第四章应力分析和平衡方程 4.1一点受力状态的描述 质点受力作用，只用一个力（三个分量）即可描述。变形体中一点受到四面八方的作用，其受 力状态具有多重方向性，不能用一个向量来描述，需要用张量来描述。 ◆弹性体受力的分类： 外力：其它物体作用的力，包括面力和体力。面力：边界上由于和其它物体接触而受到的作 用力，例如压力、摩擦力等。 体力：作用在弹性上的长程力，例如重力、电磁力，特点是不直接接触就可施加。 内力：弹性体内不同部分由于变形或其它效应而相互作用的力，大多数情况下为分子间的短 程相互作用力。 体力可以是外力，也可以是内力（例如铁磁性材料，材料各部分间会排斥或吸引），本课程中 只考虑外体力的情况。 △S 图4.1 考察弹性体V,想象V内有一封闭曲面S把物体分成内、外两部分，P是曲面S上的任意 一点，以P为形心在S上取出一个面积为△S的面元。n是P点由内向外法线的单位向量， △F为外部物体作用在△S上的合力，若极限lim AF 450A.S 存在，记为t,称为应力向量，显然 t不仅与P的位置有关，也与面元△S的方向有关 ◆Cauchy假设：弹性体内部的任何一个闭合曲面上，有一个确定的应力向量场，它对内 部物质的作用等价于外部物质在其上面的作用。 弹性体内每一点、每一方向都存在一个应力向量，每一点的应力向量有无数多个，如何 描述一点的受力状态？不同方向的应力向量有何关系呢？为此，考察与坐标轴垂直平面上的 应力
1 第四章 应力分析和平衡方程 4.1 一点受力状态的描述 质点受力作用，只用一个力(三个分量)即可描述。变形体中一点受到四面八方的作用，其受 力状态具有多重方向性，不能用一个向量来描述，需要用张量来描述。 弹性体受力的分类： 外力：其它物体作用的力，包括面力和体力。面力：边界上由于和其它物体接触而受到的作 用力，例如压力、摩擦力等。 体力：作用在弹性上的长程力，例如重力、电磁力，特点是不直接接触就可施加。 内力：弹性体内不同部分由于变形或其它效应而相互作用的力，大多数情况下为分子间的短 程相互作用力。 体力可以是外力，也可以是内力(例如铁磁性材料，材料各部分间会排斥或吸引)，本课程中 只考虑外体力的情况。 图 4.1 考察弹性体V ，想象V 内有一封闭曲面 S 把物体分成内、外两部分， P 是曲面 S 上的任意 一点，以 P 为形心在 S 上取出一个面积为 ΔS 的面元。 n是 P 点由内向外法线的单位向量， ΔF 为外部物体作用在 ΔS 上的合力，若极限 0 lim Δ →S S Δ Δ F 存在，记为t ，称为应力向量，显然 t 不仅与 P 的位置有关，也与面元 ΔS 的方向有关 Cauchy 假设：弹性体内部的任何一个闭合曲面上，有一个确定的应力向量场，它对内 部物质的作用等价于外部物质在其上面的作用。 弹性体内每一点、每一方向都存在一个应力向量，每一点的应力向量有无数多个，如何 描述一点的受力状态？不同方向的应力向量有何关系呢？为此，考察与坐标轴垂直平面上的 应力。 V S ΔS n ΔF P
6← 0w P(x,y,) 图4.2 设P点处法向为x轴正向的平面上的应力为T,法向为y轴正向的平面上的应力为 T,法向为z轴正向的平面上的应力为T,将T、T,、T,分解到坐标轴上，得到 Ts=Osex+toe,+oxe: T,=Tmes+one,+txe. (4.1) T.=Te,+tey+o_e: 将这些分量合在一起，写成矩阵的形式 0x Tx Te T= (夕 x (4.2) 0= 根据牛顿第三定律，法线为坐标轴负向的平面上的应力为： T=-0e.-te,-o-e: =-tmes-one,-txe. (4.3) T()=-tes-tsey-o_e: 任意平面上的应力 Ty 己知P点处以坐标轴正向为法线的平面上的应力分量T= 要求P点处 法向为n=(n,n2,n3)的平面上的应力。 2
2 图 4.2 设 P 点处法向为 x 轴正向的平面上的应力为Tx ，法向为 y 轴正向的平面上的应力为 T y ，法向为 z 轴正向的平面上的应力为Tz ，将Tx 、T y 、T y 分解到坐标轴上，得到 x xx x xy y xz z y yx x yy y yz z z zx x zy y zz z στσ τστ ττσ ⎧ = ++ ⎪ ⎨ =+ + ⎪ =++ ⎩ T ee e Te ee Tee e (4.1) 将这些分量合在一起，写成矩阵的形式 xx xy xz yx yy yz zx zy zz σ τ τ τ σ τ τ τ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T (4.2) 根据牛顿第三定律，法线为坐标轴负向的平面上的应力为： (-) (-) (-) x xx x xy y xz z y yx x yy y yz z z zx x zy y zz z στσ τστ ττσ ⎧ =− − − ⎪ ⎨ =− − − ⎪ =− − − ⎩ T ee e T e ee T ee e (4.3) 任意平面上的应力 已知 P 点处以坐标轴正向为法线的平面上的应力分量 xx xy xz yx yy yz zx zy zz σ τ τ τ σ τ τ τ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T ，要求 P 点处 法向为 123 n = (, , ) nn n 的平面上的应力。 σ yy yx τ i yz τ σ xx xz τ xy τ σ zz zx τ zy τ Pxyz (, ,) z y x
图4.3 设三角形ABC的面积为S,SAPBC=S,SMPC=S,SMAPB=S,体力f=(f,∫，)。因 为PBC平面的法线指向x轴的负向，所以PBC面上作用的应力是-O.e.-t,e,-O=e:, 同理APC面上作用的应力是-Tne-One,-te:,APB面上作用的应力是 -T=e.-t3e,-O=e.。设ABC面上的应力是t=(L,t,L),考虑四面体PABC的平衡， 有 1s+fAV-Ggs-TS2-TS3=0 l,s+fAV-Tss-Oms2-TsS3=0 (4.4) 1.s+LAV-TsS1-T=S2-0=53 =0 式中△V为四面体的体积。 由几何关系知S,/S=Cos(n,x)=h,S2/S=C0s(n,y)=n2,S3/S=Cos(n,x)=n3,所以 1 1+。hf=On+txn2+txh 3 1 1,+。h时，=tgn+Onn2+t,n (4.5) 3 1 1+3城=t=%+乃+o-乃 其中h为P点到平面ABC的距离。 当h→0时，得到P点处法线为n的斜面上的应力为 Is =om +Tn+Tn3 t,=Tnn+0yn3+T八 (4.6) 1=Tx=n1+t-n2+0=n3
3 图 4.3 设三角形 ABC 的面积为 s ， 123 , , PBC APC APB S sS s S s ΔΔ Δ = = = ，体力 (, ,) x y z f = f f f 。因 为 PBC 平面的法线指向 x 轴的负向，所以 PBC 面上作用的应力是 σ xx x xy y xz z − ee e − − τ σ ， 同 理 APC 面上作用的应力是 yx x yy y yz z −τ e ee − − σ τ ， APB 面上作用的应力是 zx x zy y zz z −− − τ ee e τ σ 。设 ABC 面上的应力是 (, ,) x y z t = ttt ，考虑四面体 PABC 的平衡， 有 123 1 23 12 3 0 0 0 x x xx yx zx y y xy yy zy z z xz yz zz ts f V s s s ts f V s s s ts f V s s s στ τ τσ τ ττ σ ⎧ + Δ− − − = ⎪ ⎨ + Δ− − − = ⎪ +Δ− − − = ⎩ (4.4) 式中 ΔV 为四面体的体积。 由几何关系知 1 12 23 3 s s x ns s y n s s x n / cos( , ) , / cos( , ) , / cos( , ) = nn n == == = ，所以 123 1 23 12 3 1 3 1 3 1 3 x x xx yx zx y y xy yy zy z z xz yz zz t hf n n n t hf n n n t hf n n n στ τ τσ τ ττ σ += ++ + =+ + + =++ (4.5) 其中 h 为 P 点到平面 ABC 的距离。 当 h → 0 时，得到 P 点处法线为 n的斜面上的应力为 123 1 23 12 3 x xx yx zx y xy yy zy z xz yz zz t nnn t n nn t nn n σ τ τ τστ ττ σ = ++ =+ + =++ (4.6) t P z y x A B C
或t=nT,下标形式为：4=n,0u(ij=1,2,3)。 上式表示只要知道T,P点任意截面上的应力可由(4.6)式求出，说明应力张量T可以完全 描述一点的应力状态。 对动力学情况，(4.6)式仍然成立，只要把惯性力看成体力即可。 >应力的符号：外法线指向坐标轴正向的面称为正面，正面上应力分量沿坐标轴的正向为 正，负向为负：外法线指向坐标轴负向的面称为负面，负面上应力分量沿坐标轴的负向为正， 反之为负。 注意我们这里并没有直接规定应力的正负号，只是用一点处正面上的应力向量的分量来 表示任意面上的应力向量t=T,这里人为选择的只是T,这样便有正面上应力分量沿坐 标轴的正向为正，负向为负：负面上应力分量沿坐标轴的负向为正，反之为负的结果。如果 用一点处负面上的应力向量的分量来当作应力张量，那么结果将是任意面上的应力向量 t=-T。这样选取的结果与材料力学中拉应力为正、压应力为负的规定一致。应力分量o 的第一个下标表示所在面的外法线方向，第二下标表示力的方向，例如t表示与x轴垂直 且法线指向x轴正向的面上y轴方向的应力分量。 >应力张量 在坐标系{e,e2,e}下，一点P的应力张量T己知，要求另一坐标系{e,e2,e}中的应 力张量T',两个坐标系间的关系为：{e,e,e}={e,e,eC或e=c,e,(i=1,2,3)。 e{在坐标系{e,e2,e}中的坐标为(c1,c2,C),根据Cauchy公式(t=nT),与e垂直的 截面上的应力向量为T,由应力张量的定义，得到 Ch i=(eT)e=(c,Cn2,C)T.C2 =C0m9(ij=1,2,3) C13 (4.7) C21 Gi2=(e'-T)2=(cu,C2,C)T.C22 =c0c2j(i,j=1,2,3) C23 同样方法可导出022，O,021,01,O,033,将这些应力分量合写在一起，就是 T=(o)=CTCT (4.8) 0=CkC0(i,jk,S=1,2,3) 这说明T=(o)是二阶张量。 4.2平衡方程 >力的平衡 设P(x,八，)点的应力张量为T,体力密度为「=（∫，∫，∫）（单位体积上的体力），考虑以
4 或t=nTi ，下标形式为： , ( , 1,2,3) i j ji t n ij = = σ 。 上式表示只要知道T ， P 点任意截面上的应力可由(4.6)式求出，说明应力张量T 可以完全 描述一点的应力状态。 对动力学情况，(4.6)式仍然成立，只要把惯性力看成体力即可。 ¾ 应力的符号：外法线指向坐标轴正向的面称为正面，正面上应力分量沿坐标轴的正向为 正，负向为负；外法线指向坐标轴负向的面称为负面，负面上应力分量沿坐标轴的负向为正， 反之为负。 注意我们这里并没有直接规定应力的正负号，只是用一点处正面上的应力向量的分量来 表示任意面上的应力向量t= T ni ，这里人为选择的只是T ，这样便有正面上应力分量沿坐 标轴的正向为正，负向为负；负面上应力分量沿坐标轴的负向为正，反之为负的结果。如果 用一点处负面上的应力向量的分量来当作应力张量，那么结果将是任意面上的应力向量 t=- T ni 。这样选取的结果与材料力学中拉应力为正、压应力为负的规定一致。应力分量σ ij 的第一个下标表示所在面的外法线方向，第二下标表示力的方向，例如 xy τ 表示与 x 轴垂直 且法线指向 x 轴正向的面上 y 轴方向的应力分量。 ¾ 应力张量 在坐标系 123 {, , } eee 下，一点 P 的应力张量T 已知，要求另一坐标系 123 {, , } eee ′′′ 中的应 力张量T′，两个坐标系间的关系为： T 123 123 {, , } {, , } eee eee ′′′ = C 或 ( 1,2,3) i ij j e e ′ = c i = 。 1 e′ 在坐标系 123 {, , } eee 中的坐标为 11 12 13 (, , ) ccc ，根据 Cauchy 公式(t= T ni )，与 1 e′ 垂直的 截面上的应力向量为 1 e′iT，由应力张量的定义，得到 11 11 1 1 11 12 13 12 1 1 13 21 12 1 2 11 12 13 22 1 2 23 ( ) ( , , ) ( , 1,2,3) ( ) ( , , ) ( , 1,2,3) i ij j i ij j c c c c c c c ij c c c c c c c c ij c σ σ σ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′′′ == = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′′′ == = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T T T T i i ii i i ii e e e e (4.7) 同样方法可导出 22 33 21 31 13 33 σ′′′′′′ ,,,,, σσσσσ ，将这些应力分量合写在一起，就是 ( ) ( , , , 1,2,3) T ij ij ik js ks cc i jks σ σ σ ′ ′ = = ′ = = T CTC (4.8) 这说明 ( ) T = σ ij 是二阶张量。 4.2 平衡方程 ¾ 力的平衡 设 Pxyz (, ,) 点的应力张量为 T ，体力密度为 (, ,) x y z f = f f f (单位体积上的体力)，考虑以
为中心的正六面体微元的平衡，将各面上的应力分解到x,y,z轴上，并令其代数和等于零， 即可得到平衡方程。例如从x方向力的平衡可得 O,(x+ 2y4t-o- d 2.y,=)dyde +7a(y+ 2h-tn(k,y- 2.)dxde (4.9) +rz(x.y.+)dxdy-rz(x.y.=-)dxdy+fdkxdbyd=0 2 2 略去泰勒展开的高次项，并约去dkd山，最后得到： 0+0++f=0 (4.10) dx dy 考虑方向和方向的平衡可以得到另外两个方程，合在一起便是平衡方程组 0o+r红+x红+f=0 Ox dy Oz 0y+ at型+ 红+f,=0 (4.11) Ox dy Oz 0r+ im+0o+f-0 Ox dy dz 张量整体形式：7.T+f=0 下标形式：0+f=0(,j=1,2,3)
5 为中心的正六面体微元的平衡，将各面上的应力分解到 x, , y z 轴上，并令其代数和等于零， 即可得到平衡方程。例如从 x 方向力的平衡可得 ( ,,) ( ,,) 2 2 (, ,) (, ,) 2 2 (, , ) (, , ) 0 2 2 x x yx yx zx zx x dx dx x y z dydz x y z dydz dy dy x y z dxdz x y z dxdz dz dz x y z dxdy x y z dxdy f dxdydz σ σ τ τ τ τ + −− ++ −− + +− −+ = (4.9) 略去泰勒展开的高次项，并约去 dxdydz ，最后得到： 0 x zx yx x f xyz ∂ ∂ σ τ ∂τ + + += ∂∂∂ (4.10) 考虑方向和方向的平衡可以得到另外两个方程，合在一起便是平衡方程组 0 0 0 x zx yx x xy y zy y xz yz z z f xyz f xyz f xyz σ τ τ τ στ τ τ σ ⎧ ∂ ∂ ∂ + + += ⎪ ∂∂∂ ⎪ ⎪⎪∂∂∂ ⎨ + + += ∂∂∂ ⎪ ⎪ ∂ ∂ ∂ ⎪ + + += ⎪⎩ ∂∂∂ (4.11) 张量整体形式：∇ += iT f 0 下标形式： , 0 ( , 1,2,3) ji j i σ += = f ij
dx G dy 图4.4 >力矩的平衡 考虑绕过P点x轴方向力矩的平衡，得 @空0x@0r-cy4空h 2 +0-空0x00-y-空h) (4.12) +@0宁x0c+专d,0 +00-宁x0-5,k:-告达h.0=0 e.cy变--空 ,drd:dy (4.13) -(c,(x,y,2+9 气+，x:-空d5-0 即t==Ty,同样方法可以得出t,=Tx,Te=Tx,称为剪力互等关系（定理），也就是说 6
6 图 4.4 ¾ 力矩的平衡 考虑绕过 P 点 x 轴方向力矩的平衡，得 (0, ,0) (0,0, ( , , ) ) 2 2 (0, ,0) (0,0, ( , , ) ) 2 2 (0,0, ) (0, ( , , ) ,0) 2 2 (0,0, ) (0, ( , , ) ,0) 0 2 2 yz yz zy zy dy dy x y z dxdz dy dy x y z dxdz dz dz x y z dxdy dz dz x y z dxdy τ τ τ τ × + +− × − − +× + + − ×− − = (4.12) ( ( , , ) ( , , )) 2 22 ( ( , , ) ( , , )) 0 2 22 yz yz zy zy dy dy dy x y z x y z dxdz dz dz dz x y z x y z dxdy τ τ τ τ ++ − − ++ − = (4.13) 即 yz zy τ =τ ，同样方法可以得出 xy yx τ =τ ， xz zx τ =τ ，称为剪力互等关系(定理)，也就是说 σ y yz τ yx τ dx dz dy σ z zy τ zx τ σ z zy τ zx τ σ y yz τ yx τ • P σ x xy τ xz τ σ x xy τ xz τ y z x
应力张量是对称的，只有六个独立分量。 >平衡方程和剪力互等关系积分形式的推导 设P(x,y,)是位于弹性体2内的任意一点，在2内取一个包含P的体元V,边界为 aV,由V的边界aV上的面力t和V内的体力f平衡，可列出下列的方程。 ∯d迹+j叮=0 (4.14) ∯Tds+j∬f=0 (4.15) 利用Gauss公式， 们-Ih+川体=0，即，T+0=0,对任意包含P的小 体元V均有川(.T+f0w=0,由此可推出(.T+f)p=0。 可用反证法证明，如果(T+f)儿p≠0，不妨假设(.T+f)儿p>0,因为VT+f在P 点连续，可找到包含P的小体元广'c',在广内(T+fp>0,则(T+0>0, 与j川(.T+0=0矛盾，所以(.T+外=0。 因为P是2内的任意一点，所以在整个弹性体2内，VT+f=0。 以积分形式表示力矩的平衡 rxs+明rx体=0 (4.16 ∯rxts=∯rx(-T)d=-∯T)xk (4.17) =-∯(T×r)d=-j∬(Txr)ak 上式中n为aV的法向，最后一步用到了Gauss公式。 V-(Txr)=- e(one exxxe)= x; 9oae6ee.） =Gjk.jXEumem+xEkmem =(VT)xr+xfumem (4.18) =-r×(7.T)+ikkimem ∯rxtds+-j∬rxf=Jj∬rx(.T+f)dh-Jj∬(oa5nn) (4.20) 由此可推出06mem=0,即0)=0元（亿j广=1,2,3）。 注：()对动力问题（即外力和体力随时间变化的问题），根据达朗贝尔原理，把惯性力当作 体力，可导出运动方程7.T+f=p (p为弹性体的密度。 du (2)有体力、动力问题，剪力互等仍然成立。 (3)如果有体力偶存在（例如铁磁弹性体），则剪力互等不再成立。在后来发展的一些理论中 (例如偶应力理论和微极弹性理论)，放弃了Cauchy假设，剪应力互等也不再成立
7 应力张量是对称的，只有六个独立分量。 ¾ 平衡方程和剪力互等关系积分形式的推导 设 Pxyz (, ,) 是位于弹性体Ω 内的任意一点，在Ω 内取一个包含 P 的体元V ，边界为 ∂V ，由V 的边界∂V 上的面力t 和V 内的体力f 平衡，可列出下列的方程。 0 V V ds dv ∂ + = ∫∫ ∫∫∫ wt f (4.14) 0 V V ds dv ∂ + = ∫∫ ∫∫∫ wniT f (4.15) 利用 Gauss 公式， 0 V V ∇+ = dv dv ∫∫∫ ∫∫∫ iT f ，即， ( 0 V ∇ dv = ∫∫∫ iT + f) ，对任意包含 P 的小 体元V 均有 ( 0 V ∇ = dv ∫∫∫ iT + f) ，由此可推出( )0 P ∇iT f + = 。 可用反证法证明，如果( )0 P ∇+ ≠ iT f ，不妨假设( )0 P ∇iT f + > ，因为∇ + iT f 在 P 点连续，可找到包含 P 的小体元 * V V ⊂ ，在 * V 内( )0 * V ∇iT f + > ，则 * ( 0 V ∇ > dv ∫∫∫ iT + f) ， 与 ( 0 V ∇ = dv ∫∫∫ iT + f) 矛盾，所以( )0 P ∇iT f + = 。 因为 P 是Ω 内的任意一点，所以在整个弹性体Ω 内，∇iT f + = 0 。 以积分形式表示力矩的平衡 0 V V ds dv ∂ × + ×= ∫∫ ∫∫∫ wr rf t (4.16) () () ( ) ( ) VV V V V ds ds ds ds ds ∂∂ ∂ ∂ × = × =− × =− × =− ∇ × ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ t TT T T i i i i ww w w r rn n r nr r (4.17) 上式中 n为∂V 的法向，最后一步用到了 Gauss 公式。 , () ( ) ( ) ( ) ( ) i jk j k l l i jk j l klm m i i jk j l klm m ik kim m ik kim m ik kim m x x x x x σ σε σ ε σε σε σ ε ∂ ∂ ∇ ×= × = ∂ ∂ = + =∇ × =− × ∇ + T T T ii i i i r e ee e e e e e e r+ e r e (4.18) () ( ) ik kim m VV V V ds dv dv dv σ ε ∂ × + × = ×∇ + − ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ wrr r e t f Tf i (4.20) 由此可推出 0 σ ik kim m ε e = ，即 ( , 1,2,3) ij ji σ = = σ i j 。 注：(1) 对动力问题(即外力和体力随时间变化的问题)，根据达朗贝尔原理，把惯性力当作 体力，可导出运动方程 2 2 t ρ ∂ ∇ += ∂ u iT f ( ρ 为弹性体的密度)。 (2) 有体力、动力问题，剪力互等仍然成立。 (3) 如果有体力偶存在(例如铁磁弹性体)，则剪力互等不再成立。在后来发展的一些理论中 (例如偶应力理论和微极弹性理论)，放弃了 Cauchy 假设，剪应力互等也不再成立
4.3主应力、主方向 从前面几节的讨论，我们知道应力张量在两个坐标中的关系是T'=CTC「，C是两个 坐标系间的变换矩阵，是正交矩阵C=C”,从力矩平衡可推出T对称。 和应变张量的情形一样，根据线性代数理论，T可对角化，以T的特征向量的方向为 坐标轴建立坐标系，在这样的坐标系中，有 0 0 0 0 (4.21) 0 0 03 因此可得到如下结论： (1)存在主方向，且互相垂直 (2)主方向为法向的平面上，只有正应力而没有剪应力。 0-01 6 013 021 0-022 023 det(oI-T)=det(oC C-C'T'C) 031 032 0-033 6-01 0 0 =det(oI-T)= 0 0 (4.22) 0 0 0-03 =(0-01)(0-02(0-03) 展开比较两边同次幂的系数，得到应力张量的三个不变量。 J1=011+022+033=01+02+03 1012+622023+03303到=GG.+g,+0,01(4 J2= + + σ21022032033c13011 J=det(T)=00203 4.4最大与最小应力 为了研究方便，以下讨论均在主坐标中进行，在主坐标系下，应力张量为： 01 0 0 T= 0 02 0 (4.24) 0 03 对任意斜面，设法线方向为n=(n,m2,n)，那么斜面上的应力为： t=T=(on,02n,0n)，正应力为：0n=tn=0,+02+o,，因为 +n+居=1，所以正应力可以表示为：0n=om+02n+0,(1-n-)。求0n的极 值，令o=0=0,得 an on
8 4.3 主应力、主方向 从前面几节的讨论，我们知道应力张量在两个坐标中的关系是 T T = CTC ′ ，C 是两个 坐标系间的变换矩阵，是正交矩阵 -1 T C =C ，从力矩平衡可推出T 对称。 和应变张量的情形一样，根据线性代数理论，T 可对角化，以T 的特征向量的方向为 坐标轴建立坐标系，在这样的坐标系中，有 1 2 3 0 0 0 0 0 0 σ σ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T = (4.21) 因此可得到如下结论： (1) 存在主方向，且互相垂直 (2) 主方向为法向的平面上，只有正应力而没有剪应力。 11 1 13 T T 21 22 23 31 32 33 1 2 3 123 det( ) det( ) 0 0 det( ) 0 0 0 0 ( )( )( ) σσ σ σ σ σσ σ σ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σσσσ σσ − − = −= − ′ − − = −= − ′ − =− − − I T C C C TC I T (4.22) 展开比较两边同次幂的系数，得到应力张量的三个不变量。 1 11 22 33 1 2 3 11 12 22 23 33 31 2 12 23 31 21 22 32 33 13 11 3 123 det( ) J J J σ σ σ σσσ σ σ σσ σσ σ σ σσ σσ σ σ σσ σσ σσσ = + + =++ = + + =++ = = T (4.23) 4.4 最大与最小应力 为了研究方便，以下讨论均在主坐标中进行，在主坐标系下，应力张量为： 1 2 3 0 0 0 0 0 0 σ σ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T (4.24) 对任意斜面，设法线方向为 123 n = (, , ) nnn ，那么斜面上的应力为： 11 2 2 33 t T= = ni (, , ) σ nnn σ σ ，正应力为： 222 n 11 2 2 3 3 σ σσσ == + + tin nnn ，因为 222 1 23 nnn ++=1，所以正应力可以表示为： 2 2 22 11 2 2 3 1 2 (1 ) n σσ σ σ = + + −− n n nn 。求σ n 的极 值，令 1 2 0 n n n n ∂ ∂ σ σ = = ∂ ∂ ，得
=2gm-2G,4=0→(a-0,m=0 on (4.25) 0=20,h-2o,h=0→(o2-0,m=0 o 情况1,01≠02≠03一n=n2=0,n3=±1,0n=03 情况2,01=3≠02→n3=0,0m=0+0=σ1 情况3,01=02=03=0→0m=0。 所以，正应力的最大值就是01,02,03中的最大值，正应力的最小值是01,02,0，中的最小值。 >最大剪应力 =t-o;=ain+on+ain-(om+on+omn) (4.26) =on+o+o(1-n-)-[o,n+o,n+o,1-n- 要求t的最大值，令=0=0，得 n(a-0(o,-0)m+(G-02)i+10)=0 2 (4.27) m(a2-0(a;-G1)m+(a,-0+00)=0 2 以下分三种情况讨论： I0,≠σ2≠（此种情况共有四种可能） a.n1=n2=0,n3=±1，t=0。 h=0 b. 2% a-m+a-a,城+8=0→%=±g2% 11 2 2 %3=0 C 2%t a-o以+a,-a,i+89-0→%=t54= 2o1-o 2 (a-am+(a-o)+可0=0 2 d →01=02，这种情况不可能。 a-am+(a-o,)+00=0 2 另外，如果我们以，为变量进行讨论，还可得出一种剪应力取极值的情况， 9
9 11 31 1 3 1 1 22 32 2 3 2 2 2 2 0 ( ) 0 2 2 0 ( ) 0 n n nn n n nn n n σ σ σ σσ σ σ σ σσ ∂ = − =⇒ − = ∂ ∂ = − =⇒ − = ∂ (4.25) 情况 1， 1 2 3 12 3 3 0, 1, n σ ≠ ≠ ⇒ = = =± = σσ σσ nn n 情况 2， 2 2 1 3 2 2 11 13 1 0, n σ =≠ ⇒ = = + = σσ σσ σ σ n nn 情况 3， 123= σ == ⇒ = σ σσ σ σ n 。 所以，正应力的最大值就是 123 σ , , σ σ 中的最大值，正应力的最小值是 123 σ , , σ σ 中的最小值。 ¾ 最大剪应力 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 2 2 3 3 11 2 2 33 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 1 2 11 2 2 3 1 2 ( ) (1 ) [ (1 )] n n n n nnn n n nn n n nn σσ σ σ σ σ σ σ σ σ σσσ =−= + + − + + = + + −− − + + −− t 2 τ (4.26) 要求 2 τ 的最大值，令 2 2 1 2 0, 0 n n ∂ ∂ τ τ = = ∂ ∂ ，得 2 2 1 3 1 1 3 3 11 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 11 3 2 2 ( )(( ) ( ) ) 0 2 ( )(( ) ( ) ) 0 2 n nn n nn σ σ σσ σσ σσ σ σ σσ σσ σσ − − − +− + = − − − +− + = (4.27) 以下分三种情况讨论： I σ123 ≠ ≠ σ σ (此种情况共有四种可能) a. 12 3 nn n = = =± 0, 1，τ = 0。 b. 1 2 2 2 3 2 3 3 11 3 2 2 0 2 2 , ( )( ) 0 2 2 2 n n n n n σ σ σσ σσ ⎧ = ⎪ ⎨ − ⇒ =± =± − +− + = ⎪ ⎩ ， 2 3 1 2 τ = − σ σ c. 2 2 2 1 3 1 3 3 11 3 2 2 0 2 2 , ( )( ) 0 2 2 2 n n n n n σ σ σσ σσ ⎧ = ⎪ ⎨ − ⇒ =± =± − +− + = ⎪ ⎩ ， 1 3 1 2 τ = − σ σ d. 2 2 1 3 3 11 3 2 2 1 2 2 2 2 3 3 11 3 2 2 ( )( ) 0 2 ( )( ) 0 2 n n n n σ σ σσ σσ σ σ σ σ σσ σσ ⎧ − − +− + = ⎪⎪ ⎨ ⇒ = − ⎪ − +− + = ⎪⎩ ，这种情况不可能。 另外，如果我们以 1 3 n n, 为变量进行讨论，还可得出一种剪应力取极值的情况
2,% 2%=0,x=2o1-o/。 IⅡσ1=03≠02（两种可能） 21 1, 2,+2t=2,-o网 b.m2=0,n+n=1,T=0 IⅡ0，=02=03，不论法线方向如何，总有t=0。 综上所述，最大剪应力tmx=max lo1-o3 02-o3l 因为主应力是不变 2 2 量，最大剪应力也是坐标变换的不变量。 第三强度理论：最大剪应力达到极限值时，材料破坏，也就是Tresca屈服准则。 4.5八面体上的剪应力 如图4.5所示，八面体法向(1,1,1)/√3，该面上的正应力为： 5 3 0 0) 1 02 0 =(o1+02+03) (4.28) 3 3 0 03 5 3 剪应力为：=i-a-a++ai)-ga++a,,即 t.-j-qY+(@,-oF+(a-a (4.29) 第四强度（畸变能密度）理论：形状改变应变能（畸变能）密度达到极限值时，材料破坏，即 0u-《a,-广+(o-0,尸+(G,-o,)》P)≤[o],用八面体上的剪应力表示是 3W2 。≤o],也称为Mscs屈服准则，o4-}(G-a》+(a,-G广+(a-G, 为Von Mises应力。 ·应变能密度可以分解为体积改变应变能密度与形状改变应变能密度之和。 10
10 123 2 2 , ,0 2 2 nn n =± =± = ， 1 2 1 2 τ = − σ σ 。 II σ132 = ≠ σ σ (两种可能) a. 2 2 2 13 2 1 , 2 2 n nn = += ， 3 2 1 2 τ = − σ σ b. 2 2 2 13 n nn = += 0, 1，τ = 0 III σ123 = = σ σ ，不论法线方向如何，总有τ = 0。 综上所述，最大剪应力 12 13 23 max max , , 222 σ σ σσ σσ τ ⎧ − − −⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ，因为主应力是不变 量，最大剪应力也是坐标变换的不变量。 第三强度理论：最大剪应力达到极限值时，材料破坏，也就是 Tresca 屈服准则。 4.5 八面体上的剪应力 如图 4.5 所示，八面体法向(1,1,1) / 3 ，该面上的正应力为： 1 2 123 3 3 3 0 0 3 3 3 31 00 ( ) 333 3 3 0 0 3 3 n σ σ σ σσσ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ++ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (4.28) 剪应力为： 22 2 2 2 2 2 1 2 3 123 1 1 ( )( ) 3 9 o n τ =− = + + − + + t σ σ σ σ σσσ ，即 2 22 12 23 13 1 ( )( )( ) 3 o τ σσ σσ σσ = − +− +− (4.29) 第四强度(畸变能密度)理论：形状改变应变能(畸变能)密度∗ 达到极限值时，材料破坏，即 2 22 12 23 13 1 (( ) ( ) ( ) ) [ ] 2 σ M = − +− +− ≤ σσ σσ σσ σ ，用八面体上的剪应力表示是 3 2 [ ] 2 o τ ≤ σ ，也称为 Mises 屈服准则， 2 22 12 23 13 1 (( ) ( ) ( ) ) 2 σ σσ σσ σσ M = − +− +− 称 为 Von Mises 应力。 ∗ 应变能密度可以分解为体积改变应变能密度与形状改变应变能密度之和