · , r, 且 Pij = Pji, i, j = 1, · · · , r. 8

张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明由于{u;}=1cRm线性无关,则可补充{vr+1,……,Um}cRm,使得{va}a=1为Rm 的一组基.由此有 PUo∧v i=1a=1 Pyv∧ Pau j=r+1 =∑(P;-B3)0Av1+∑∑P(Av1∈A(Rm), i=l j=r 考虑到{ BAVa}sB<a≤m为A2(Rm)的一个基,有 Pig=Pj 0 故有 P 引理24(两向量组之间的关系).设有V{u21}=1,{;m1}=1CRm为两个向量组,如有 {u;,v}=1CRm线性无关; 2.u2∧v ∈;An1∈A(Rm), i=1 则有1,m}=1CRm线性无关,且{51,m}=1可由{u2,v}=1线性表示 证明计算 ∧1+……+ urAUr)∧…∧(u1∧v1+ ∧a(m g27)u1A1)A…A(xA =r!1∧u1∧…∧ur∧r, 故有 71 由{u2v;}=1CRm线性无关,故上式为非零2r-形式.按向量组线性无关的外积表示,可有 {n1}=1CRm线性无关

张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明 由于 {vi} r i=1 ⊂ R m 线性无关, 则可补充 {vr+1, · · · , vm} ⊂ R m, 使得 {vα} m α=1 为 R m 的一组基. 由此有 ui = ∑m α=1 Pαivα, i = 1, · · · , r. 由 0 = ∑r i=1 ui ∧ vi = ∑r i=1 ∑m α=1 Pαivα ∧ vi = ∑r i=1 ∑r j=1 Pjivj ∧ vi + ∑r i=1 ∑m j=r+1 Pjivj ∧ vi = ∑ 16j<i6r (Pji − Pij )vj ∧ vi + ∑r i=1 ∑m j=r+1 Pjivj ∧ vi ∈ Λ 2 (R m), 考虑到 {vβ ∧ vα}16β<α6m 为 Λ 2 (R m) 的一个基, 有 Pij = Pji, i, j = 1, · · · , r; Pji = 0, i = 1, · · · , r, j = r + 1, · · · , m. 故有 ui = ∑r j=1 Pjivj , i = 1, · · · , r. 引理 2.4 (两向量组之间的关系). 设有 ∀ {ui , vi} r i=1, {ξi , ηi} r i=1 ⊂ R m 为两个向量组, 如有 1. {ui , vi} r i=1 ⊂ R m 线性无关; 2. ∑r i=1 ui ∧ vi = ∑r i=1 ξi ∧ ηi ∈ Λ 2 (R m), 则有 {ξi , ηi} r i=1 ⊂ R m 线性无关, 且 {ξi , ηi} r i=1 可由 {ui , vi} r i=1 线性表示. 证明 计算 (∑r i=1 ui ∧ vi )r , (u1 ∧ v1 + · · · + ur ∧ vr) ∧ · · · ∧ (u1 ∧ v1 + · · · + ur ∧ vr) = ∑ σ∈Pr ( uσ(1) ∧ vσ(1)) ∧ · · · ∧ ( uσ(m) ∧ vσ(m) ) = (∑ σ∈Pr sgn 2σ ) [(u1 ∧ v1) ∧ · · · ∧ (ur ∧ vr)] = r!u1 ∧ v1 ∧ · · · ∧ ur ∧ vr, 故有 u1 ∧ v1 ∧ · · · ∧ ur ∧ vr = ξ1 ∧ η1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ ηr . 由 {ui , vi} r i=1 ⊂ R m 线性无关, 故上式为非零 2r-形式. 按向量组线性无关的外积表示, 可有 {ξi , ηi} r i=1 ⊂ R m 线性无关. 9

张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 另考虑到 u1AU1A…Au∧UAE1=51Am1A… AEr An∧E1=0∈A2+1(R 其中i=1,…,r.结合向量组线性相关性的外积表示,以及{u,t;}=1的线性无关性,有 ;∈Rm(i=1,…,r)可由{u1,v}=1线性表示 引理25(外形式的低一阶表示)设{E}=1为线性无关向量组,则对V重∈AP(Rm)有表 51∧v1+…+∧vr,v1,…,vr∈A-1(Rm) 的充分必要条件为 ∈1∧…∧E,∧更=0∈A+P(Rm 证明按线性代数中的结论,可将线性无关组{E;}=1CR"扩充为Rm中的一组基{a}a=1 由此可有1A…A51}1m时,上式最后一项自动消失.在此情形下即有 φ=51∧1+…+￡r∧vr,5 ∧Er∧=0. 亦即结论自然成立 当r+p≤m时,设有51A……∧51∧重=0∈A+P(Rm),则 1∧…∧Er∧中 sr∧E ∈=0∈A+P(Rm) r+1≤n1<…<i 由于(1A…∧En+n}≤n<…<+p≤m为A+p(Rmn)的基,故按上式有 0, 1≤i1<…<ip≤ 即有更=1∧p1+…+Er∧v 反之,设有更=1∧v1+…+∧v,其中v1,…,v,∈A1(Em),考虑到1A…∧ 5n+}1≤n<<i+≤m为A+P(Rm)的基,则有 0, ≤i1 p≤ 故有 1∧…∧r∧更=0∈A+P(Rm)

张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 另考虑到 u1 ∧ v1 ∧ · · · ∧ ur ∧ vr ∧ ξi = ξ1 ∧ η1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ ηr ∧ ξi = 0 ∈ Λ 2r+1(R m), 其中 i = 1, · · · , r. 结合向量组线性相关性的外积表示, 以及 {ui , vi} r i=1 的线性无关性, 有 ξi ∈ R m(i = 1, · · · , r) 可由 {ui , vi} r i=1 线性表示. 引理 2.5 (外形式的低一阶表示). 设 {ξi} r i=1 为线性无关向量组, 则对 ∀ Φ ∈ Λ p (R m) 有表 示 Φ = ξ1 ∧ ψ1 + · · · + ξr ∧ ψr , ψ1 , · · · , ψr ∈ Λ p−1 (R m) 的充分必要条件为 ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ Φ = 0 ∈ Λ r+p (R m). 证明 按线性代数中的结论, 可将线性无关组 {ξi} r i=1 ⊂ R m 扩充为 R m 中的一组基 {ξα} m α=1. 由此可有 {ξi1 ∧ · · · ∧ ξip }16i1 m 时, 上式最后一项自动消失. 在此情形下即有 Φ = ξ1 ∧ ψ1 + · · · + ξr ∧ ψr , ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ Φ = 0. 亦即结论自然成立. 当 r + p 6 m 时, 设有 ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ Φ = 0 ∈ Λ r+p (R m), 则 ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ Φ = ∑ r+16i1<···<ip6m Φ i1···ip ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ ξi1 ∧ · · · ∧ ξip = 0 ∈ Λ r+p (R m). 由于 {ξj1 ∧ · · · ∧ ξjr+p }16j1<···<jr+p6m 为 Λ r+p (R m) 的基, 故按上式有 Φ i1···ip = 0, r + 1 6 i1 < · · · < ip 6 m, 即有 Φ = ξ1 ∧ ψ1 + · · · + ξr ∧ ψr . 反之, 设有 Φ = ξ1 ∧ ψ˜ 1 + · · · + ξr ∧ ψ˜ r , 其中 ψ˜ 1 , · · · , ψ˜ r ∈ Λ p−1 (R m), 考虑到 {ξj1 ∧ · · · ∧ ξjr+p }16j1<···<jr+p6m 为 Λ r+p (R m) 的基, 则有 Φ i1···ip = 0, r + 1 6 i1 < · · · < ip 6 m, 故有 ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ Φ = 0 ∈ Λ r+p (R m). 10