曲面上截线与法截线曲率 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 1.1截线曲率 现在考虑m+1维 Euclid空间中的m维曲面截线曲率的问题.首先,三维空间中曲线的 Frenet标架可以看作是m+1维空间中曲线的 Frenet标架在m=2时的特殊情况,其切向量 τ和法向量n的构造方式与三维空间中曲线相同,副法向量则为一组与切向量、法向量都正交 的向量组{b2}m1,根据 Schmidt正交化的过程,总可以构造出相互正交的副法向量组 设截面可以表示为Ⅱ,则截线可以表示为∑∩Ⅱ.截线r()∈Ⅱ是平面曲线,其中参数s 为曲线的弧长,且所有的挠率都为零 引理11.对于曲面∑()上的任意参数曲线r(t),有如下关系成立 d, 式中定义了切空间中的内积 (4, n)Ty=bifin', VE=<gi, n=rg, E Rm+i, nx(t)为曲面∑(x)在该点处的法向量 证明因为曲线r(t)在曲面∑(x)上,所以 dt (t)=(t)=(t)91(m(t)∈Tr m(0=2((0)+(mu(a =2(t)g:(x(t)+2(t)iy(t)r9k(x(t)+b3n((t) 由此将有 d 2r 12(),nx() big (a)i(t)i(t) Rm+l dtdt/Ts 根据m+1维空间中曲线的 Frenet标架,截线的切向量可以表示为r(s)=ds (s)=r(s) 现s为弧长参数.法向量满足 T(s)=r"(s)=h(s)m(s)
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上截线与法截线曲率 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 截线曲率 现在考虑 m + 1 维 Euclid 空间中的 m 维曲面截线曲率的问题. 首先, 三维空间中曲线的 Frenet 标架可以看作是 m + 1 维空间中曲线的 Frenet 标架在 m = 2 时的特殊情况, 其切向量 τ 和法向量 n 的构造方式与三维空间中曲线相同, 副法向量则为一组与切向量、法向量都正交 的向量组 {bi} m−1 i=1 , 根据 Schmidt 正交化的过程, 总可以构造出相互正交的副法向量组. 设截面可以表示为 Π, 则截线可以表示为 Σ ∩ Π. 截线 r(s) ∈ Π 是平面曲线, 其中参数 s 为曲线的弧长, 且所有的挠率都为零. 引理 1.1. 对于曲面 Σ(x) 上的任意参数曲线 r(t), 有如下关系成立: ⟨ dr dt (t), dr dt (t) ⟩ T xΣ = ( d 2 r dt 2 (t), nΣ(t) ) Rm+1 , 式中定义了切空间中的内积 ⟨ξ, η⟩TxΣ = bijξ i η j , ∀ ξ = ξ i gi , η = η j gj ∈ R m+1 , nΣ(t) 为曲面 Σ(x) 在该点处的法向量. 证明 因为曲线 r(t) 在曲面 Σ(x) 上, 所以 dr dt (t) = r˙(t) = ˙x i (t)gi (x(t)) ∈ TxΣ; d 2 r dt 2 (t) = ¨x i (t)gi (x(t)) + ˙x i (t) ˙x j (t) ∂gi ∂xj (x) = ¨x i (t)gi (x(t)) + ˙x i (t) ˙x j (t)[Γ k ijgk (x(t)) + bijn(x(t))]. 由此将有 ( d 2 r dt 2 (t), nΣ(t) ) Rm+1 = bij (x) ˙x i (t) ˙x j (t) = ⟨ dr dt (t), dr dt (t) ⟩ T xΣ . 根据 m + 1 维空间中曲线的 Frenet 标架, 截线的切向量可以表示为 τ (s) = dr ds (s) = r ′ (s), 现 s 为弧长参数. 法向量满足 τ ′ (s) = r ′′(s) = κ(s)n(s), 1
曲面上截线与法截线曲率 谢锡麟 式中,(s)=|r"(s)m+1为曲线的曲率,n(s)= (8)为曲线的法向量 r"(s)|m+1 注意到 r(t)I r(tIR 所以 (r(s),r'(s)r= bij()i(t)i(t) bi;(a )i(t)i(t) m+l gpq(a)ip(t)iq(t) (r"(s),nx)2m+1=()(n(),nx)m+1=(s)cos(m,nx) 式中,(n,nx)表示曲线法向量n与曲面法向量n之间的夹角.根据引理11可得 K(s(t) cos(n, nE) gpg(a)ip(t)iq(t) 截线曲率即为 K(s(t)= cos(n, ny)gpq(a)ip(t)i(t) 1.2法截线曲率 法截线是曲面与通过曲面某点法线的平面(法截面)相交截得的曲线.在这种情况下, cos(n,nx)=±1,因此法截线曲率可以表示为 K(s(t)=± bij(a)i(t)i(t) gpq(a)ip(t)iq(t) 上式右端的分子和分母都是二次型,于是引入 (t) im(t) 则法截线曲率可以表示为 k(s(t)) ∈(t)B(x(1)(t) ∈(t)G(x(t)E(t 根据同时对角化定理,一定存在一个非奇异矩阵S∈Rmxm,使得 STGS=I SBS 其中A满足det(B-λG)=0,i=1,……,m.所以有 S-s (s(t)
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上截线与法截线曲率 谢锡麟 式中, κ(s) = |r ′′(s)|Rm+1 为曲线的曲率, n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|Rm+1 为曲线的法向量. 注意到 r ′ (s) = r˙(t) dt ds = r˙(t) |r˙(t)|Rm+1 = x˙ i (t) |r˙(t)|Rm+1 gi (x(t)), 所以 ⟨r ′ (s), r ′ (s)⟩T xΣ = bij (x) ˙x i (t) ˙x j (t) |r˙(t)| 2 Rm+1 = bij (x) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(x) ˙x p(t) ˙x q(t) , ( r ′′(s), nΣ ) Rm+1 = κ(s) (n(s), nΣ)Rm+1 = κ(s) cos(n, nΣ), 式中, (n, nΣ) 表示曲线法向量 n 与曲面法向量 nΣ 之间的夹角. 根据引理1.1可得 κ(s(t)) cos(n, nΣ) = bij (x) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(x) ˙x p(t) ˙x q(t) , 截线曲率即为 κ(s(t)) = 1 cos(n, nΣ) bij (x) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(x) ˙x p(t) ˙x q(t) . 1.2 法截线曲率 法截线是曲面与通过曲面某点法线的平面 (法截面) 相交截得的曲线. 在这种情况下, cos(n, nΣ) = ±1, 因此法截线曲率可以表示为 κ(s(t)) = ± bij (x) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(x) ˙x p(t) ˙x q(t) . 上式右端的分子和分母都是二次型, 于是引入 ξ(t) = x˙ 1 (t) . . . x˙ m(t) , 则法截线曲率可以表示为 κ(s(t)) = ± ξ T(t)B(x(t))ξ(t) ξ T(t)G(x(t))ξ(t) . 根据同时对角化定理, 一定存在一个非奇异矩阵 S ∈ R m×m, 使得 S TGS = Im, S TBS = λ1 . . . λm . 其中 λi 满足 det(B − λiG) = 0, i = 1, · · · , m. 所以有 κ(s(t)) = ± ξ T(S −1 ) T λ1 . . . λm S −1 ξ ξ T(S −1 ) TImS −1 ξ . 2
曲面上截线与法截线曲率 谢锡麟 E(t 如果令￡(t)=S-E(t)= 则法截线曲率可以表示为简单的形式 (t)=±x( lE(t 如果取()=1(第行,则有(6()=±.此时()=0)=S(,即为矩阵S的第i 0 列 切平面 相对于主方向e;的 Xm+ 相对于主方向e;的 主法截线 法截线 O Figure1:主法截线示意 曲率为k(s(1)=土λ的法截线称为主法截线.以S的各个列向量{S}1分别作为切空 间局部协变基{g}1的坐标,则确定了一个切空间的单位正交基{e}1,称为主方向.具体可 表述如下 s 由于 因此 em)是正交矩阵,即{e}m1是切空间的一个单位正交基 n同主方向ea确定的法截面截取曲面∑的截线为一条主法截线,其曲率为±A2,主方向 及主法截线的关系,如图1所示
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上截线与法截线曲率 谢锡麟 如果令 eξ(t) = S −1 ξ(t) = ξe1 (t) . . . ξem(t) , 则法截线曲率可以表示为简单的形式 κ(s(t)) = ± λi(ξei (t))2 |eξ(t)| 2 R2 . 如果取 eξ(t) = 0 . . . 1 . . . 0 (第i行), 则有 κ(s(t)) = ±λi . 此时 ξ(t) = Seξ(t) = Si(t), 即为矩阵 S 的第 i 列. X1 Xm Xm+1 O 最樅䶒 Σ ei ej nΣ ロ尹引挨靜菅 ei A 挨/肭楫 ロ尹引挨靜菅 ej A 挨/肭楫 Figure 1: 主法截线示意 曲率为 κ(s(t)) = ±λi 的法截线称为主法截线. 以 S 的各个列向量 {Si} m i=1 分别作为切空 间局部协变基 {gi} m i=1 的坐标，则确定了一个切空间的单位正交基 {ei} m i=1, 称为主方向. 具体可 表述如下 ( e1 · · · em ) = ( g1 · · · gm ) S. 由于 ( e1 · · · em )T ( e1 · · · em ) = S TGS = Im, 因此 ( e1 · · · em ) 是正交矩阵, 即 {ei} m i=1 是切空间的一个单位正交基. nΣ 同主方向 ei 确定的法截面截取曲面 Σ 的截线为一条主法截线, 其曲率为 ±λi . 主方向 及主法截线的关系, 如图1所示. 3
曲面上截线与法截线曲率 谢锡麟 2应用事例 3建立路径 ·截线曲率的计算基于特点的结构.按作者的认识,这样的结构尚未见应用于其它知识点.作 者谨认为,按“结构(数学通识)”的观点认知知识体系是一个理想的方式方法 主法方向的确定基于线性代数中将一个对称正定阵与对称阵同时对角化的特点结构,此结 构作用于理论力学中保守系统在平衡点附近的振动行为的研究.可以预见,如果所研究的 对象可以提取为一个对称正定阵与一个对称阵,则同时对角化将蕴含其机制
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上截线与法截线曲率 谢锡麟 2 应用事例 3 建立路径 • 截线曲率的计算基于特点的结构. 按作者的认识, 这样的结构尚未见应用于其它知识点. 作 者谨认为, 按 “结构 (数学通识)” 的观点认知知识体系是一个理想的方式方法. • 主法方向的确定基于线性代数中将一个对称正定阵与对称阵同时对角化的特点结构, 此结 构作用于理论力学中保守系统在平衡点附近的振动行为的研究. 可以预见, 如果所研究的 对象可以提取为一个对称正定阵与一个对称阵, 则同时对角化将蕴含其机制. 4