体积形态连续介质有限变形理论一守恒律方程 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11质量守恒 按物质体输运定理,有 i pdr=A 则有 Euler型质量守恒微分方程 p+6p=0 进一步考虑分量表示,可有 0p O (a, t)+i'o(a, t)+p aX t(,t)+(v ot (, t), 9 Ra/aos(a, t)+pvss (a, t)+Vs(pvs) (c,t),g° R3Os(2,)=0 另一方面,可考虑 式中(E)为相对于初始物理构型的密度分布则有 Lagrange型质量守恒微分方程 pF|=p(5,t) 12动量守恒 首先考虑如下引理 引理1.1.对V更∈(R3,有 项= 证明 dt/ ppdr=d p更Fdr pFr=10(+)型F+pFdr 吨F山= 式中利用了 Euler型质量守恒方程
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论—守恒律方程 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 质量守恒 按物质体输运定理, 有 d dt ∫ t V ρdτ = ∫ t V ( ˙ρ + θρ) dτ = 0, 则有 Euler 型质量守恒微分方程 ρ˙ + θρ = 0. 进一步考虑分量表示, 可有 ∂ρ ∂t(x, t) + ˙x s ∂ρ ∂xs (x, t) + ρ∇sV s = ∂ρ ∂t(x, t) + ( V s − ( ∂X ∂t (x, t), g s ) R3 ) ∂ρ ∂xs (x, t) + ρ∇sV s = ∂ρ ∂t(x, t) + ∇s(ρV s ) − ( ∂X ∂t (x, t), g s ) R3 ∂ρ ∂xs (x, t) = 0. 另一方面, 可考虑 ∫ t V ρdτ = ∫ ◦ V ρ|F|dτ = ∫ ◦ V ◦ ρdτ, 式中 ◦ ρ(ξ) 为相对于初始物理构型的密度分布. 则有 Lagrange 型质量守恒微分方程 ρ|F| = ◦ ρ(ξ, t). 1.2 动量守恒 首先考虑如下引理. 引理 1.1. 对 ∀ Φ ∈ T p (R 3 ), 有 d dt ∫ t V ρΦdτ = ∫ t V ρΦ˙ dτ. 证明 d dt ∫ t V ρΦdτ = d dt ∫ ◦ V ρΦ|F|dτ = ∫ ◦ V ˙ ρΦ|F|dτ = ∫ ◦ V [ ( ˙ρ + θρ) Φ|F| + ρΦ˙ |F| ] dτ = ∫ ◦ V ρΦ˙ |F|dτ = ∫ t V ρΦ˙ dτ. 式中利用了 Euler 型质量守恒方程. 1
体积形态连续介质有限变形理论-守恒律方程 谢锡麟 由动量守恒关系式 d dt /sever t ndo+/ pfmdr, 此处t∈2(R3)为应力张量,fm为单位质量物质所受的体积力.由上述引理以及 Gauss- Ostrogradski公式,可有 pa=/ t Odr+/ pfmdr 即有 Euler型动量守恒微分方程 t+pf 另一方面,考虑 0∑0∑ t·nde a入ap I(A,u)dr t·|F|F- 92 a2(,p dr (FtF)·Ndr=|。(Ft·F-)口dr 故可有 Lagrange型动量守恒微分方程 口+;f (F·T).口+pfm, 式中r:=|Ft·F-称为第一类 Piola- Kirchho应力张量,T:=F-1r=|F|F-1·t·F 称为第二类Pioa- Kirchhoff应力张量 1.3动量矩守恒 由动量矩守恒关系式 dt/ r x(pv)dr=f, rx(t n)do+/ rx(efm)dr+/ pmdT 此处m为单位质量连续介质所受的内力偶.考虑到 d j rx(ev)dr=/ or x var=/or x adr (r×t)·ndo 则有 Euler型动量矩守恒微分方程 p×a=(r×t)·口+pr×fm+pm
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 由动量守恒关系式 d dt ∫ t V ρV dτ = ∮ ∂ t V t · ndσ + ∫ t V ρfmdτ, 此处 t ∈ T 2 (R 3 ) 为应力张量, fm 为单位质量物质所受的体积力. 由上述引理以及 GaussOstrogradskii 公式, 可有 ∫ t V ρa = ∫ t V t · dτ + ∫ t V ρfmdτ, 即有 Euler 型动量守恒微分方程 ρa = · t + ρfm. 另一方面, 考虑 ∮ ∂ t V t · ndσ = ∫ Dλµ t · ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ)dτ = ∫ Dλµ t · |F|F −∗ · ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ (λ, µ) dτ = ∮ ∂ o V (|F|t · F −∗) · Ndτ = ∫ ◦ V (|F|t · F −∗) · ◦ dτ, 故可有 Lagrange 型动量守恒微分方程 ◦ ρa = (|F|t · F −∗) · ◦ + ◦ ρfm =: τ · ◦ + ◦ ρfm, (F · T ) · ◦ + ◦ ρfm, 式中 τ := |F|t · F −∗ 称为第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量, T := F −1 · τ = |F|F −1 · t · F −∗ 称为第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量. 1.3 动量矩守恒 由动量矩守恒关系式 d dt ∫ t V r × (ρV ) dτ = ∮ ∂ t V r × (t · n) dσ + ∫ t V r × (ρfm) dτ + ∫ t V ρmdτ, 此处 m 为单位质量连续介质所受的内力偶. 考虑到 d dt ∫ t V r × (ρV ) dτ = ∫ t V ρ ˙ r × V dτ = ∫ t V ρr × adτ, ∮ ∂ t V r × (t · n) dσ = ∮ ∂ t V (r × t) · ndσ = ∫ t V (r × t) · dτ, 则有 Euler 型动量矩守恒微分方程 ρr × a = (r × t) · + ρr × fm + ρm. 2
体积形态连续介质有限变形理论-守恒律方程 谢锡麟 考虑到 (×t)口=(×t)·(ga)(x,t)会(r×t)(x,1)·g at ax2(,t)×t+rx a7(2, =(g1×t)·g at (x,t)·9|=(91×t)g+rx(t口) 结合动量守恒方程,则有动量矩守恒方程的最终形式 (t'g189g) =Elint 9+ g4+ 0∈武 上述表示,当不考虑内力偶情形,亦即m=0∈R3,则动量矩守恒等价于t=t,亦即应力张 量为对称仿射量 14能量守恒 由能量守恒关系式 0(+)=点 2+e)d v·(t·n)da+l.v.(nfm)dr+∮:(-和m).nd 此处T表示温度,k表示传热系数,qm表示单位质量上的热源强度,则有 Euler型能量守恒微 分方程 +e|=(v:t)口+pV·fm-口·(kT)+pqm 进一步考虑 0 (c,t) O7(e, 9+V a7(2,0 at (v)+v:|a2(,)yg =(V⑧口):t+v(t·口), 综合 Euler型动量守恒微分方程,可有
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 考虑到 (r × t) · = (r × t) · ( g l ∂ ∂xl ) (x, t) , ∂ ∂xl (r × t) (x, t) · g l = [ ∂r ∂xl (x, t) × t + r × ∂t ∂xl (x, t) ] · g l = (gl × t) · g l + r × [ ∂t ∂xl (x, t) · g l ] = (gl × t) · g l + r × (t · ), 结合动量守恒方程, 则有动量矩守恒方程的最终形式 (gl × t) · g l + ρm = [ gl × ( t ijgi ⊗ gj )] · g l + ρm = εlikt ilg k + ρm = −εijkt ijg k + ρm = 0 ∈ R 3 . 上述表示, 当不考虑内力偶情形, 亦即 m = 0 ∈ R 3 , 则动量矩守恒等价于 t ij = t ji , 亦即应力张 量为对称仿射量. 1.4 能量守恒 由能量守恒关系式 d dt ∫ t V ρ ( |V | 2 2 + e ) dτ = ∮ ∂ t V V · (t · n) dσ + ∫ t V V · (ρfm) dτ + ∮ ∂ t V (−kT) · ndσ + ∫ t V ρqmdτ, 此处 T 表示温度, k 表示传热系数, qm 表示单位质量上的热源强度, 则有 Euler 型能量守恒微 分方程 ρ ( ˙ |V | 2 2 + ˙e ) = (V · t) · + ρV · fm − · (kT) + ρqm. 进一步考虑 ρ ˙ |v| 2 2 = ρV · a, (V · t) · = (V · t) · ( g l ∂ ∂xl ) (x, t) = [ ∂V ∂xl (x, t) · t ] · g l + [ V · ∂t ∂xl (x, t) ] · g l = (∇lVi)t il + V · [ ∂t ∂xl (x, t) · g l ] = (V ⊗ ) : t + V · (t · ), 综合 Euler 型动量守恒微分方程, 可有 ρe˙ = (V ⊗ ) : t − · (kT) + ρqm. 3
体积形态连续介质有限变形理论-守恒律方程 谢锡麟 另考虑 (Y+)=v.a+ (efm)d Av pander=e 上述利用了 Lagrange质量守恒微分方程pF=p,则 a v·t 0入a (V·)口dr, (k口T)·nda ∑ (口)·(F|F-) OF) (, p)do FF-1·(·Nd=-1FF1·(口m)]dr J(P'F)- (ir) 式中 aT r=a(1=1(1)b(,9 B (,t)C a xt GOG 综上,则有 v(0)+=+v(m)-[F(F,(6)+m 再由 v·)=m,1)·r+v·m(G2 V⑧ 结合 Lagrange型动量守恒微分方程,可有 =(va)r-{F(F(6),a+m
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 另考虑 ∫ t V ρ ( ˙ |V | 2 2 + e ) dτ = ∫ ◦ V ◦ ρ (V · a + ˙e) dτ, ∫ t V V · (ρfm) dτ = ∫ ◦ V V · ( ◦ ρfm ) dτ, ∫ t V ρqmdτ = ∫ ◦ V ◦ ρqmdτ, 上述利用了 Lagrange 质量守恒微分方程 ρ|F| = ◦ ρ, 则 ∮ ∂ t V V · (t · n) dσ = ∫ Dλµ V · t · ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ)dσ =: ∮ ∂ ◦ V (V · τ ) · Ndσ = ∫ ◦ V (V · τ ) · ◦ dτ, − ∮ ∂ t V (kT) · ndσ = − ∫ Dλµ (kT) · ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ dσ = − ∫ Dλµ (kT) · ( |F|F −∗) · ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ (λ, µ)dσ − ∮ ∂ ◦ V [ k|F|F −1 · (T) ] · Ndσ = − ∫ ◦ V [ k|F|F −1 · (T) ] · ◦ dτ = − ∫ ◦ V [ k|F|(F ∗F) −1 · ( ◦ T )] · ◦ dτ, 式中 T = ∂T ∂xi (x, t)g i = ∂T ∂ξA (ξ, t) ∂ξA ∂xi (x, t)g i = [ ∂T ∂ξA (ξ, t)GA ] · [ ∂ξB ∂xi GB ⊗ g i ] = ( ◦ T ) · F −1 . 综上, 则有 V · ( ◦ ρa ) + ◦ ρe˙ = (V · τ ) · ◦ + V · ( ◦ ρfm ) − [ k|F|(F ∗F) −1 · ( ◦ T )] · ◦ + ◦ ρqm. 再由 (V · τ ) · ◦ = [ ∂V ∂ξL (ξ, t) · τ + V · ∂τ ∂ξL (ξ, t) ] · GL = ( V ⊗ ◦ ) : τ + V · ( τ · ◦ ) , 结合 Lagrange 型动量守恒微分方程, 可有 ◦ ρe˙ = ( V ⊗ ◦ ) : τ − [ k|F|(F ∗F) −1 · ( ◦ T )] · ◦ + ◦ ρqm. 4
体积形态连续介质有限变形理论-守恒律方程 谢锡麟 v⑧=aε I(,t)GL=Ov Oa r(,)a(t)|8a 7(208y1./ x(1)918G2 (V⑧口)·F=L·F, 可有 V80: T=(LF):(FT)=tr(F"L'FT tr[(F"L'F)T"=tr(F*LFT) =tr(F"DFT)=(F"DF): T 计算 almansi应变张量E(F“F-D),有 e=2(FF+FF)=2(ELF+F"LF)=PDE 故有 ⑧ E: 综上,有 Lagrange型能量守恒微分方程 Be=E:T-kF(F"F)-1·(口 此处T全F|F-1·t·F-为第二类 Piola-Kirchhoff应力张量.e可理解为单位体积固定质点 系统所具有的内能 2应用事例 3建立路径 守恒律方程的推导,首先按自然界中的守恒律列出物质体上的积分关系式,然后结合物质 体输运定理获得积分型及微分型关系式.本讲稿推导了质量守恒,动量守恒,动量矩守恒以 及能量守恒的 Euler型以及 Lagrange型微分方程 值得指出,质量守恒因为同介质的物性完全无关,故可隶属运动学,而其它形式的守恒律方 程则隶属动力学
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 由 V ⊗ ◦ = ∂V ∂ξL (ξ, t) ⊗ GL = [ ∂V ∂xl (x, t) ∂xl ∂ξL (ξ, t) ] ⊗ GL = [ ∂V ∂xl (x, t) ⊗ g l ] · [ ∂xi ∂ξL (ξ, t)gi ⊗ GL ] = (V ⊗ ) · F = L · F, 可有 ( V ⊗ ◦ ) : τ = (LF) : (F T ) = tr(F ∗L ∗F T ) = tr[(F ∗L ∗F) ∗ T ∗ ] = tr(F ∗LF T ) = tr(F ∗DF T ) = (F ∗DF) : T . 计算 Almansi 应变张量 E , 1 2 (F ∗F − I), 有 E˙ = 1 2 ( F˙ ∗ F + F ∗F˙ ) = 1 2 (F ∗L ∗F + F ∗LF) = F ∗DF, 故有 ( V ⊗ ◦ ) : τ = E˙ : T . 综上, 有 Lagrange 型能量守恒微分方程 ◦ ρe˙ = E˙ : T − [ k|F|(F ∗F) −1 · ( ◦ T )] · ◦ + ◦ ρqm. 此处 T , |F|F −1 · t · F −∗ 为第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量. ◦ ρe 可理解为单位体积固定质点 系统所具有的内能. 2 应用事例 3 建立路径 • 守恒律方程的推导, 首先按自然界中的守恒律列出物质体上的积分关系式, 然后结合物质 体输运定理获得积分型及微分型关系式. 本讲稿推导了质量守恒, 动量守恒, 动量矩守恒以 及能量守恒的 Euler 型以及 Lagrange 型微分方程. • 值得指出, 质量守恒因为同介质的物性完全无关, 故可隶属运动学, 而其它形式的守恒律方 程则隶属动力学. 5
