第8章平面问题的极坐标解法 直角坐标解法适用于矩形，三角形等边界是直线的形状，对于圆形、扇形，圆环等形状 用极坐标求解比直角坐标方便。极坐标是一般的曲线坐标的一种，曲线坐标和直角坐标的最 大区别是坐标单位向量逐点变化。 8.1极坐标中的基本方程 推导极坐标中弹性力学的基本方程，一种方法是取极坐标中的微元体，分析微元体的平 衡，导出平衡方程；根据应变的几何意义，直接在极坐标中分析变形的情况可导出几何方程。 这种方法优点是比较直观，通俗易懂。关于这种方法可参阅徐芝纶的弹性力学（上册）。缺点 是比较繁琐，不便推广到一般情况，下面介绍另外一种方法。 y 10 图1 △8 。+△ +△ To △0 图2 极坐标和直角坐标的关系：X=r©os日 ,极坐标的坐标单位向量在直角坐标中可以表示 y=rsinθ 为。=cos0i+sin0j,8=-sin 0i+cos0j
1 第 8 章 平面问题的极坐标解法 直角坐标解法适用于矩形，三角形等边界是直线的形状，对于圆形、扇形，圆环等形状 用极坐标求解比直角坐标方便。极坐标是一般的曲线坐标的一种，曲线坐标和直角坐标的最 大区别是坐标单位向量逐点变化。 8.1 极坐标中的基本方程 推导极坐标中弹性力学的基本方程，一种方法是取极坐标中的微元体，分析微元体的平 衡，导出平衡方程；根据应变的几何意义，直接在极坐标中分析变形的情况可导出几何方程。 这种方法优点是比较直观，通俗易懂。关于这种方法可参阅徐芝纶的弹性力学(上册)。缺点 是比较繁琐，不便推广到一般情况，下面介绍另外一种方法。 图 1 图 2 极坐标和直角坐标的关系： cos sin x r y r θ θ = = ，极坐标的坐标单位向量在直角坐标中可以表示 为 0 0 r i+ = =− + cos sin , sin cos θ θ θθ j θ i j 。 x θ y O 0r θ 0 r r 0 0 + Δ θ 0 0 + Δθ Δ 0r Δθ 0 Δθ x θ y O 0 0 r θ
=0,2=(←sin0,cos0)=8 or a0 由极坐标的坐标单位向量的表达式可知： a0=0, 08=←cos0,-sin8)=-6 a0 >几何方程 弹性力学的几何方程为 1 T=。(u7+7u) (8.1) 极坐标中位移可表示为u=,6+ug8，Hamilton算子为 V=60+80 (8.2) 位移的左、右梯度为 + 了u=(or Xu5+u8)-055+58+-A ra0 ror r (8.3) g+4)8,8 +( roe r v-%55+0a6+0-风+%+4)8,8 (8.4) ror r r∂0r 由几何方程(8.1)得到 器急当 8,= r 8e r (8.5) 2 or ro0 r 几何意义：6，，方向长度的相对伸长，。8方向长度的相对伸长，68方向夹角改变 的一半。 >平衡方程 在极坐标中应力张量可表示为T=0,+088+t,e8+t8。 VT=6亦+8Q 0o,65+o88+rw8+rn) (8.6) 空+6+5，+8路%+2 =ro arroer 极坐标中平衡方程为： 0o+0re+g-0+f=0 or roe r (8.7 2xe+。=0 >本构关系 对于各向同性材料极坐标中本构关系和直角坐标中本构关系形式相同， 2
2 由极坐标的坐标单位向量的表达式可知： 0 0 0 0 0 0 0, ( sin ,cos ) 0, ( cos , sin ) r r θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ = =− = ∂ ∂ ∂ ∂ = = − − =− ∂ ∂ r r r θ θ θ 。 ¾ 几何方程 弹性力学的几何方程为 1 ( ) 2 Γ = ∇+∇ u u (8.1) 极坐标中位移可表示为 r 0 0 u u u = + θ r θ ，Hamilton 算子为 0 0 r r θ ∂ ∂ ∇= + ∂ ∂ r θ (8.2) 位移的左、右梯度为 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 ( )( ) ( ) ( ) r r r r u u u u u u r r r r rr r u u r r θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇= + + = + + − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ u r r rr r r θ θ θθ θ θ (8.3) 00 00 0 0 0 0 ( )( ) rr r uu u u uu r r rr r r r θ θθ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇= + + − + + ∂∂ ∂ ∂ u rr r r θ θ θθ (8.4) 由几何方程(8.1)得到 1 1 , , ( ) 2 rr r r r uu u u uu r r r rr r θ θ θ θ θ εε ε θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + = +− ∂ ∂ ∂∂ (8.5) 几何意义： r ε ， 0r 方向长度的相对伸长， θ ε θ 0 方向长度的相对伸长， 0 0 r θ 方向夹角改变 的一半。 ¾ 平衡方程 在极坐标中应力张量可表示为T = σ r rr 00 0 0 0 0 00 + ++ σττ θ θθ rr r r θ θ θθ 。 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 )( ) 2 ( )( ) r rr r rr r r r r rr r rr r θ θθ θ θ θθθ σσ τ τ θ σ τ σσ τ σ τ θ θ ∂ ∂ ∇ + + ++ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂∂ = ++ + ++ ∂∂ ∂∂ i i T=(r rr r r r θ θθ θ θ θ (8.6) 极坐标中平衡方程为： 0 2 0 r r r r r r f rr r f rr r θ θ θθθ θ σ τ σσ θ τ στ θ ⎧∂ ∂ − + + += ⎪⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + + += ⎪⎩ ∂ ∂ (8.7) ¾ 本构关系 对于各向同性材料极坐标中本构关系和直角坐标中本构关系形式相同
-EO-E 8, 、1 6二E Vor (8.8) 1+,e Ere E E=E,V=v plane stress 其中 E E=- -4=-v plane strain。 >应变协调方程 7×T×7=0 8.9) 8 0 0 (a0ro )E,+- 、ras)-20c8e)=0 (8.10) r2or or r2 or 80 或从几何方程(8.5)式消去位移u,和u。，也可得到上式。 Laplace算子7在极坐标中的表达式 7.(p)=7p (8.11) V-(Vo)-(roar e+80）=0e+即+0g rae'or2 ror r2e2 (8.12) 所以72= rror00 >应力协调方程 无体力时为V(0+0,)=0,0+0,是不变量，所以0+0，=0，+0g,极坐标中应力 协调方程为72(o,+0g)=0。 >Airy应力函数 由应力张量在坐标变换下的规则，极坐标下应力张量为 cosθ cos0 -sin -sin0 cose八g,八sin0cos9 (8.13) 3
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r E E E E E θ θ θ θ θ ν ε σ σ ν ε σ σ ν ε τ = − = − + = (8.8) 其中 1 1 1 1 2 , plane stress , plane strain (1 ) 1 E E E E ν ν ν ν ν ν ⎧ = = ⎪ ⎨ = = ⎪ ⎩ − − 。 ¾ 应变协调方程 ∇× ×∇ = Γ 0 (8.9) 2 2 22 2 2 2 ( ) ( ) ( )0 r r r r r rr r r r r r θ θ ε ε ε θ θ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −+ − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ (8.10) 或从几何方程(8.5)式消去位移 r u 和uθ ，也可得到上式。 ¾ Laplace 算子 2 ∇ 在极坐标中的表达式 2 ∇ ∇ =∇ i( ) ϕ ϕ (8.11) 2 2 00 0 0 2 22 ( ) ( )( ) r r r r r rr r ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∇∇ = + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ i i r r θ θ (8.12) 所以 2 2 2 2 22 r rr r θ ∂∂∂ ∇= + + ∂∂∂ 。 ¾ 应力协调方程 无体力时为 2 ( )0 ∇ += σ σ x y ，σ x +σ y 是不变量，所以σ xy r +σ σσ = + θ，极坐标中应力 协调方程为 2 ( )0 ∇ += σ σ r θ 。 ¾ Airy 应力函数 由应力张量在坐标变换下的规则，极坐标下应力张量为 cos sin cos sin sin cos sin cos r r x xy r xy y θ θ θ σ τ θ θ θθ σ τ τ σ θ θ θθ τ σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ (8.13)
,=o,cos20+,sin20+Tm sin 20 c0s0 8 asin'g-o -sin 20 Oxoy o=,sin20+cos20-T sin 20 (8.14) ©sin'o+02 8'U. dxcos0+ 8U -sin 20 xo w÷℃ ax)sin0cos0-'U -cos 20 OxOy auau aU sin0 &x ar cos8、 00 r (8.15) aUaU aU cose -sin0+ dy or 00 r d=cos'ooU aU 2sin 20 a'U sin20 oU sin 20 aU sin20 U 0r2 (8.16) r r or r2 80 r2 002 aU =sin208+2sin200+og0-snn228%+os90% 02 r orde r or r2 00r 002 (8.17) ∂2U =sin0cosUcs20 U sincos0 aU Oxoy 3× r ord0 r or (8.18) cos20 aU sin0 cos0 82U r200 2 682 将(8.16)、(8.17)、(8.18)代入(8.14)，最后得到 aU aU 0.= ror r2802 aU 0g= or2 (8.19) T0=- ar ra0 实际上，Aiy应力函数只是应力函数的一种，应力张量可表示为 T=7×(-U)kk×7(k为z方向单位向量)，将极坐标中的Hamilton算子代入，得 T=(+0 g8)x(-U)kx(⊙+aa0。) rae aaU、 ao)er or roe00 r (8.20) aU 28 4
4 2 2 222 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 cos sin sin 2 cos sin sin 2 sin cos sin 2 sin cos sin 2 ( )sin cos cos 2 r x y xy x y xy r UUU y x xy UU U y x xy UU U x y xy θ θ σ σ θσ θτ θ θ θ θ σ σ θσ θτ θ θ θ θ τ θθ θ = ++ ∂∂∂ = +− ∂ ∂ ∂∂ =+ − ∂∂ ∂ =++ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ =− − ∂ ∂ ∂∂ (8.14) sin cos cos sin UU U x r r UU U y r r θ θ θ θ θ θ ∂∂ ∂ = − ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ (8.15) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2sin 2 sin sin 2 sin cos U U UUU U x r r r rr r r θ θθθ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ = − +++ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (8.16) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2sin 2 cos sin 2 cos sin U U U UU U y r rr rrr r θ θθθ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ = + +−+ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (8.17) 2 22 2 2 2 22 cos 2 sin cos sin cos cos 2 sin cos U UU U x y r rr r r U U r r θ θθ θ θ θ θ θθ θ θ ∂ ∂∂ ∂ = +− ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ (8.18) 将(8.16)、(8.17)、(8.18)代入(8.14)，最后得到 2 2 2 2 2 ( ) r r U U rr r U r U r r θ θ σ θ σ τ θ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ (8.19) 实际上， Airy 应力函数只是应力函数的一种，应力张量可表示为 T =∇× − ×∇ ( ) U kk ( k 为 z 方向单位向量)，将极坐标中的 Hamilton 算子代入，得 00 00 00 0 0 00 2 2 2 0 0 ( )( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] U rr rr UU U U U rr r r r r r r r U r θ θ θθ θ θ θ ∂∂ ∂∂ = + ×− × + ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ =+ − + − ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ + ∂ T r kk r rr r r θ θ θ θ θ θ (8.20)
由此也可得到(9.19)式。 U满足双调和方程，即 727U=( 2 、 rorg2=0 +,a+2+ (8.21) 8.2轴对称问题的应力和位移 几何形状和载荷都与环向坐标日无关的平面问题称为平面轴对称问题，对轴对称问题可 以假设应力函数只是”的函数，U=U(),代入双调和方程得 rdu +2-3-r22+rC=0 d3 2+r =0 (8.22) dr 这属于欧拉方程，引入变换r=e,t=lnr,可化为常系数微分方程， 4 dU *4 d=0 (8.23) 其通解为 U=At+Bte2 +Ce2+D=Alnr+Br2 Inr+Cr2+D (8.24) 其中A,B,C,D为任意常数。 应力分量为 京+B1+2Inr)+2C 0s、A +B3+2Inr)+2C (8.25) To=0 >位移场 将应力分量代入本构关系得 s=[1+)3+(1-3)B+21-v)B1nr+21-v ,=+%2=-1+w)+3-B+21-w0Bnr+2-wC (8.26) r roe E Ou,Ouo uo=0 ro0 or r 从(8.26)第一式积分得 4=21+4+20-nBm0r-0+-30snr+20-01+f@827 1 式中f()为B任意函数。 J
5 由此也可得到(9.19)式。 U 满足双调和方程，即 2 22 2 2 2 2 22 2 22 U U ( )( ) 0 r rr r r rr r θ θ ∂ ∂∂∂ ∂∂ ∇∇ = + + + + = ∂∂ ∂∂ (8.21) 8.2 轴对称问题的应力和位移 几何形状和载荷都与环向坐标θ 无关的平面问题称为平面轴对称问题，对轴对称问题可 以假设应力函数只是 r 的函数，U Ur = ( ) ，代入双调和方程得 4 32 4 32 4 32 2 0 d U d U d U dU r rrr dr dr dr dr + − += (8.22) 这属于欧拉方程，引入变换 , ln t ret r = = ，可化为常系数微分方程， 432 432 44 0 dU dU dU dt dt dt − + = (8.23) 其通解为 22 2 2 ln ln t t U At Bte Ce D A r Br r Cr D = + + += + + + (8.24) 其中 A,,, BCD 为任意常数。 应力分量为 2 2 (1 2ln ) 2 (3 2ln ) 2 0 r r r A B r C r A B r C r θ σ σ τ ⎧ =+ + + ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ =− + + + ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ (8.25) ¾ 位移场 将应力分量代入本构关系得 2 2 1 [(1 ) (1 3 ) 2(1 ) ln 2(1 ) ] 1 [ (1 ) (3 ) 2(1 ) ln 2(1 ) ] 0 r r r r r u A B Br C rE r u u A B Br C rr E r u u u r rr θ θ θ θ θ ε ν νν ν ε ννν ν θ ε θ ⎧ ∂ = = + +− + − + − ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎨ = + = −+ + − + − + − ∂ ⎪ ⎪ ∂ ∂ = + −= ⎪ ⎩ ∂ ∂ (8.26) 从(8.26)第一式积分得 1 [ (1 ) 2(1 ) (ln 1) (1 3 ) ln 2(1 ) ] ( ) r A u Br r B r Cr f E r = −+ + − − + − + − + ν ν ν νθ (8.27) 式中 f ( ) θ 为θ 任意函数
代入(8.26)第二式，得 -增-o (8.28) 4Bre 积分得到山，= E2-f0d0+),其中和为r的在意函数. 将4，、u2代入(8.26)第三式，有 fo+)+f0a0-@-0 (8.29) 或 f(0)+f(0)de=f(r)-f(r) (8.30) 上式左边为B的函数，右边为”的函数，要使其成立只有两边都等于同一常数F,于是有 f(r)-rf(r)=F (8.31) f'()+Jf0)d0=F 由(8.31)第一式可解出 ∫=+F(齐次方程的通解加上非齐次方程的特解) (8.32) 对(8.31)第二式求导使其变为微分方程 f"(0)+f(0)=0 (8.33) 解出f() f(0)=I cos0+Ksin0 (8.34) 由(8.31)第二式，得 [f(0)de=F-f'(0)=F+Isin0-K cos0 (8.35) 最后得到平面轴对称问题的位移分量为 4=-(1+v)2+21-v)）Brnr-)+0-3)B1nr+21-v)C +Icos0+Ksin0 (8.36) _4Bre+Hr-Isin0+K cos0 g E 其中A,B,C,D,H,L,K是任意常数，上述结果既适用于平面应力问题，又适用于平面应变 问题。 8.3圆环或圆简受均布压力 设圆环或圆筒的内半径为a,外半径为b,内压为q。,外压为q。,如果是圆环属于平 面应力问题，圆筒则属于平面应变问题。 边界条件：t0la=0,t0lb=0,o,la=-9a,0,-=-96。 6
6 代入(8.26)第二式，得 4 ( ) u Br f E θ θ θ ∂ = − ∂ (8.28) 积分得到 1 4 () () Br u f d fr E θ θ =− + θ θ ∫ ，其中 1f ( )r 为 r 的任意函数。 将 r u 、uθ 代入(8.26)第三式，有 1 1 1 1 ( ) () () () 0 f r f fr f d r rr ′ ′ θ θθ ++ − = ∫ (8.29) 或 1 1 f () () () () θ θθ + =− f d f r rf r′ ∫ (8.30) 上式左边为θ 的函数，右边为 r 的函数，要使其成立只有两边都等于同一常数 F ，于是有 1 1 () () () () f r rf r F f θ θθ fd F − = ′ ′ + = ∫ (8.31) 由(8.31)第一式可解出 1f = + Hr F (齐次方程的通解加上非齐次方程的特解) (8.32) 对(8.31)第二式求导使其变为微分方程 f f ′′() () 0 θ + θ = (8.33) 解出 f ( ) θ fI K ( ) cos sin θ = θ θ + (8.34) 由(8.31)第二式，得 f d F f FI K ( ) ( ) sin cos θ θ θ θθ =− =+ − ′ ∫ (8.35) 最后得到平面轴对称问题的位移分量为 1 [ (1 ) 2(1 ) (ln 1) (1 3 ) ln 2(1 ) ] cos sin 4 sin cos r A u Br r B r Cr E r I K Br u Hr I K E θ νν ν ν θ θ θ θ θ = −+ + − − + − + − + + = +− + (8.36) 其中 A, , , , ,, BCDH I K 是任意常数，上述结果既适用于平面应力问题，又适用于平面应变 问题。 8.3 圆环或圆筒受均布压力 设圆环或圆筒的内半径为 a ，外半径为b ，内压为 a q ，外压为 a q ，如果是圆环属于平 面应力问题，圆筒则属于平面应变问题。 边界条件： 0, 0, , r r r ar b ra rb ra rb q q θ θ τ τσ σ = == = = = =− =−
/1m b 图8.3 该问题属于轴对称问题，可以利用上节的结果 A 0,=京+B1+2In）+2C 0s、A +B(3+2Inr)+2C (8.37 To=0 代入边界条件 A +B(1+2Ina)+2C=-qa (8.38) +B1+2nb)+2C=-96 两个方程不能确定三个常数，圆环属于多连通区域，必须利用位移单值性条件。 注意到ug= 4Br0 -+Hr-Isin0+Kcos0→B=0。则可解出A,B E A=a(g。-9) b2-a2 C=9a-9b2 (9.39) 2(b2-a2) 应力分量为 >
7 图 8.3 该问题属于轴对称问题，可以利用上节的结果 2 2 (1 2ln ) 2 (3 2ln ) 2 0 r r A B r C r A B r C r θ θ σ σ τ ⎧ =+ + + ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ =− + + + ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ (8.37) 代入边界条件 2 2 (1 2ln ) 2 (1 2ln ) 2 a b A B aCq a A B bCq b ⎧ + + + =− ⎪⎪ ⎨ ⎪ + + + =− ⎪⎩ (8.38) 两个方程不能确定三个常数，圆环属于多连通区域，必须利用位移单值性条件。 注意到 4 sin cos 0 Br u Hr I K B E θ θ = + − + ⇒= θ θ 。则可解出 A B, 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2( ) b a a b ab q q A b a qa qb C b a − = − − = − (9.39) 应力分量为
。,-g-1.1-号 -9.1-9 (8.40) 号+11+g 如果只有内压力q。作用，则9。=0，上述结果简化为 0,=- 等-79。 (8.41) +1 0g= 由此可见，O,总是压应力，O。总是拉应力。当圆环或圆筒的外半径趋于无限大时(b→0)， 这个解成为具有圆孔的无限大薄板或具有圆形孔道的无限大弹性体，上述解为 a2 29a,0g= 29。 (8.42) 可见应力和二成正比，在r运大于a处，应力很小，这个例子也证实了圣维南原理，因为 圆孔的内压力是平衡力系。 如果只有外压力9。作用，则q。=0,解(8.40)简化为 1-g 1+号 0,= 1-g9%,0g=- (8.43) 显然，这时5和O。总是压应力。 8.4曲梁的纯弯曲 设单位厚度的狭长矩形截面的圆轴曲梁，内半径为α，外半径为b,在两端受大小相等 方向相反的弯矩M，取圆心为坐标原点，坐标系按图8.4所示建立。由于是纯弯曲问题， 梁的各个截面上弯矩相同，因此可以假设各截面上的应力分布相同，也就是轴对称问题
8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 b a r r r ab b a a b b a r r a b b a a b q q q q θ σ σ − − =− − − − + + = − − − (8.40) 如果只有内压力 a q 作用，则 0 b q = ，上述结果简化为 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 b r r a b a b r a b a q q θ σ σ − = − − + = − (8.41) 由此可见，σ r 总是压应力，σθ总是拉应力。当圆环或圆筒的外半径趋于无限大时(b → ∞ )， 这个解成为具有圆孔的无限大薄板或具有圆形孔道的无限大弹性体，上述解为 2 2 2 2 , ra a a a q q r r σ σ =− = θ (8.42) 可见应力和 2 2 a r 成正比，在 r 远大于a 处，应力很小，这个例子也证实了圣维南原理，因为 圆孔的内压力是平衡力系。 如果只有外压力 b q 作用，则 0 a q = ，解(8。40)简化为 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , 1 1 a a r r rb b a a b b q q σ σθ − + =− =− − − (8.43) 显然，这时σ r 和σθ总是压应力。 8.4 曲梁的纯弯曲 设单位厚度的狭长矩形截面的圆轴曲梁，内半径为 a ，外半径为b ，在两端受大小相等 方向相反的弯矩 M ，取圆心为坐标原点，坐标系按图 8.4 所示建立。由于是纯弯曲问题， 梁的各个截面上弯矩相同，因此可以假设各截面上的应力分布相同，也就是轴对称问题
b a 图8.4 边界条件： 全部边界无剪力 ro.rolo=0 (8.44) 梁内外两面边界条件是 Clo=0 (8.45) 在梁的任一端，环向正应力应当合成弯矩M,因此要求 o,t=0 (8.46) ardr-M 轴对称问题的通解为 0,= +B1+2In)+2C A -户+B(3+2In)+2C (8.47 Tro=0 显然这个解满足边界条件(8.44) 将这个通解代入(8.45)，得 京+B1+21na)+2C=0 A (8.48) 京+B1+2Ina)+2C=0 A (8.46)的第一式可以写为 =ro,=bo,lb-ao,la’由此可 9
9 图 8.4 边界条件： 全部边界无剪力 , , 0, 0 r r θ θ r ab θ αβ τ τ = = = = (8.44) 梁内外两面边界条件是 , 0 r r ab σ = = (8.45) 在梁的任一端，环向正应力应当合成弯矩 M ，因此要求 0 b a b a dr rdr M θ θ σ σ = = ∫ ∫ (8.46) 轴对称问题的通解为 2 2 (1 2ln ) 2 (3 2ln ) 2 0 r r A B r C r A B r C r θ θ σ σ τ ⎧ =+ + + ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ =− + + + ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ (8.47) 显然这个解满足边界条件(8.44) 将这个通解代入(8.45)，得 2 2 (1 2ln ) 2 0 (1 2ln ) 2 0 A B aC a A B aC b ⎧ + + += ⎪⎪ ⎨ ⎪ + + += ⎪⎩ (8.48) (8.46)的第一式可以写为 2 2 b b b b rr r a rb ra a a a d U dU dr dr r b a dr dr σ σσ σ θ = = = === − ∫ ∫ ，由此可
见，如果边界条件(8.45)满足，(8.46)的第一式自然会满足。 (8.46)的第二式可改写为 (8.49) 将轴对称问题的应力函数代入，得 AIn+B(b2 Inb-a'Ina)+C(b2-a2)=-M (8.50) a 由(8.48)和(8.50)联立，可解出A,B,C。 8.5圆孔的孔边应力集中 材料在加工过程中总会有缺陷，比如孔洞、裂纹等，有些结构构件也需要留孔。孔洞的 影响并不是只减少了一点截面面积，实际上孔边会产生应力集中，下面的分析中我们将会看 到圆孔孔边应力集中系数最大可达到4，结构往往从应力集中处失效（破坏）。 图8.5 设矩形板薄板（或长柱体），四边受均布拉力q,小孔位于矩形板的中心，半径为α，矩 形板的长、宽都远远大于α。因为有圆孔，宜用极坐标解法。 首先需要把边界条件用极坐标表示，现在边界条件是在板的四边受均布拉力，可以想象，如 果没有小孔，板处于均匀拉伸状态，因为小孔很小，在远离小孔处仍处于均匀拉伸状态，即 在x,y之a处，O=0,=q,tg=0。 由极坐标和直角坐标之间应力分量的变换公式， o,=o,cos0+o,sin0+sin 20 ,=o,sin20+,cos20-Ts sin20 (8.51) -(,-0,)sin 20+t cos20 1 Tro= 在r之a处，有o,=0g=9,t=0。 o
10 见，如果边界条件(8.45)满足，(8.46)的第一式自然会满足。 (8.46)的第二式可改写为 2 2 2 b bb b b b b b r a a a aa a a a d U dU dU dU rdr rdr rd r dr r U U dr dr dr dr σ σ θ = = = − = − =− ∫∫ ∫ ∫ (8.49) 将轴对称问题的应力函数代入，得 2 2 22 ln ( ln ln ) ( ) b A Bb b a a Cb a M a + − + − =− (8.50) 由(8.48)和(8.50)联立，可解出 A, , B C 。 8.5 圆孔的孔边应力集中 材料在加工过程中总会有缺陷，比如孔洞、裂纹等，有些结构构件也需要留孔。孔洞的 影响并不是只减少了一点截面面积，实际上孔边会产生应力集中，下面的分析中我们将会看 到圆孔孔边应力集中系数最大可达到 4，结构往往从应力集中处失效(破坏)。 图 8.5 设矩形板薄板(或长柱体)，四边受均布拉力 q ，小孔位于矩形板的中心，半径为 a ，矩 形板的长、宽都远远大于 a 。因为有圆孔，宜用极坐标解法。 首先需要把边界条件用极坐标表示，现在边界条件是在板的四边受均布拉力，可以想象，如 果没有小孔，板处于均匀拉伸状态，因为小孔很小，在远离小孔处仍处于均匀拉伸状态，即 在 x, y a 处， , 0 x y xy σ = σ τ = = q 。 由极坐标和直角坐标之间应力分量的变换公式， 2 2 2 2 cos sin sin 2 sin cos sin 2 1 ( )sin 2 cos 2 2 r x y xy r x y xy r y x xy θ σ σ θσ θτ θ σ σ θσ θτ θ τ σ σ θτ θ = ++ =+ − =− + (8.51) 在 r a 处，有 , 0 r r q σ = σ τ θ θ = =