山东大学：《弹性力学》课程讲义_第四章 广义胡克定律

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 第四章广义胡克定律 第四章广义胡克定律 §4.1节广义胡克定律 §42节拉梅常数与工程弹性常数.… §43节弹性应变能函数 §44节横观各向同性弹性

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 1 第四章 广义胡克定律 第四章 广义胡克定律.....................................................................................................................1 §4.1 节 广义胡克定律.............................................................................................................2 §4.2 节 拉梅常数与工程弹性常数.........................................................................................5 §4.3 节 弹性应变能函数.........................................................................................................8 §4.4 节 横观各向同性弹性.....................................................................................................9

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 §41节广义胡克定律 (一)单向应力状态下胡克定律 单向应力状态下,处于线弹性阶段材料,其应力与应变关系可由下式表示 F=E 其中E为材料的弹性模量。 )三维广义胡克定律 三维条件下,物体应力状态可由6个分量表示,而应变状态也由6个分量表示。 假设应力与应变的各个分量之间均相关,一般地 =C5x+c12y+35=+C145x+cis5 Ou=CIEx +C22Ew t C238+ C24E +C2sE-+C26& ==C315x+c32y+C35=+c345y+cy5y=+c365x +C425y+C43E=+c4 Cas8-+ca (1) o.=C8 +C52"y +Ca+Cs4"y Oxx=C61Exx +C62EytC63E- +C64ErytC6sEy +C66x 或写作 C61C62C63C64C65C66LE-r 其中,Cm(m,n=1,…,6)为弹性常数 上式建立了应力与应变之间的一般关系,称之为广义胡克定律。 式中共有36个常数 (三)弹性常数矩阵的对称性 上述36个常数并不都是独立的,从§4.3节能量角度考虑,弹性常数矩阵是对称的,即极端

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 2 §4.1 节 广义胡克定律 （一）单向应力状态下胡克定律 单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：   x x  E 其中 E 为材料的弹性模量。 （二）三维广义胡克定律 三维条件下，物体应力状态可由 6 个分量表示，而应变状态也由 6 个分量表示。 假设应力与应变的各个分量之间均相关，一般地， 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 5 xx xx yy zz xy yz zx yy xx yy zz xy yz zx zz xx yy zz xy yz zx xy xx yy zz xy yz zx yz xx yy c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c                                                           3 54 55 56 61 62 63 64 65 66 zz xy yz zx zx xx yy zz xy yz zx c c c c c c c c c                                （1） 或写作 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c                                                      （2） 其中， Cmn （ m n, 1, ,6   ）为弹性常数。 上式建立了应力与应变之间的一般关系，称之为广义胡克定律。 式中共有 36 个常数。 （三）弹性常数矩阵的对称性 上述 36 个常数并不都是独立的，从§4.3 节能量角度考虑，弹性常数矩阵是对称的，即极端

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 各向异性的弹性体其独立弹性常数只有21个 根据材料本身性质的对称性,独立的弹性常数个数将发生变化。 若材料具有一个对称面,则弹性常数减少至13个; 若材料具有三个正交的对称面,即材料具有正交各向异性,则弹性常数减少至9个; 若材料是横观各向同性的,则弹性常数减少至5个; 最后,若材料是各向同性的,则弹性常数只有2个 (四)弹性常数矩阵对称性证明 假设材料具有一个对称面Oxy,证明弹性常数可由21个减少至13个。 材料在坐标系Oz下,其应力张量为 其应变张量为: 则根据广义胡克定律,其本构方程可表达为 O C C55 Ca C. C. C. c 现在如图所示旋转坐标系,旋转后应力张量为 应变张量为:

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 3 各向异性的弹性体其独立弹性常数只有 21 个。 根据材料本身性质的对称性，独立的弹性常数个数将发生变化。 若材料具有一个对称面，则弹性常数减少至 13 个； 若材料具有三个正交的对称面，即材料具有正交各向异性，则弹性常数减少至 9 个； 若材料是横观各向同性的，则弹性常数减少至 5 个； 最后，若材料是各向同性的，则弹性常数只有 2 个。 （四）弹性常数矩阵对称性证明 假设材料具有一个对称面 Oxy ，证明弹性常数可由 21 个减少至 13 个。 材料在坐标系 Oxyz 下，其应力张量为：   xx xy xz yx yy yz zx zy zz                      其应变张量为：   xx xy xz yx yy yz zx zy zz                      则根据广义胡克定律，其本构方程可表达为： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c                                                      现在如图所示旋转坐标系，旋转后应力张量为：   xx xy xz yx yy yz zx zy zz                                  应变张量为：

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 新坐标系下应力与应变分量关系仍可用广义胡克定律表示 坐标系旋转前后应力与应变分量关系可用转换公式获得。 新旧坐标系之间的转换矩阵为 且有: o=[az []=[Ll4 根据上述两式得

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 4   xx xy xz yx yy yz zx zy zz                                  新坐标系下应力与应变分量关系仍可用广义胡克定律表示： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c                                                                                       坐标系旋转前后应力与应变分量关系可用转换公式获得。 新旧坐标系之间的转换矩阵为：   1 0 0 0 1 0 0 0 1 L              且有：  '     T    L L  '     T    L L 根据上述两式得： '   xx xx  ， '   yy yy  ， '   zz zz  ， '   xy xy   ， '   yz yz   ， '   zx zx  ' xx xx    ， ' yy yy    ， ' zz zz    ， ' xy xy     ， ' yz yz     ， ' zx zx    x y z z  x  y 

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 将上述关系带入转轴后广义胡克定律得 因此 同理:cs1=c2=c3=C6=0 如此,弹性常数矩阵变为 II 00 00 00 0 0 而弹性常数减少至13个。 特别地,在正交各向异性条件下,弹性常数矩阵为 C,c23000 55 §42节拉梅常数与工程弹性常数 (一)拉梅常数 在主坐标系内考虑各向同性材料 G1=c11+c2E2+C3E3 由于,E对σ1影响与E2对a2和E3对a3影响相同,因此有

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 5 将上述关系带入转轴后广义胡克定律得： 41 42 43 44 45 46 41 42 43 44 45 46 ' ' ' ' ' ' ' xy xx yy zz xy yz zx xx yy zz xy yz zx                          c c c c c c c c c c c c xy xy yy zz xy yz zx 41 42 43 44 45 46                 c c c c c c 因此： 41 42 43 46 c c c c     0 同理： 51 52 53 56 c c c c     0 如此，弹性常数矩阵变为： 11 12 13 16 22 23 26 33 36 44 45 55 66 0 0 0 0 0 0 0 0 c c c c c c c c c c c c c       而弹性常数减少至 13 个。 特别地，在正交各向异性条件下，弹性常数矩阵为： 11 12 13 22 23 33 44 55 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c c c c c c c c c       §4.2 节 拉梅常数与工程弹性常数 （一）拉梅常数 在主坐标系内考虑各向同性材料， 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 c c c c c c c c c                           （3） 由于， 1  对 1 影响与 2  对  2 和 3  对 3 影响相同，因此有

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 同理,E2对σ和E1对a2影响、E3对σ1和E对a影响、以及E2对a和53对a2影响相同 b(5) 因此,各向同性材料只有两个常数a和b。 若令a-b=2,b=A,b=E1+E2+E3 1=0+2/E 2=b+21E2 3=6+2E3 常数λ、称为拉梅常数。 通过坐标变换,可得任意坐标系下表达式 F=26+2 (7) 式中,yx=2E,x=26,y=2Ex (二)工程弹性常数 工程中,各向同性材料常采用弹性模量和泊松比表示,即: EIOx-Moy+o ) n=lo,=+ou) ==lo-v(ou+O,) 式中, G≈E为剪切模量

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 6 11 22 33 c c c a    （4） 同理， 2  对 1 和 1  对  2 影响、 3  对 1 和 1  对 3 影响、以及 2  对 3 和 3  对  2 影响相同： 12 13 23 21 31 32 c c c c c c b       （5） 因此，各向同性材料只有两个常数 a 和 b 。 若令 a b   2 ，b   ，       1 2 3            3 3 2 2 1 1 2 2 2          （6） 常数  、  称为拉梅常数。 通过坐标变换，可得任意坐标系下表达式： 2 2 2 xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx                                   （7） 式中， 2 xy xy    ， 2 yz yz    ， 2 zx zx    （二）工程弹性常数 工程中，各向同性材料常采用弹性模量和泊松比表示，即： 1 [ ( )] 1 [ ( )] 1 [ ( )] xx xx yy zz yy yy zz xx zz zz xx yy xy xy yz yz zx zx E E E G G G                                                   （8） 式中， 2(1 )  E G 为剪切模量

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 根据上式,三个正应变相加得 式中 +0十 K为体积变形模量 至此,各向同性弹性材料可由以下三对参数表示 (λ、4),(E、v),(K,G) E E (1+v)(1-2v) E E (三)工程弹性常数关系证明 考虑纯剪状态下弹性体受力与变形: 纯剪状态下,弹性体应力张量与应变张量可表示为 000 根据广义胡克定律: Eo=Y0 (1) 2 G 式中,G为剪切模量。 转换坐标系到主坐标系

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 7 根据上式，三个正应变相加得： 1 3 m m K    式中， 1 ( ) 3 m xx yy zz          1 3     m xx yy zz    K 为体积变形模量。 至此，各向同性弹性材料可由以下三对参数表示： （  、  ），（ E 、 ），（ K ，G ） (1 )(1 2 )  E       ， 2(1 ) E     3(1 ) E K    ， 2(1 )  E G （三）工程弹性常数关系证明 考虑纯剪状态下弹性体受力与变形： 纯剪状态下，弹性体应力张量与应变张量可表示为： 0 0 0 0 0 0 0 0 0             0 0 0 0 0 0 0 0 0             根据广义胡克定律： 0 0 0 1 1 2 2 G      （1） 式中， G 为剪切模量。 转换坐标系到主坐标系，   1 0  ，  2 0  1 x 2 x 0   0 0   0

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 Eo 根据广义胡克定律 E 对比式(1)与式(2),不难得到 E §43节弹性应变能函数 (一)定义 弹性应变能为弹性体变形后单位体积能储存的能量,又称为弹性势。 2E(++0)-E(2+O,+O)+2G(G++)(9) [e2+2(62+2+E2)+G(2+y2+2) 应力和应变张量均能分解为球张量和偏张量,因此可将应变能分解为两部分: 其中,a为体积改变能,由球张量计算得到,u为形状改变能,由偏张量计算得到。 18K 1s。=(a-a2)+(a2-a1)2+(a3-a) 因此总应变能与坐标选择无关,也为一个不变量

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 8 1 0    ， 2 0    根据广义胡克定律： 1 1 2 0   1 1 E E          （2） 对比式（1）与式（2），不难得到： 2(1 )  E G §4.3 节 弹性应变能函数 （一）定义 弹性应变能为弹性体变形后单位体积能储存的能量，又称为弹性势。 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 [ 2 ( ) ( )] 2 ij ij ij xx yy zz xx yy yy zz xx zz xy yz zx xx yy zz xy yz zx u d E E G e G G                                          （9） 应力和应变张量均能分解为球张量和偏张量,因此可将应变能分解为两部分: v d u u u   其中， v u 为体积改变能，由球张量计算得到， d u 为形状改变能，由偏张量计算得到。 2 1 3 1 2 18 v m m u I K     2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 12 2 d ij ij u S e I G G               2 1 2 1 1 18 2 uII K G   因此总应变能与坐标选择无关，也为一个不变量。 1 x 2 x 0   0  0  0 0   0 0  0 

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 (二)弹性势函数与弹性常数矩阵对称性 势函数:在每一确定应变状态下,都有确定的应变能。 t 由高等数学知识,对于一个多元函数∫,根据积分交换定律有 ③=0点 同理: 根据势函数定义 即:C=C. 因此,弹性常数矩阵为对称矩阵。 §44节横观各向同性弹性 (-)定义 横观各向同性是指材料在某一平面内性质相同,但与垂直于该平面内材料性质不同。典型横 观各向同性材料:沉积岩、复合路面等 (二)横观各向同性弹性方程 000 En E 000 E c2一盒去000 (10) 000 0 00000

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 9 （二）弹性势函数与弹性常数矩阵对称性 势函数：在每一确定应变状态下，都有确定的应变能。 ij ij u      ， ij ij u      由高等数学知识，对于一个多元函数 f ，根据积分交换定律有 ( ) ( ) f f x y y x          同理： ( ) ( ) kl ij ij kl u u             根据势函数定义： ij kl kl ij          即： C C mn nm  因此，弹性常数矩阵为对称矩阵。 §4.4 节 横观各向同性弹性 （一）定义 横观各向同性是指材料在某一平面内性质相同，但与垂直于该平面内材料性质不同。典型横 观各向同性材料：沉积岩、复合路面等。 （二）横观各向同性弹性方程 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 hh vh h h v hh vh xx xx h h v yy yy hv hv zz zz h h v xy xy yz yz vh zx zx vh hh E E E E E E E E E G G G                                            （10）

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 假设各向同性平面为水平面 E、是垂直于各向同性平面的弹性模量 ·E是平行于各向同性平面的弹性模量 vh是施加垂直应变引起水平应变的泊松比 是施加水平应变引起垂直应变的泊松比; Mh各向同性平面内的泊松比 G、h是垂直于各向同性平面的剪切模量 Gh是各向同性平面内的剪切模量。 各向同性平面内O与E和Ⅷ满足如下关系式: Eh 弹性材料一定满足热力学条件,由此、E和vh、E满足如下关系式 E, E 因此,独立的弹性常数只有5个,这5个弹性常数能够完全的描述横观各向同性材料。这5 个弹性常数是E、E、Vh、Ⅷ和Gh,即: Eh E 000 0000 O (13) 0001 O 2 00000 Eh 在主空间 叮 (14 EE E

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 10 假设各向同性平面为水平面。  Ev 是垂直于各向同性平面的弹性模量；  Eh 是平行于各向同性平面的弹性模量；  νvh 是施加垂直应变引起水平应变的泊松比；  νhv 是施加水平应变引起垂直应变的泊松比；  νhh 各向同性平面内的泊松比；  Gvh 是垂直于各向同性平面的剪切模量；  Ghh 是各向同性平面内的剪切模量。 各向同性平面内 Ghh 与 Eh 和 νhh 满足如下关系式： 2 1  h hh hh E G    弹性材料一定满足热力学条件，由此 νhv、Eh 和 νvh、Ev 满足如下关系式 hv vh E E h v    因此，独立的弹性常数只有 5 个，这 5 个弹性常数能够完全的描述横观各向同性材料。这 5 个弹性常数是 Ev、Eh、νvh、νhh和 Gvh，即：   1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 hh vh h h v hh vh xx xx h h v yy yy vh vh zz zz v h v xy xy vh yz yz zx zx vh hh h E E E E E E E E E G G E                                              (13) 在主空间： 1 1 2 2 3 3 1 1 1 hh vh v h h hh vh v h h vh vh v v v E E E E E E E E E                                                  (14)