上海交通大学：《弹性理论》教学资源（课程讲义）第3章 变形分析

第三章变形分析 3.1位移 设一个弹性体占有空间V,该弹性体由于外力作用而变形，坐标系建立未变形的弹性 体上。设弹性体中的一点P(x,y,z)变成P'(x',y',z),它们之间位置的差异就是位移矢量， 可表示为： u=x'-x v=y'-y (3.1) w=z'-z 或 =r'-r (3.2) 其中r=(x,y,z),r'=(x,y',z),u=(u,y,w)。 在弹性力学中，由于有连续性和小变形假设，可以证明r=(x,y,z)是r=(x,y,)的单值 可逆函数，即一个物质点不能变成两个物质点，两个物质点也不能变成一个物质点，这样弹 性体不被撕裂也没有重叠，在卸载后P'(x',y',z)还变回P(x,y,z)点。 图3.1 3.2应变分析 物体形状的改变是弹性体区别于刚体的特点，那么如何刻划物体的变形呢？位移是描述变 形的一个量，但仅用位移不足以刻划变形。几何形状的要素是长度和角度，下面先以二维变 形为例，考察长度和角度的变化。 设点P(x,y)及其附近的两点A(x+dk,y)和B(x,y+y)变成P'、A和B',即

第三章 变形分析 3.1 位移 设一个弹性体占有空间V ，该弹性体由于外力作用而变形，坐标系建立未变形的弹性 体上。设弹性体中的一点 变成 Pxyz ( , , ) Pxyz ′(, ,) ′′′ ，它们之间位置的差异就是位移矢量， 可表示为： uxx vyy wz z ⎧ = ′ − ⎪ ⎨ = ′ − ⎪ ⎩ = ′− (3.1) 或 ur r = ′ − (3.2) 其中 rr u == = ( , , ), ( , , ), ( , , ) x yz x y z uvw ′ ′′′ 。 在弹性力学中，由于有连续性和小变形假设，可以证明 r′ = (, ,) x′′′ y z 是 r = (, ,) x y z 的单值 可逆函数，即一个物质点不能变成两个物质点，两个物质点也不能变成一个物质点，这样弹 性体不被撕裂也没有重叠，在卸载后 Pxyz ′(, ,) ′′′ 还变回 点。 Pxyz (, ,) O r P′ P r′ u 图 3.1 3.2 应变分析 物体形状的改变是弹性体区别于刚体的特点，那么如何刻划物体的变形呢？位移是描述变 形的一个量，但仅用位移不足以刻划变形。几何形状的要素是长度和角度，下面先以二维变 形为例，考察长度和角度的变化。 设点 P x( , y) 及其附近的两点 A x( , + dx y) 和 B( , x y + dy) 变成 P′、 A′和 B′，即 1

P(x,y)→P'(x+u,y+v) A(x+dx,y)>A'(x+dx+u(x+dx,y),y+v(x+dx,y)) =A'(x+d+(x,y)+ k,y+x,)+ B(x,y+dy)→B'(x+u+ d,y+西+Wx,+ dy dy) 微线元PA长度的变化： P'A-PA dx+ +( Ox (Ov dx)-dx x 1+ au2+ 02-1= ou ax (33) PA d Ox 同样可得 PB'-PBOv (3.4) PB 由此可以看出区，-必为x方向微线元的相对伸长(&，>0伸长，名<0缩知。 Ox 再看角度∠APB的变化， a dx Ov tana 一= (1+ =（1-%=0 (3.5) cu Ox Ox Ox dx+ -dx Ox 同样tanB÷ Cu ,由小变形假设可知&，B很小，所以a+B兰tana+tanB= oy dy Ox 1加)，也 表示直角∠APB的变化量，称为工程剪应变，弹性力学中定义的剪应变是2分+ 称为张量剪应变。 B(x,y+dy) D P(x,y) A(x+dx,y) 图3.2 2

(, ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , )) ( ( , ) , ( , ) ) ( , ) ( , ( , ) ) Pxy P x uy v A x dx y A x dx u x dx y y v x dx y u v A x dx u x y dx y v x y dx x x u v B x y dy B x u dy y dy v x y dy y y → ++ ′ + → ++ + + + ′ ∂ ∂ = ++ + + + ′ ∂ ∂ ∂ ∂ + → ++ + + + ′ ∂ ∂ 微线元 长度的变化： PA 2 2 2 2 ( )( ) (1 ) ( ) 1 u v dx dx dx dx P A PA x x u v u PA dx x x x ∂ ∂ ++ − ′ ′ − ∂ ∂ ∂ = = + + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂  (3.3) 同样可得 P B PB v PB y ′ ′ − ∂ ∂  (3.4) 由此可以看出 x u x ε ∂ = ∂ 为 x 方向微线元的相对伸长( 0 x ε > 伸长， 0 x ε < 缩短)。 再看角度∠APB 的变化， 1 tan (1 ) (1 ) v dx x vu vu u v x x xx dx dx x α − ∂ x ∂ ∂ ∂ ∂∂ = =+ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ + ∂  ∂  (3.5) 同样 tan u y β ∂ ∂  ，由小变形假设可知α,β 很小，所以 tan tan u v y x αβ α β ∂ ∂ + + =+ ∂ ∂  ， 表示直角 的变化量，称为工程剪应变，弹性力学中定义的剪应变是 ∠APB 1 ( ) 2 u v y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ，也 称为张量剪应变。 y B′ 图 3.2 Pxy (, ) A x dx y ( ,) + B(, ) x y dy + P′ β A′ α x O 2

三维情形 (1)任意方向微线元长度的相对变化 弹性体中P(x,y,z),Q(x+y+少，z+d)变形后变成P(x+山，y+v,z+w)和 O(x+dx+u+ ou dxou du -dy+ 止，y++v+ -dx+ Nd也， -d+ Ow Ow z+dz+w+ dx -d+ "dz) 变形前微线元PQ长度为V(dr)+(dy)}+(d)2,变形后 PO=(ds +Ou ds+u dy+u d.dy+rd+rdy+ +dk,止+o"dk+a"d山+o"db dy 02 x dx dy ou a Ow Ox Ox Ox =(d,dy,dE)+（drd dz) O ow a创 =dr+dr.FT ay ou v Ow 02 02 82 ou ou ou Ox ay B2 其中dr=(d,dy,dz),F= Ov ov Ov 正 称为变形梯度。 Ow Ow Ow Ox Oy d2 变形后 P'O=P'O'.P'O=(dr+dr.F)-(dr+dr.F") =dr-dr"+dr-(F+F+FT.F).dr=lPQP+2dr.G.dr (3.6) 其中G=E+F+FF)。 2 设P四的方向余弦为5=(5,5,5)，则P四=(d,d,d)=PQ5。微线元PQ的相 对伸长为 g-P2-P四=+25G5-1=5G5 (3.7) PO 由小变形假设，可忽略高阶项，这样G=F+F+PF)=F+P)=I,则 6=5T·5

三维情形 (1) 任意方向微线元长度的相对变化 弹性体中 Pxyz (, ,) ， Q x dx y dy z dz (, , +++ ) 变形后变成 P x uy vz w ′(,, + + + ) 和 ( , , ) uuu vvv Q x dx u dx dy dz y dy v dx dy dz xy z xyz www z dz w dx dy dz xyz ∂∂∂ ∂∂∂ ′ + ++ + + + ++ + + ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ + ++ + + ∂∂∂ 。 变形前微线元 长度为 PQ 2 2 () () () dx dy dz + + 2 ，变形后 ( ) ( , , ( , , ) T uuu vvv www P Q dx dx dy dz dy dx dy dz dz dx dy dz xy z xyz x y z uvw xxx uvw dx dy dz dx dy dz d d yyy uvw zzz ∂∂∂ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′ =+ + + + + + + + + ∂∂∂ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂∂∂ ⎜ ⎟ ∂∂∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂∂∂ = + = ⋅ ⎜ ⎟ ∂∂∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂∂∂ ⎝ ⎠ ∂∂∂ F JJJJG r+ r ) 其中 d dx dy dz r = (,,)， uuu x y z vvv x y z www x y z ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ F 称为变形梯度。 变形后 2 2 ( )( ) ( ) 2 T T T T T T T PQ PQ PQ d d d d dd d d PQ d d ′′ ′′ ′′ = ⋅ = +⋅ ⋅ +⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ = + ⋅⋅ F F FF FF G JJJJG JJJJG rr rr rr r r r rT (3.6) 其中 1 ( ) 2 T T G FF F = ++⋅F 。 设 PQ 的方向余弦为 JJJG 123 ξ = (, , ) ξ ξ ξ ，则 PQ dx dy dz PQ = = (,,) JJJG ξ 。微线元 的相 对伸长为 PQ 12 1 P Q PQ T PQ ε ′ ′ − = = + ⋅⋅ − ⋅ G  T ξ ξ ξ G⋅ξ (3.7) 由小变形假设，可忽略高阶项，这样 1 1 ( )( 2 2 T T T G FF FF FF = ++⋅ + =  ) Γ ，则 T ε =⋅⋅ ξ Γ ξ 。 3

当5=(1,0,0)，得￡.= ou 图3.3 (1)互相垂直的两微线元间角度的变化 设弹性体上P(x,y,)点及其附近的两点A(x+d,y+dy,z+d)和 B(x+6x,y+6y,z+6z),PA,PB互相垂直，变形后变成P'(x+,y+v,z+w), A'(x+dx+u+ Du dxoud +d.y+dy -dy 一dx+ + Ox 0z 和 z+dz+w+ ow dy ow dx owe de) Ox dy B'(x+δx+u+ x* Ou Ov òy +06z,y+y+v+ 6x+ -δy+ Ox y x d Ow Ow z+6z+w+ òx+-òy+ 6z) Ox 0z 要考察角度的变化，做点乘 P'B'.P'A=(dr+dr.F)(6r+r.F)=dr.6rT+2dr.G.&rT (3.8) =2dr.G6r÷2dr.r.6r 设PA,PB的夹角为号-2,5=（低点，局）为丽的方向余流，刀=亿，%，)为 PB的方向余弦，6,62为PA和PB方向的相对伸长。 PB.P=PB(+)PA(+)cos(-2y) (3.9) PB PA (1+)(1+)sin 2y 比较(3.8)式与(3.9)式，PBPA(1+62)1+6)sin2y=2PBPA5-T·n,最后得

当ξ = (1,0,0) ，得 x u x ε ∂ = ∂ 。 P Q Q′ P′ 图 3.3 (1) 互相垂直的两微线元间角度的变化 设弹性体上 Pxyz (, ,) 点及其附近的两点 A(, , x dx y dy z dz + + + ) 和 B(, , x xy yz z +++ δ δ δ ) ， PA PB , 互相垂直，变形后变成 P x uy vz w ′(,, + + + ) ， ( , , ) uuu vvv A x dx u dx dy dz y dy v dx dy dz xy z xyz www z dz w dx dy dz xyz ∂∂∂ ∂∂∂ ′ + ++ + + + ++ + + ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ + ++ + + ∂∂∂ 和 ( , , ) uuu vvv B x x u x y zy y v x y z xy z xy z www z zw x y z xyz δ δ δ δδ δ δ δ δ δδδ ∂∂ ∂ ∂∂∂ ′ + ++ + + + ++ + + ∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂∂∂ + ++ + + ∂∂∂ 。 要考察角度的变化，做点乘 ( )( ) 2 2 2 T T T T T T PB PA d d d d d d T δ δ δ δ δ δ ′′ ′′ ⋅ = + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ FF G G JJJJG JJJJG  r r r r rr r r r r rr Γ (3.8) 设 PA PB ′′ ′′ , 的夹角为 2 2 π − γ ， 123 ξ = (, , ) ξ ξ ξ 为 PA JJJG 的方向余弦， 123 η = (, , ) η η η 为 PB 的方向余弦， JJJG 1 2 ε ,ε 为 和 方向的相对伸长。 PA PB 2 1 2 1 (1 ) (1 )cos( 2 ) 2 (1 )(1 )sin 2 P B P A PB PA PB PA π ε ε γ εε γ ′′ ′′ ⋅= + + − = ++ JJJJG JJJJG (3.9) 比较(3.8)式与(3.9)式， 2 1 (1 )(1 )sin 2 2 T PB PA + εε γ += ⋅ PB PA ξ Γ⋅η ，最后得 4

y=5-T.n。 长度和角度的变化都与厂有关，这说明下是可用来刻划一点形变的量，称为应变张量。 (二阶张量和矩阵等价) G=二(F+F+F.F)称为Green应变，用于大变形的描述，T=-(F+F)称为 Cauchy应变，用于小变形理论。 1 ou Ov) 1 ou Ox 2 y 20z Ox 611 612 813 r= 1 ou 6p d 1 d e21 82n dy (3.10) Ox 8y 2 dz dy 631 632 ou Ow 0, cw Ow 2 02 Ox 2 z Cy 02 可见 ou Ov dw 61(8)= 82= ay 633= 02 (3.11) 1 du dv 1 612(6m)=621= 为613= + 1 dv O 8x 20z 8x 823= 20z 称为几何方程。 图3.4 2.3应变张量 (1)应变张量在坐标变换下的变化规律 设Γ在坐标系{e,e2,e}下的分量为E,(亿，j=1,2,3),有新坐标系{，e5,e},新旧坐 标系{e,{e}之间的关系为： 5

T γ =⋅⋅ ξ Γ η 。 长度和角度的变化都与 有关，这说明 Γ Γ 是可用来刻划一点形变的量，称为应变张量。 (二阶张量和矩阵等价) 1 ( 2 T T G FF F = ++⋅F) 称为 Green 应变，用于大变形的描述， 1 ( ) 2 T Γ = + F F 称为 Cauchy 应变，用于小变形理论。 1 1 ( )( 2 2 1 1 () ( 2 2 1 1 ( )( ) 2 2 u uv u ) ) w x yx z x uv v vw y xy z uw vw w zx zy z εεε εεε εεε ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ⎜ ⎟ + + ∂ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ∂∂ + + ⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ ∂ + + ⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ ∂ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 Γ = = y ∂ ∂ (3.10) 可见 11 22 33 12 21 13 23 ( ) , , , 11 1 ( ) ( ), ( ), ( ) 22 2 x xy uvw xyz uv uw vw yx z x zy εε ε ε εε ε ε ε ∂∂∂ === ∂∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ == + = + = + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ (3.11) 称为几何方程。 B′ 图 3.4 2.3 应变张量 (1)应变张量在坐标变换下的变化规律 设Γ 在坐标系{e e 1 2 , , e3}下的分量为 ( , 1,2,3) ij ε i j = ，有新坐标系{e e 1 2 ′ ′ , ,e3 ′}，新旧坐 标系{e},{e′}之间的关系为： P A′ P′ B A 5

C2 e C22 C23 e (3.12) C32 C33 e e 要求应变张量在坐标系{e}的分量c, 根据应变张量的几何意义，方向的相对伸长 为，由上节的结果 9) G1=(C1,C2,C3r C12 Ci3) (3.13) 9） 5i2=(Cu C2,C3)TCx2 C23) 同理可写出其它分量，合在一起可以写成如下形式 T=CrCT 3.14) 例绕轴旋转角度为”，此时变换矩阵为 coS sin⑩ 0 C= -sIno coso 0 (3.15) 0 0 1 代入(3.14)式，得 =8u cos'p+5 sin+82 sin 20 (3.16) 2=usin2+5z cos2o-62 sin20 0 图3.5 (2)主应变、主方向

1 11 12 13 1 1 2 21 22 23 2 3 31 32 33 3 3 e ccc e e e ccc e e e ccc e e ⎛ ⎞′ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = C 2 (3.12) 要求应变张量在坐标系{e′} 的分量 ij ε′ ，根据应变张量的几何意义， 方向的相对伸长 为 1 e′ 11 ε′ ，由上节的结果 11 11 11 12 13 12 13 21 12 11 12 13 22 23 (, , ) (, , ) c ccc c c c ccc c c ε ε ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Γ Γ (3.13) 同理可写出其它分量，合在一起可以写成如下形式 T Γ′ = C CΓ (3.14) 例 绕轴旋转角度为ϕ ，此时变换矩阵为 cos sin 0 sin cos 0 0 0 ϕ ϕ ϕ ϕ ⎛ ⎞ ⎜ −⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ C = 1 ⎟ ⎟ (3.15) 代入(3.14)式，得 2 2 11 11 22 12 2 2 22 11 22 12 cos sin sin 2 sin cos sin 2 ε ε ϕε ϕε ϕ ε ε ϕε ϕε ′ =++ ′ =+ − ϕ (3.16) z′ z y′ O y ϕ x′ x 图 3.5 (2) 主应变、主方向 6

设应变张量在坐标系{e,e2,e3}下为T,在另一直角坐标系{e,e,e}中应变张量为T', 则由上面的讨论，有： T=CTCT (3.17) 其中C为两坐标系之间的变换矩阵，因为C是直角坐标系到直角坐标系的变换矩阵，所以 C=C。 根据线性代数理论，一个对称矩阵一定可以对角化，即对于对称矩阵A,存在正规矩阵P, 使得 a 0 0 0 (3.18) 0 0 a 41,42,43是A的特征值，P的列向量就是A的特征向量。 应用对称矩阵对角化理论，可知如果一点的应变张量对应的矩阵为T,则T可对角化 为 0 0 0 0 (3.19) 0 0 如果取厂的特征向量（即C的列向量）方向为坐标轴方向， 则应变张量在这样的坐标系下为 0 0 0 0 (3.20) 0 02 这时，特征向量方向称为主方向，，2，入3为主应变，显然主方向间的剪应变为零。 (3)不变量 写出工的特征多项式 -611 -812 -813 det|I-T= -821 1-82 -823 =3-L2+12-13 (3.21) -831 一632 1-633 其中 I1=611+822+833 12= 633 83 631 (3.22) 821 82 e32 633813 6N Su 612 6i3 3= , 622 E23 E31 832 E33

设应变张量在坐标系{eee 123 , , }下为Γ ，在另一直角坐标系{eee 123 ′, , ′ ′}中应变张量为Γ′ ， 则由上面的讨论，有： T Γ′ = C CΓ (3.17) 其中C 为两坐标系之间的变换矩阵，因为 是直角坐标系到直角坐标系的变换矩阵，所以 。 C -1 T C C= 0 ⎟ ⎟ 0 根据线性代数理论，一个对称矩阵一定可以对角化，即对于对称矩阵 ，存在正规矩阵 P ， 使得 A 1 T 2 3 0 0 0 0 0 a a a ⎛ ⎞ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ PAP (3.18) 123 aa a , , 是 的特征值， A P 的列向量就是 A 的特征向量。 应用对称矩阵对角化理论，可知如果一点的应变张量对应的矩阵为 Γ ，则 可对角化 为 Γ 1 2 3 0 0 0 0 0 T λ λ λ ⎛ ⎞ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ C CΓ ⎟ ⎟ 0 (3.19) 如果取 的特征向量 Γ (即 的列向量 C )方向为坐标轴方向，则应变张量在这样的坐标系下为 1 2 3 0 0 0 0 0 λ λ λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ (3.20) 这时，特征向量方向称为主方向， 123 λ , , λ λ 为主应变，显然主方向间的剪应变为零。 (3) 不变量 写出Γ 的特征多项式 11 12 13 3 2 21 22 23 1 2 3 31 32 33 det I I λε ε ε λ ε λε ε λ λ λ ε ε λε −− − − =− − − = − + − −− − I Γ I (3.21) 其中 1 11 22 33 11 12 22 23 33 31 2 21 22 32 33 13 11 11 12 13 3 21 22 23 31 32 33 I I I ε ε ε ε ε ε ε εε ε ε ε ε εε εεε εεε εεε =++ =++ = (3.22) 7

另一方面，r的特征多项式detI-T=detC(2I-A)C=det(I-A儿，即 -0 0 0 1-2 0 =2-(0+23+)22+(02+1+元)2-123(3.23) 0 0元-元 比较(3.21)、(3.23)式，得 11=八+元+元 12=入入2+元2入3+1入 (3.24) 13=2 因为特征值在坐标变换下不变，所以I,I,I3也在坐标变换下不变，称为应变张量的不变量 (第一不变量、第二不变量、第三不变量)。 (4)I,的几何意义 设正六面体微元，棱长是△x,△y,△z,变形前它的体积是△x△yAz,变形后其体积是 (△x+E△x(△y+E,△y)(△z+E.△z)(Ex,6,E.分别是x,y,z方向的正应变)。 体积应变e为： e= 变形后的体积-变形前的体积 变形前的体积 -(Ax+5.Ar)(Ay+5,Ay(A-+5.A=)-ArAyA- (3.25) △xAyA =(1+E)1+6,)1+8)-1÷6+6,+6: 所以，I就是体积应变，表示一点处微元体体积的相对变化。 2.4应变协调方程 应变分量为 o a 6x= 6，= Cy =+ 8 一十 2 dy dx 1u+0a, (3.26) 6-20 0x 1 dv,ow 826+ 上面这些表达式将位移和表示变形特征的应变联系起来，又称为几何方程。 已知位移可以求出应变，反过来，已知应变，是否可以求出位移场呢？ 先看一个比较特殊的例子：6，=6，=6=6=6==6==0

另一方面， 的特征多项式 Γ det det ( ) det ( ) T λλ λ I CI C I −= − = − Γ Λ Λ ，即 1 3 2 2 1 2 3 1 2 2 3 1 3 3 0 0 0 0 ( )( ) 0 0 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λλ λλ λ λλλ 1 2 3 λ λ − − = − ++ + + + − − (3.23) 比较(3.21)、(3.23)式，得 1123 2 12 23 1 3 123 I I I 3 λ λ λ λ λ λλ λλ λλ λ = + + =++ = (3.24) 因为特征值在坐标变换下不变，所以 123 I , , I I 也在坐标变换下不变，称为应变张量的不变量 (第一不变量、第二不变量、第三不变量)。 (4) 1I 的几何意义 设正六面体微元，棱长是 ΔΔΔ x, , y z ，变形前它的体积是 ΔxΔ Δy z ，变形后其体积是 ( )( )( ) x y z Δ+ Δ Δ+ Δ Δ+ Δ x ε xy yz z ε ε ( , , x y z ε ε ε 分别是 x, , y z 方向的正应变)。 体积应变 为： e ( )( )( ) (1 )(1 )(1 ) 1 xyz x y z xyz e x x y y z z xyz xyz εεε ε ε ε εεε = Δ + Δ Δ + Δ Δ + Δ −Δ Δ Δ = ΔΔΔ =+ + + − + +  变形后的体积-变形前的体积 变形前的体积 (3.25) 所以， 1I 就是体积应变，表示一点处微元体体积的相对变化。 2.4 应变协调方程 应变分量为 , , , 1 ( ), 2 1 ( ), 2 1 ( ). 2 x yz xy xz yz u v w x y z u v y x u w z x v w z y εεε ε ε ε ∂ ∂ ∂ = == ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ (3.26) 上面这些表达式将位移和表示变形特征的应变联系起来，又称为几何方程。 已知位移可以求出应变，反过来，已知应变，是否可以求出位移场呢？ 先看一个比较特殊的例子： 0 x y z xy yz xz ε === = = = εεε ε ε 。 8

代入几何方程，得 au_y_0=0, dx dy ou ov =0, dy ax (3.27) OuOw=0. dz Ox 0vOe=0. dz oy 由(3.27)第一式，可知u=y,z),v=(x,2),1w=1w(x,y),代入(3.27)后三式，有 auy,+x,=0, oy 8x o(y)(x.)-0. (3.28) @v(x,2).Ow(x.y)=0. 02 g 由此可得 ”芒… 0,y_y=0,==0,这说明4，w分别是0y,)、 dy2 (x,)、(x,y)的线性函数（可以有交叉项），可以表示为 u=a+by+cz+dyz v=e+fz+gx+hzx (3.29) w=1+mx+ny+pxy 式中a,b,c,d为任意常数。 将上式代入(3.28)式，得 (n+f)+(p+h)x=0 (c+m)+(d+p)y=0 (330) (g+b)+(h+d)z=0 不论x,y,z取什么值，这些条件都要满足，必须 n+f=0,p+h=0 c+m=0,d+p=0→p=h=d=0 (3.31) g+b=0,h+d=0 位移场可以写为 u=a-gy+cz v=e-nz+gx (3.32) w=1-cx+ny 9

代入几何方程，得 0, 0, 0, 0. uvw xyz u v y x u w z x v w z y ∂ ∂ ∂ = = = ∂∂∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ (3.27) 由(3.27)第一式，可知u uyz v vxz w wxy === ( , ), ( , ), ( , ) ，代入(3.27)后三式，有 (,) (,) 0, (,) (, ) 0, (,) (, ) 0. uyz vxz y x uyz wxy z x vxz wxy z y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ (3.28) 由此可得 22 22 2 2 22 22 2 2 0, 0, 0 uu vv ww yz xz x y ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ == == = = ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ，这说明 分别是 uvw , , (,) y z 、 (,) x z 、(, ) x y 的线性函数(可以有交叉项)，可以表示为 u a by cz dyz v e fz gx hzx w l mx ny pxy = +++ =+ + + =+ + + (3.29) 式中 为任意常数。 abcd ,,, 将上式代入(3.28)式，得 ( )( ) ( )( ) ( )( ) n f p hx c m d py g b h dz 0 0 0 + ++ = + ++ = + ++ = (3.30) 不论 x, , y z 取什么值，这些条件都要满足，必须 0, 0 0, 0 0 0, 0 n f ph cm d p p hd gb hd + = += + = += ⇒ === += + = (3.31) 位移场可以写为 u a gy cz v e nz gx w l cx ny = − + = − + = − + (3.32) 9

将(a,e,)改写为(o,Vo,w),(n,C,g)改写为(0,0,0)，则位移可改写为 (u,V,1w)=(4o,'o,wo)+(0,0p,0)×(x,y,z) (3.33) (4,o,wo)表示沿x,y,z方向的平移，(0，⊙，0)代表绕x,y,z轴的转动。 设一点坐标为(x,y,z),，位移为u=(u,V,w),其附近一点(x+d,y+d少，z+d)的位 移可表示为： u(r+dr)=u(r)+F·dT (3.34) 上式可改写为 u(r+d)=u(r)+·d+r·d (3.35) 其中n=F-Frr=+Pr). 2 Q=-矿)是反对称矩阵，可记为 0 -03 2= 03 0 -01 (3.36) -02 0 则(3.35)式可进一步改写为： u(r+dr)=u(r)+@xdr+T.dr (3.37) 其中@可写成0=2(×u)。 与(3.33)比较，可以看出u(r)+①×d血，代表局部刚体位移，但应注意对一般的变形体，各 点的刚体平动和转动是不同的，如果应变为零，各点的刚体平动和转动是相同的，则退化到 (3.33)式的情形。 再回到原来的问题，已知应变是否可以求出位移，这个问题实际上是从每一点的局部变 形拼接出整体位移，如果各点附近的局部变形互不关联，拼接起来就可能出现重叠、撕裂等 不连续现象。因此，为了服从连续性假设，获得连续的变形，各点的变形应满足某种关系。 从另一方面看，位移有三个分量山，V,w,导出的应变有六个分量，直觉上这六个量不可能完 全独立，应该有某种联系。 6x,6y,6g之间的关系 )+ axoy=2 axoyaxoy2ovoxaxoy 16+05） (3.38) 20y2 类似地可推出8,6,6e、￡，6,6，=之间的关系，由于应变张量是对称的，可用轮换的方法 10

将 改写为 (,,) ael ， 改写为( , 00 0 (,, ) uvw (,, ) ncg , ) ωx ω ωy z ，则位移可改写为 00 0 (,, ) ( , , ) ( , , ) (, ,) xyz uvw u v w =+ × ω ω ω xyz (3.33) 00 0 (,, ) uvw 表示沿 x, , y z 方向的平移，(, ,) ωx ω ωy z 代表绕 x, , y z 轴的转动。 设一点坐标为( , x y z, ) ，位移为u = (,, ) uvw ，其附近一点( , x + dx y dy z dz + + , )的位 移可表示为： ( )( T u r r u r) + F r += ⋅ d d T d (3.34) 上式可改写为 ( )( T u r r u r) + r r + = ⋅ +⋅ d d Ω Γ (3.35) 其中 1 1 ( ), ( 2 2 T T Ω= Γ= F F F+F − )。 1 ( 2 T Ω = F F− ) 1 是反对称矩阵，可记为 3 2 3 2 1 0 0 0 ω ω ω ω ω ω ⎛ ⎞ − ⎜ Ω = − ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎟ ⎟ d (3.36) 则(3.35)式可进一步改写为： ( )( T u r r u r) + r r + d d = × +⋅ ω Γ (3.37) 其中 可写成 ω 1 ( ) 2 ω = ∇×u 。 与(3.33)比较，可以看出 ，代表局部刚体位移，但应注意对一般的变形体，各 点的刚体平动和转动是不同的，如果应变为零，各点的刚体平动和转动是相同的，则退化到 (3.33)式的情形。 u r) + r ( ω×d 再回到原来的问题，已知应变是否可以求出位移，这个问题实际上是从每一点的局部变 形拼接出整体位移，如果各点附近的局部变形互不关联，拼接起来就可能出现重叠、撕裂等 不连续现象。因此，为了服从连续性假设，获得连续的变形，各点的变形应满足某种关系。 从另一方面看，位移有三个分量 ，导出的应变有六个分量，直觉上这六个量不可能完 全独立，应该有某种联系。 uvw , , , , x y xy ε ε ε 之间的关系 2 33 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( () 2 2 1 ( ) 2 xy x y uv u ( )) v x y xy x y y x x y x ε ε ε ∂ y ∂ ∂ ∂∂ ∂ = += + ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ (3.38) 类似地可推出 , , x z xz ε ε ε 、 , , yzyz ε ε ε 之间的关系，由于应变张量是对称的，可用轮换的方法 10