西安石油大学：《工程力学 Engineering Mechanics》课程教学资源（PPT课件）第11章 压杆稳定

第11章压杆稳定 第节压杆稳定的概念 第一节细长压杆的临界力 第三节压杆的临界应力 第四节压杆的稳定计算 第五节提高压杆稳定的措施 小结 返回

返回 压杆稳定的概念 细长压杆的临界力 压杆的临界应力 压杆的稳定计算 提高压杆稳定的措施 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节

第一节压杆稳定的概念 压杄稳定—压杄保持其原有直线平衡状态的能力,称其稳定性 (指受压杆件其平衡状态的稳定性) 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时,突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。 PP 干扰力Q 稳定平街临界状态 不稳定干街 临界力一压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力, 称作临界压力或临界荷载。 返回下上一咽[小

• 第一节 压杆稳定的概念 压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。 （指受压杆件其平衡状态的稳定性） 临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力， 称作临界压力或临界荷载。 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。 返回 下一张 上一张 小结

第二节细长压杆的临界力 、两端铰支细长压杆的临界力 2写号 取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程 7By令D=k,则可y+ky=0,M= M(x) Pi E El 其通解为y=c; sin lax+c2cskx, 由边界条件x=0,y=0;x=l,y=0; 得c2=0;c1 sin kl=0; 号 因为c1≠0,所以sink=0,得k=n(n=0、12…m) 丌2EI 22(n=012、 丌2EⅠ n取不为零的最小值,即取n=1,所以 两端铰支细长压杆的临界力计算公式(欧拉公式) 返回上

一、两端铰支细长压杆的临界力 第二节 细长压杆的临界力 取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程： ; ( ) 2 2 y EI P EI M x dx d y lj     , 0; 2 2 2 2   k y  dx d y k EI Plj 令 则有 sin cos ; 1 2 其通解为y  c kx  c kx 0; sin 0; 0, 0; , 0; 2  1      c c kl x y x l y 得 由边界条件 ( 0 1 2 ); 0, sin 0; ( 0 1 2 ) 2 2 2 1 n n l n EI P c kl kl n n n lj   则 、、、 因为 所以 得 、、、 ；         2 2 l EI Plj  n取不为零的最小值，即取n 1,所以  —两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式） 返回 下一张 上一张 小结

、其他支承情况下细长压杆的临界力 不同支承情况的压杆其边界条件不同,临界力值也不同。 也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式: 丌2EI min (pl)2 式中:E材料的弹性模量; lm压杆横截面对中性轴的最小惯性矩;单位:m4; 4-计算长度 μ长度系数,与杆端支承有关。 端固定,一端自由压杆: 2: 两端铰支细长压杆: 1=1 端固定,一端铰支压杆:μ=0.7: 两端固定细长压杆: =0.5; 不同支承情况的临界力公式可查表确定 返回下一上一张「小结

2 min 2 ( l ) EI Plj    式中： E材料的弹性模量； Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4； μl计算长度； 长度系数，与杆端支承有关。 一端固定，一端自由压杆：μ＝2； 两端铰支细长压杆： μ＝1； 一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7； 两端固定细长压杆： μ＝0.5； 二、其他支承情况下细长压杆的临界力 不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不同。 也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式： 不同支承情况的临界力公式可查表确定。 返回 下一张 上一张 小结

遗自出 杆跟支感方式{两媾馋支; 两端贤定 端固定 弹姓哉形状 上 界压为公式 2F2l)2 xE方/(0,5l 买E371)2 长度系数M 。0 a,5 7 返回下一上一小

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例10-1一根两端铰支的20an号工字钢压杆 长L=3m,钢的弹性模量E=200GPa,试确定 其临界压力。 解:查表得20a号工字钢 12=2370cm,y=158cm 临界压力按公式P/交E 计算 丌2EI2×200×10°×158×10 =346kN °由此可知,若轴向压力达到346KN时,此压杆便 会丧失稳定。 返回下一上一张「小结

• 例10-1 一根两端铰支的20a号工字钢压杆， 长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定 其临界压力。 2 2 l EI plj   kN l EI Plj 346 3 200 10 158 10 2 2 6 8 2 2           返回 下一张 上一张 小结 •解：查表得20a号工字钢: Iz =2370cm4 ,Iy =158cm4 , •临界压力按公式 计算 •由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便 会丧失稳定

例10-2:截面为200X120mm2的轴向受压木柱,l=8m,柱的支承 情况是,在最大刚度平面内压弯时为两端铰支(图a);在最小 刚度平面内压弯时为两端固定(图b),木材的弹性模量 E=0GPa,试求木柱的临界压力 解:由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 千 情况不同,所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力,以便确定在 200 哪个平面内失稳。 I20 (1)计算最大刚度平面 内的临界压力(即绕y轴失稳)。 (a) 中性轴为y轴 Ds小,,=120×200312=80×10m=80X10m4 木柱两端铰支,μ=1,则得: 3.142×10×103×80×10 123kN 8000 返回下上一咽[小

• 例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承 情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小 刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同， 所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力，以便确定在 哪个平面内失稳。 （1）计算最大刚度平面 内的临界压力（即绕y轴失稳）。 中性轴为y轴： Iy =120×200 3 /12 =80×10 6mm4=80×10 -6m4 木柱两端铰支，，则得：     kN l EI P y lj 123 1 8000 3.14 10 10 80 10 2 2 3 6 2 2           返回 下一张 上一张 小结

(2)计算最小刚度平面内的临界压力(即绕z轴失稳)。 中性轴为z轴: 、200×1203 288×106mm4=28.8×106m4 12 木柱两端固定,4=O.5,则得: 丌2EⅠ3.142×10×103×288×106 =178KN (0.5×8000 比较计算结果可知:第一种情况临界压 力小,所以木柱将在最大刚度平面内失稳( I20 即绕y轴,在xOz平面内失稳)。此例说明, 当最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况 不同时,压杆不一定在最小刚度平面内失稳 ,必须经过计算才能最后确定。 返回下一上一张「小结

• （2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕 z 轴失稳）。 • 中性轴为z轴： 6 4 6 4 3 28.8 10 28.8 10 12 200 120 I z mm m        木柱两端固定，，则得： 比较计算结果可知：第一种情况临界压 力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（ 即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明， 当最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况 不同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳 ，必须经过计算才能最后确定。     KN l EI P z lj 178 0.5 8000 3.14 10 10 28 .8 10 2 2 3 6 2 2           返回 下一张 上一张 小结

第三节压杆的临界应力 、临界应力与柔度 临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时 的应力 PTEI_T'E 丌2E 丌2E A(u A ( ul a u 其中:i 截面的惯性半径;为截面的几何性质 λ=出称为压杆的柔度(长细比):反映压杆的柔软程度。 欧拉公式的适用范围 丌2E 丌2E 或A 入p分界柔度,取决与 22 材料的力学性质。A3钢: 丌2×200000 E=200GPa,.=200EPa,几 ≈100 200 返回下一上一咽小

第三节 压杆的临界应力 一、临界应力与柔度       2 2 2 2 2 2 2 2 2          E i l E A I l E l A EI A Plj lj        临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时 的应力。 其中： — 截面的惯性半径；为截面的几何性质； A I i  ＝ 称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。 i l  二、欧拉公式的适用范围 p p lj p E E             2 2 2 或 λp—分界柔度，取决与 材料的力学性质。A3钢： 100 200 200000 200 , 200 , 2       E GPa  p EPa  p 返回 下一张 上一张 小结

三、超出比例极限时压杆的临界力临界应力总图 当临界应力超岀比例极限时,材料处于弹塑性阶段,此类压 杄的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。 or=a-bh,P=0j A=(a-b2)A; 式中:—压杆的长细比;a、b与材料有关的常数可查表确定。 A3钢:a=235,b=0.00668;a 抛物载公式 16锰钢:a=343,b=0.0142。 临界应力总图一临界应力σ B G1与柔度入的函数关系曲线。 欧拉公式 丌2E 元≥:大柔度杆;=x2 λ<2:中小柔度杆;an=a-b2 λc—修正的分界柔度 A3钢:Ac=123;16锰钢:Nc=102。 返回上一咽[小结

三、超出比例极限时压杆的临界力 临界应力总图 ; ( ) ; 2 2  lj  a  b Plj   lj A  a  b A 当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压 杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。 式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。 A3钢：a＝235,b＝0.00668； 16锰钢：a＝343,b＝0.0142。 临界应力总图—临界应力 lj与柔度的函数关系曲线。 : ; : ; 2 2 2          a b E c lj c lj      中小柔度杆； 大柔度杆； λc—修正的分界柔度。 A3钢：λc=123；16锰钢：λc＝102。 返回 下一张 上一张 小结