曲面形态连续介质有限变形理论一构型构造 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月21日 1知识要素 11物理构型与参数构型 般运动曲面可有如下向量值映照表示 X X(,t):Ds3m=/) 3)→(x,t)2X(x,)∈R 此处Dx 代表参数域.可以在参数域中定义连续介质的运动为6P一微分同胚: c=c(x,t)∈P 此处Vx表示“初始参数构型”,Vxy为“当前参数构型”.对应地,Vx:=E(Vks,to)为“初 始物理构型”,v=(vs,t)为“当前物理构型”.三维 Euclid空间中几何形态为曲面的连 续介质有限变形理论(二维曲面理论)的构型构造如图1所示 初始物理构型∑(Ex,to) 当前物理构型 r3初始参数构型 y=s(Es, t) 当前参数构型 Figure1:二维曲面理论构型构造示意
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论—构型构造 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 物理构型与参数构型 一般运动曲面可有如下向量值映照表示: Σ(xΣ, t) : DΣ ∋ xΣ = ( x 1 Σ x 2 Σ ) 7→ Σ(xΣ, t) , X1 Σ X2 Σ X3 Σ (xΣ, t) ∈ R 3 , 此处 DΣ ⊂ R 2 代表参数域. 可以在参数域中定义连续介质的运动为 C p －微分同胚: xΣ = xΣ(ξΣ, t) ∈ C p ( ◦ V ξΣ , t V xΣ ), 此处 ◦ V ξΣ 表示 “初始参数构型”, t V xΣ 为“当前参数构型”. 对应地, ◦ V Σ := Σ( ◦ V ξΣ , t0) 为“初 始物理构型”, t V Σ := Σ( t V ξΣ , t) 为“当前物理构型”. 三维 Euclid 空间中几何形态为曲面的连 续介质有限变形理论 (二维曲面理论) 的构型构造如图1所示. X1 X2 X3 O ◦ V Σ 際丐へ⨶㎎鰭 t V Σ 澀晒へ⨶㎎鰭 Σ(ξΣ, t0) Σ(xΣ, t) x 1 Σ x 2 Σ O 際丐尻閻㎎鰭 ◦ V xΣ t V xΣ ξΣ 澀晒尻閻㎎鰭 xΣ xΣ = xΣ(ξΣ, t) Figure 1: 二维曲面理论构型构造示意 1
体积形态连续介质有限变形理论·构型构造 谢锡麟 1.2速度与物质导数 曲面上介质质点的速度定义为其位置向径相对于时间的变化率,可有 a(a(x1),1)+2① t(s(s,1),)+这9,(x(x;), 此处,0(Es,)由此,定义于连续介质之上的张量场的物质导数具有如下表示形式 ∝(2娅s(5x,4)t)+的(x(x,1,t) m+19):(m0)=m+6,(⑤∞) (as, t)+(V 0∑ c∑,t) 口⑧φ 此处a2(x,t)g表示曲面上相对于 Euler坐标的全梯度算子 2应用事例 3建立路径 ·不同于体积形态连续介质的有限变形理论,曲面形态连续介质的初始物理构型与当前物理 构型都位于一张可变形的曲面之上,故没有全空间意义下的微分同胚.然而,初始参数构型 与当前参数构型都位于曲面参数域(平面上的一个子集),二者之间可为微分同胚.亦即,以 参数刻画的变形运动, Euler坐标与 Lagrange坐标之间的关系为微分同胚
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -构型构造 谢锡麟 1.2 速度与物质导数 曲面上介质质点的速度定义为其位置向径相对于时间的变化率, 可有 V , Σ˙ , ∂Σ ∂t (xΣ(ξΣ, t), t) + ˙x i Σ ∂Σ ∂xi Σ (xΣ(ξΣ, t), t) = ∂Σ ∂t (xΣ(ξΣ, t), t) + ˙x s Σ gs (xΣ(ξΣ, t), t), 此处 x˙ s Σ := ∂xs Σ ∂t (ξΣ, t). 由此, 定义于连续介质之上的张量场的物质导数具有如下表示形式: Φ˙ , ∂Φ ∂t (ξΣ, t) = ∂Φ ∂t (xΣ(ξΣ, t), t) + ˙x s Σ ∂Φ ∂xs Σ (xΣ(ξΣ, t), t) = ∂Φ ∂t (xΣ, t) + ( ˙x s Σ gs ) · ( g l ⊗ ∂Φ ∂xl Σ (xΣ, t) ) = ∂Φ ∂t (xΣ, t) + ( ˙x s Σgs ) · (Σ ⊗ Φ ) = ∂Φ ∂t (xΣ, t) + ( V − ∂Σ ∂t (xΣ, t) ) · (Σ ⊗ Φ ) , 此处 Σ := ∂ ∂xs Σ (xΣ, t)g s 表示曲面上相对于 Euler 坐标的全梯度算子. 2 应用事例 3 建立路径 • 不同于体积形态连续介质的有限变形理论, 曲面形态连续介质的初始物理构型与当前物理 构型都位于一张可变形的曲面之上, 故没有全空间意义下的微分同胚. 然而, 初始参数构型 与当前参数构型都位于曲面参数域 (平面上的一个子集), 二者之间可为微分同胚. 亦即, 以 参数刻画的变形运动, Euler 坐标与 Lagrange 坐标之间的关系为微分同胚. 2
