张量代数一仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月3日 1知识要素 1.1仿射量基本代数运算 11.1仿射量的逆 定义11(仿射量的逆).对Ⅴφ∈xin(Rm),如果彐ψ∈xin(Rm)满足 此处I=591891为单位仿射量,则称为仿射量更的逆,记作 y=更 当垂∈2m(1)满足是dp=dt()≠0,则称西非奇异按线性代数1!(mn) p),满足 故 为西的逆,式中()=() 1.1.2仿射量的转置 定义12(仿射量的转置),设更∈xin(m),则它的转置更*满足 更(u,0)=更(U,u),Vu,v∈Rn, 基于转置的定义,如果更=91②9则有 g;②9 显然对于对称仿射量,有更*=重
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 3 日 1 知识要素 1.1 仿射量基本代数运算 1.1.1 仿射量的逆 定义 1.1 (仿射量的逆). 对 ∀ Φ ∈ L in(R m), 如果 ∃ Ψ ∈ L in(R m) 满足 Φ · Ψ = Ψ · Φ = I, 此处 I = δ i j gi ⊗ g j 为单位仿射量, 则称 Ψ 为仿射量 Φ 的逆, 记作 Ψ = Φ −1 . 当 Φ ∈ L in(R m) 满足 det Φ = det ( Φ i ·j ) ̸= 0, 则称 Φ 非奇异. 按线性代数, ∃ ! ( Ψ p · q ) := ( Φ i ·j )−1 , 满足 ( Ψ i · k ) (Φ k · j ) = ( Φ i ·k ) (Ψ k · j ) = ( δ i j ) , 故 Ψ = Ψ p · qgp ⊗ g q 为 Φ 的逆, 式中 ( Ψ p · q ) = ( Φ i ·j )−1 . 1.1.2 仿射量的转置 定义 1.2 (仿射量的转置). 设 Φ ∈ L in(R m), 则它的转置 Φ ∗ 满足 Φ ∗ (u, v) = Φ(v,u), ∀u, v ∈ R m. 基于转置的定义, 如果 Φ = Φ ijgi ⊗ gj , 则有 Φ ∗ = Φ ijgj ⊗ gi = Φ jigi ⊗ gj . 显然对于对称仿射量, 有 Φ ∗ = Φ. 1
张量代数一仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 1.13仿射量的迹 定义13(仿射量的迹).仿射量的第一主不变量称为仿射量的迹,记作trΦ. 设仿射量更=91g,则根据主不变量的计算公式可得 更全1=6重;=重 性质11(仿射量迹的基本性质).设V重业∈xin(Rm),有 1.tr更=I:更 2.线性性 tr(a+)=atp+Bty业,la,B∈R; 3.tr(·业)=tr(业 证明可直接通过计算,证明仿射量迹的基本性质 1.I:更=(69289):(,19。89)=p=t更 2.根据性质(1)以及c点积的线性性,即有 tr(更+应)=I:(a重+)=aI:更+BI:重=atr更+tv )=重v ·更)=tr(v9k8g)= 16181=更y 即tr(重 仿射量的矩 定义1.4(仿射量的矩).仿射量更∈xin(Rm)的r次幂的迹称为仿射量的r阶矩,记作 t)=t(⑨… 重点积 由于更=更……更=的…:91⑧g3,因此有 I()=tr(更)=更 般地,第γ个主不变量是第1到r阶矩的函数 Ir(更)=fr(I1(重),I2() (重)
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 1.1.3 仿射量的迹 定义 1.3 (仿射量的迹). 仿射量的第一主不变量称为仿射量的迹, 记作 trΦ. 设仿射量 Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j , 则根据主不变量的计算公式可得 trΦ , I1 = δ j i Φ i ·j = Φ i ·i 性质 1.1 (仿射量迹的基本性质). 设 ∀ Φ, Ψ ∈ L in(R m), 有 1. trΦ = I : Φ; 2. 线性性: tr(αΦ + βΨ) = αtrΦ + βtrΨ, ∀ α, β ∈ R; 3. tr(Φ · Ψ) = tr(Ψ · Φ) = Ψ ∗ : Φ. 证明 可直接通过计算, 证明仿射量迹的基本性质. 1. I : Φ = (δ j i g i ⊗ gj ) : (Φ s · tgs ⊗ g t ) = δ j i Φ i ·j = trΦ. 2. 根据性质 (1) 以及 e 点积的线性性, 即有 tr(αΦ + βΨ) = I : (αΦ + βΨ) = αI : Φ + βI : Ψ = αtrΦ + βtrΨ. 3. 有 tr(Φ · Ψ) = tr(Φ i ·jΨ j · kgi ⊗ g k ) = Φ i ·jΨ j · i , tr(Ψ · Φ) = tr(Ψ k · iΦ i ·jgk ⊗ g j ) = Ψ j · iΦ i ·j , Ψ ∗ : Φ = Ψ j · iΦ k · lδ i k δ l j = Φ i ·jΨ j · i . 即 tr(Φ · Ψ) = tr(Ψ · Φ) = Ψ ∗ : Φ. 1.1.4 仿射量的矩 定义 1.4 (仿射量的矩). 仿射量 Φ ∈ L in(R m) 的 r 次幂的迹称为仿射量的 r 阶矩, 记作 Ir = tr(Φ r ) = tr(Φ · · · · · Φ | {z } r重点积 ). 由于 Φ r = Φ · · · · · Φ = Φ i ·s1Φ s1 · s2 · · · Φ sr−1 · jgi ⊗ g j , 因此有 Ir(Φ) = tr(Φ r ) = Φ i ·s1Φ s1 · s2 · · · Φ sr−1 · i . 一般地, 第 r 个主不变量是第 1 到 r 阶矩的函数 Ir(Φ) = fr(I1(Φ), I2(Φ), · · · , Ir(Φ)). 2
张量代数一仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 但非线性函数例如,对于更∈in(R3)有如下表示 I1(更)=6更;=重:=t更=1(更) 12 2(①,一 =7(1()-2 ()%的队二司8时两 后(十时十时时则一时面则一明时一明) (()+53(4)-57(西2() 1.2谱分解 定理1.2(谱分解定理).对任意对称仿射量φ∈xin(Rm),存在单位正交基{e(i)}m=1满 重=∑e(i)se() 此处,{λ;}m1为更的m个特征值,且均为实数 证明首先证明对于φ∈Sym,其特征值全部为实数.考虑φ在典则基下的表 Φ(j)i⑧i,其特征方程为 det(c(j)-(6(10)=0 此处((G)为对称矩阵,按线性代数中的结论有其特征值均为实数,因此有对称仿射量的特征 值均为实数,而且存在一组单位正交基满足更·e()=Ae(l).故有 更=重e(),e()e(1)e()=(e()·更·e(e(1)e)=(与(i)e(1)8e() Aie(iei) 对于对称正定仿射量Ⅴ∈PSym,总是有 更=∑Ae()e(),A>0(i=1,…,m) 由此定义对称正定仿射量的幂运算,即 更全∑Ae()8e(),Va∈R
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 但非线性函数. 例如, 对于 Φ ∈ L in(R 3 ) 有如下表示: I1(Φ) = δ i jΦ j · i = Φ i ·i = trΦ = I1(Φ); I2(Φ) = 1 2!δ ij pqΦ p · iΦ q · j = 1 2 δ i p δ j p δ i q δ j p Φ p · iΦ q · j = 1 2 (Φ i ·iΦ j · j − Φ j · iΦ i ·j ) = 1 2 ( I1(Φ) )2 − 1 2 I2(Φ); I3(Φ) = 1 3!δ ijk rstΦ r · iΦ s · jΦ t ·k = 1 6 δ i r δ j r δ k r δ i s δ j s δ k s δ i t δ j t δ k t Φ r · iΦ s · jΦ t ·k = 1 6 ( Φ i ·iΦ j · jΦ k · k + Φ j · iΦ k · jΦ i ·k + Φ k · iΦ i ·jΦ j · k − Φ k · iΦ i ·kΦ j · j − Φ i ·iΦ k · jΦ j · k − Φ i ·jΦ j · iΦ k · k ) = 1 6 ( I1(Φ) )3 + 1 3 I3(Φ) − 1 2 I1(Φ)I2(Φ). 1.2 谱分解 定理 1.2 (谱分解定理). 对任意对称仿射量 Φ ∈ L in(R m), 存在单位正交基 {e⟨i⟩}m i=1 满 足: Φ = ∑m i=1 λie⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩. 此处, {λi} m i=1 为 Φ 的 m 个特征值, 且均为实数. 证明 首先证明对于 ∀ Φ ∈ Sym, 其特征值全部为实数. 考虑 Φ 在典则基下的表示 Φ = Φ⟨ij⟩ii ⊗ ij , 其特征方程为 det ((Φ⟨ij⟩ ) − λ ( δ⟨ij⟩ )) = 0, 此处 ( Φ⟨ij⟩ ) 为对称矩阵, 按线性代数中的结论有其特征值均为实数, 因此有对称仿射量的特征 值均为实数, 而且存在一组单位正交基满足 Φ · e⟨i⟩ = λie⟨i⟩. 故有 Φ = Φ(e⟨i⟩, e⟨j⟩)e⟨i⟩ ⊗ e⟨j⟩ = (e⟨i⟩ · Φ · e⟨j⟩)e⟨i⟩ ⊗ e⟨j⟩ = (λjδ⟨ij⟩)e⟨i⟩ ⊗ e⟨j⟩ = ∑m i=1 λie⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩. 对于对称正定仿射量 ∀ Φ ∈ PSym, 总是有 Φ = ∑m i=1 λie⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩, λi > 0(i = 1, · · · , m), 由此定义对称正定仿射量的幂运算, 即 Φ α , ∑m i=1 λ α i e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩, ∀ α ∈ R. 3
张量代数一仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 考虑到 Ae(i)⑧e() A;e0)eli ∑46(0)e()e()=∑+e()e()=更 故有φ∈PSym,有 13极分解 定理1.3(极分解定理).对任意非奇异仿射量φ∈ in(Rm),则唯一存在正交仿射量 Q∈Orth和对称正定仿射量R,L∈PSym,满足 更=Q·R=L·Q 证明由于更非奇异,则φ*·φ为对称正定仿射量,则有 (更更).( 其中(φ*·更)∈PSym.故有 令R=(重”中)∈PSym,Qn=*,(更*重),考虑到 QR·QR=(-*·( I 即QR∈Orth.由此即有更=Qn·R 同理,可有 ) 其中(更·更)∈PSym,所以 令Q1=匝更”)·,L=(雪·型”)∈PSm,同理可得Q∈Orth,所以有更=L·Q1 由此证得极分解的存在性,下面证明左右极分解的唯一性.以右极分解为例,设有 =QR·R=QR·R,Qn,QR∈Orth,R,R∈Psym, 由此QR=Q·R.R-1,所以有 QR R·Q QR=(QR)=Q1
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 考虑到 Φ α · Φ β = (∑m i=1 λ α i e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩ ) · ∑m j=1 λ β j e⟨j⟩ ⊗ e⟨j⟩ = ∑m i,j=1 λ α i λ β j δ⟨ij⟩e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩ = ∑m i=1 λ α+β i e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩ = Φ α+β , 故有 ∀ Φ ∈ PSym, 有 Φ α · Φ β = Φ β · Φ α = Φ α+β , ∀ α, β ∈ R. 1.3 极分解 定理 1.3 (极分解定理). 对任意非奇异仿射量 Φ ∈ L in(R m), 则唯一存在正交仿射量 Q ∈ Orth 和对称正定仿射量 R, L ∈ PSym, 满足 Φ = Q · R = L · Q. 证明 由于 Φ 非奇异, 则 Φ ∗ · Φ 为对称正定仿射量, 则有 Φ ∗ · Φ = (Φ ∗ · Φ) 1 2 · (Φ ∗ · Φ) 1 2 , 其中 (Φ ∗ · Φ) 1 2 ∈ PSym. 故有 Φ = Φ −∗ · (Φ ∗ · Φ) 1 2 · (Φ ∗ · Φ) 1 2 . 令 R = (Φ ∗ · Φ) 1 2 ∈ PSym, QR = Φ −∗ · (Φ ∗ · Φ) 1 2 , 考虑到 Q∗ R · QR = (Φ −∗ · (Φ ∗ · Φ) 1 2 ) ∗ · (Φ −∗ · (Φ ∗ · Φ) 1 2 ) = (Φ ∗ · Φ) 1 2 · (Φ ∗ · Φ) −1 · (Φ ∗ · Φ) 1 2 = I, 即 QR ∈ Orth. 由此即有 Φ = QR · R. 同理, 可有 Φ · Φ ∗ = (Φ · Φ ∗ ) 1 2 · (Φ · Φ ∗ ) 1 2 , 其中 (Φ · Φ ∗ ) 1 2 ∈ PSym, 所以 Φ = (Φ · Φ ∗ ) 1 2 · (Φ · Φ ∗ ) 1 2 · Φ −∗ . 令 QL = (Φ · Φ ∗ ) 1 2 · Φ −∗ , L = (Φ · Φ ∗ ) 1 2 ∈ PSym, 同理可得 QL ∈ Orth, 所以有 Φ = L · QL. 由此证得极分解的存在性, 下面证明左右极分解的唯一性. 以右极分解为例, 设有 Φ = QR · R = Qe R · Re , QR, Qe R ∈ Orth, R, Re ∈ PSym, 由此 QR = Qe R · Re · R−1 , 所以有 Q∗ R = R−1 · Re · Qe ∗ R, QR = (Q∗ R) −1 = Qe R · Re −1 · R. 4
张量代数一仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 故有 R. R2=QR.R 即有R2=R,根据对称正定仿射量的幂运算有R=R,由此有QR=Q.同理可得左极分解 的唯一性 最后证明QR=QL∈Orth.由于 更=L·Q=Qn··L·Q=Q·(o·L·QL) 又考虑到L是对称正定的,因此Qi·L·QL也是对称正定的.根据右极分解的唯一性有 QR=qL=Q,R=Q*·LQ 2应用事例 3建立路径 主不变量是关于矩的函数 仿射量的谱分解及极分解基于仿射量的特征问题
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 故有 Qe R · Re −1 · R2 = Qe R · Re , 即有 R2 = Re 2 . 根据对称正定仿射量的幂运算有 R = Re , 由此有 QR = Qe R. 同理可得左极分解 的唯一性. 最后证明 QR = QL ∈ Orth. 由于 Φ = L · QL = QL · Q∗ L · L · QL = QL · (Q∗ L · L · QL), 又考虑到 L 是对称正定的, 因此 Q∗ L · L · QL 也是对称正定的. 根据右极分解的唯一性有 QR = QL = Q, R = Q∗ · L · Q. 2 应用事例 3 建立路径 • 主不变量是关于矩的函数. • 仿射量的谱分解及极分解基于仿射量的特征问题. 5