上海交通大学：《弹性理论》教学资源（课程讲义）第5章 本构关系

第五章本构关系 前面几章我们导出了平衡方程和几何方程（位移和应变的关系），这是弹性理论中两组基 本方程，这两组方程与材料性质无关，适用于任何连续介质。其中共有15个未知量（三个位 移、六个应变分量、六个应力分量)和九个方程（三个平衡方程、六个几何方程），显然仅从这 两组方程是无法解出全部未知量的，因此必须寻找其它关系。实验和日常经验表明，不同材 料的承载能力是不同的，施加同样的力会产生不同的变形，显然物体内应力和应变是有联系 的，是材料本身固有的性质，称为本构关系。 热力学定律是自然界的最基本的规律之一，一切宏观系统都必须遵循。研究本构关系可 以从热力学定律出发，导出本构关系的基本形式，然后对不同对称性的材料，得到本构关系 的具体形式。 5.1热力学定律 热力学第一定律：单位体积内能的增加U等于外界传进的热量6Q与外界对它做的功 6A之和，即 6U=6Q+6A (5.1) 也称为能量守恒定律，能量不能无中生有，也不能有中生无，只能由一种形式转换成另一种 形式。 热力学第二定律：使热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化是不可能的。通俗 地说就是“水往低处流，热向冷处走。” 从热力学第二定律可以引出一个状态函数熵S,热力学第二定律定量表示可写为 ads≥Q (5.2) 现设孤立系统处于热力学平衡状态I,熵S,温度日，且这种平衡是稳定的。所谓平衡是稳 定的，是指系统从该状态向邻近的任一状态Ⅱ变化时，系统的熵应当不增，Ⅱ为稳定平衡 态邻近的状态，熵S+6S,于是当系统受外来扰动时，即从I向Ⅱ的方向进行时，过程进 行的方向与不等式(5.2)相反，即 0dS≤6Q=6U-T:d证 (5.3) 这就是物体每一个局部都达到热力学稳定平衡的条件，对可逆过程取等号。 >外力做的功 设弹性体V,其边界为V,应力场T(o),位移u,应变D(s),要求位移由u变到u+δu 时外力所做的功δK。 7.T+f=0 in nT=t on o V (5.4) u=ū onav

1 第五章 本构关系 前面几章我们导出了平衡方程和几何方程(位移和应变的关系)，这是弹性理论中两组基 本方程，这两组方程与材料性质无关，适用于任何连续介质。其中共有 15 个未知量(三个位 移、六个应变分量、六个应力分量)和九个方程(三个平衡方程、六个几何方程)，显然仅从这 两组方程是无法解出全部未知量的，因此必须寻找其它关系。实验和日常经验表明，不同材 料的承载能力是不同的，施加同样的力会产生不同的变形，显然物体内应力和应变是有联系 的，是材料本身固有的性质，称为本构关系。 热力学定律是自然界的最基本的规律之一，一切宏观系统都必须遵循。研究本构关系可 以从热力学定律出发，导出本构关系的基本形式，然后对不同对称性的材料，得到本构关系 的具体形式。 5.1 热力学定律 热力学第一定律：单位体积内能的增加δU 等于外界传进的热量δQ 与外界对它做的功 δ A 之和，即 δUQA = δ δ + (5.1) 也称为能量守恒定律，能量不能无中生有，也不能有中生无，只能由一种形式转换成另一种 形式。 热力学第二定律：使热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化是不可能的。通俗 地说就是“水往低处流，热向冷处走。” 从热力学第二定律可以引出一个状态函数熵 S ，热力学第二定律定量表示可写为 θdS Q ≥ δ (5.2) 现设孤立系统处于热力学平衡状态 I，熵 S ，温度θ ，且这种平衡是稳定的。所谓平衡是稳 定的，是指系统从该状态向邻近的任一状态 II 变化时，系统的熵应当不增， II 为稳定平衡 态邻近的状态，熵 S S +δ ，于是当系统受外来扰动时，即从 I 向 II 的方向进行时，过程进 行的方向与不等式(5.2)相反，即 θdS Q U ≤ δδ δ = −T: Γ (5.3) 这就是物体每一个局部都达到热力学稳定平衡的条件，对可逆过程取等号。 ¾ 外力做的功 设弹性体V ，其边界为∂V ，应力场 ( ) T σ ij ，位移u ，应变 ( )ij Γ ε ，要求位移由u 变到u+ uδ 时外力所做的功δ K 。 0 in on on u V V V σ ⎧∇ += ⎪ ⎨ = ∂ ⎪ ∂ ⎩ T f T t u u i i = n (5.4)

6K=∯6uh+∬uh=∯Toab+叮ou水 =j∬(.T)6uw+jfδud+Jj∬T:δuvd (5.5) Jj∬(-T+f)uw+j∬T:mvw T:(6uN=T:(6u+(6u+u7,Vu=T:(0r+2） (5.6) 2 2 由于，T:0=0(对称张量与反对称张量的双点乘为零)，所以，δK=T:, δA=T:T=0,,单位体积内外力做的功。 引入另一个热力学函数，F=U-S,称为自由能，表示内能中能够自由对外做功的 部分。将其代入(5.2)式，得 6F+S80-6A≥0 (5.7) 6F+S60-T:dT≥0 把自由能看成是温度和应变的函数，F=F(O,)，将自由能按Taylor级数展开 oF=o OF -60+ a ae可 ,+F,代入(5.6)式，可导出 O -+S)60+( OF 8 (5.8) E -0,)6,+62F≥0 由0，E的任意性，得 aF+S=0. F=0 (5.9) a0 08 F-10F 223(δ0)2+1(aF)δ06sg+ 1F )6,E20 (5.10) 2 0008 2 0808ks 两类特殊的过程，绝热：6Q=O6S=0,U=T:T,等温：S80=0,6F=T:T,均为 可逆过程。这时内能和自由能的变化完全由外力做功引起，就称为应变能，单位体积的应变 能称为应变能密度，记为W。 5.2广义胡克定律 (5.9)式说明W在稳定平衡态取极小值， OW w 86,c20 G=0666 (5.11) 将W做Taylor展开，根据小变形假设，略去二次以上项，得 2

2 ( ) : ( ) : VV V V V VV V V K ds dv n ds dv dv dv dv dv dv σ σ δδ δ δ δ δδ δ δ δ ∂ ∂ =+ = + =∇ + + ∇ = ∇+ + ∇ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ tu f u Tu f u T u fu Tu Tf u T u i i ii i ii i i i w w (5.5) () ()() () :( ) :( ) :( ) 2 2 δ δδ δ δ δ δ ∇ +∇ ∇−∇ ∇= + = + u uu u Tu T T Γ Ω (5.6) 由于， T:δΩ=0 (对称张量与反对称张量的双点乘为零)，所以， : V δ δ K dv = Γ ∫∫∫T ， : A ij ij δ = T δ σ δε Γ = 单位体积内外力做的功。 引入另一个热力学函数， F = − U S θ ，称为自由能，表示内能中能够自由对外做功的 部分。将其代入(5.2)式，得 0 : 0 FS A F S δ δθ δ δ δθ δ + − ≥ + − ≥ T Γ (5.7) 把自由能看成是温度和应变的函数， F F = (, ) θ Γ ，将自由能按 Taylor 级数展开 2 ij ij F F δ F F δθ δε δ θ ε ∂ ∂ =+ + ∂ ∂ ，代入(5.6)式，可导出 2 ( )( ) 0 ij ij ij F F S F δθ σ δε δ θ ε ∂ ∂ + + − +≥ ∂ ∂ (5.8) 由 , ij δθ δε 的任意性，得 0, ij ij F F S σ θ ε ∂ ∂ + = = ∂ ∂ (5.9) 22 2 2 2 2 11 1 () ( ) ( ) 0 22 2 ij ij ks ij ij ks FF F δ δθ δθδε δε δε F θ θε ε ε ∂∂ ∂ = ++ ≥ ∂ ∂∂ ∂ ∂ (5.10) 两类特殊的过程，绝热：δQS U == = θδ δ δ 0, : T Γ ，等温：S F δθδ δ = 0, : = T Γ ，均为 可逆过程。这时内能和自由能的变化完全由外力做功引起，就称为应变能，单位体积的应变 能称为应变能密度，记为W 。 5.2 广义胡克定律 (5.9)式说明W 在稳定平衡态取极小值， 2 , 0 ij ij ks ij ij ks W W σ δε δε ε εε ∂ ∂ = ≥ ∂ ∂∂ (5.11) 将W 做 Taylor 展开，根据小变形假设，略去二次以上项，得

y=Dy+Ck (5.12) 其中D,C为常数。 由无初应力假设，6，=0时O,=0，由此推出D,=0。这样就有O,=C5w,C础表示 两个张量之间的联系，也是张量，称为弹性常数张量。 >C的性质 对称性：由于O,=C5,On=CEu,所以CN=Cw O,=CSu=CS4=C6H,因此C=C张 0W-”=C,(当偏导数都连续时，求偏导数与次序无关) OEOEH O8HOE 这样独立的弹性常数数目由81减为21个。 >C础在坐标变换下的变化规律 设在坐标系{e中，有o,=C5’在坐标系{e}中，Oim=CyFg,两坐标系间的变 换矩阵为G(g),O)=8n8,0,E=8t8问。代入0=C%5中，得 gngyon=Cuk8pkgg (5.13) 两边乘以gm,8’考虑到gm8n=dm,8m8,=d,有 8yOm-8mCuks88p (5.14) Om=Cuksmpp 所以Cp=C8w8m8A8p,说明C是四阶张量。 5.3材料对称性对弹性常数的限制 由于应力、应变分量及弹性常数具有对称性，可以将应力-应变关系写成矩阵形式 611 C Cu2 C33 C23 Cm3 Cu2 6 022 C22 C2 C2233 C2223 C213 C22 822 033 C33 C233 C333 C333 C33 C32 83 (5.15) 63 C123 C2223 C3323 C2323 C233 C3312 2823 Ci1 C223 C3313 C2313 C33 C32 2819 012 C222 C392 C2312 C32 C22 282 (1)有一个对称面，设x1,x,平面是对称面 3

3 σ ij ij ijkl kl = D C+ ε (5.12) 其中 , D Cij ijkl 为常数。 由无初应力假设， 0 ij ε = 时 0 σ ij = ，由此推出 0 Dij = 。这样就有σ ij ijkl kl = C ε ，Cijkl 表示 两个张量之间的联系，也是张量，称为弹性常数张量。 ¾ Cijkl 的性质 对称性：由于 , σ ij ijkl kl ji jikl kl = = C C εσ ε ，所以C C ijkl jikl = 。 σ ij ijkl kl ijlk lk ijlk kl === CCC εεε ，因此C C ijkl ijlk = 2 2 ijkl klij ij kl kl ij W W C C εε εε ∂ ∂ === ∂∂ ∂∂ (当偏导数都连续时，求偏导数与次序无关) 这样独立的弹性常数数目由 81 减为 21 个。 ¾ Cijkl 在坐标变换下的变化规律 设在坐标系{e} 中，有σ ij ijks ks = C ε ，在坐标系{e′} 中，σ mn mnpq pq ′ = C′ ′ ε ，两坐标系间的变 换矩阵为 ( )ij G g ， , ij ri tj rt ks pk qs pq σ = = gg g g σε ε ′ ′ 。代入σ ij ijks ks = C ε 中，得 ri tj rt ijks pk qs pq gg C g g σ′ = ε′ (5.13) 两边乘以 , mi nj g g ，考虑到 , mi ri mr nj tj nt g g gg = = δ δ ，有 tj mt mi ijks pk qs pq mn ijks nj mi pk qs pq g gC g g C gg g g σ ε σ ε ′ = ′ ′ = ′ (5.14) 所以C C gg g g mnpq ijks nj mi pk qs ′ = ,说明Cijks 是四阶张量。 5.3 材料对称性对弹性常数的限制 由于应力、应变分量及弹性常数具有对称性，可以将应力-应变关系写成矩阵形式 11 1111 1122 1133 1123 1113 1112 22 1122 2222 2233 2223 2213 2212 33 1133 2233 3333 3323 3313 3312 23 1123 2223 3323 2323 2313 2312 13 1113 2213 3313 2313 1313 1312 12 1112 2212 CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCC σ σ σ σ σ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 11 22 33 23 13 3312 2312 1312 1212 12 2 2 CCC 2 ε ε ε ε ε ε ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (5.15) (1)有一个对称面，设 1 2 x , x 平面是对称面

10 0 做关于x,x2平面的反射变换，即变换矩阵C= 010 则Ed=Ep(a,B=l,2), 00-1 3=63,名=-63,3=-623，所以应变能密度应当是这样的形式 W=W(G1,2,6,品，品，，63623），不包含6161,662,6E2,6163， 66,6235n,6,52,6s63,由Cw= 8-W 一可知： 0808H C1123=C1131=C231=C323=C3331=C322=C312=0 (5.16) 应力-应变关系呈以下形式 C11 C122 C1330 0 Cu2 81 02 C122 Cu C23 0 0 Czn2 62 033 C33 C23 C333 0 0 C3312 633 (5.17) 05 0 0 0 C232 C2313 0 28b 013 0 0 C233 C33 0 2813 012 C2 C21 C3312 0 0 Cr2 2612 有13个独立的弹性常数。 (2)有两个对称面，正交各向异性体 可以证明如果互相垂直的三个平面中有两个对称面，则第三个必定也是对称面。正交各向异 性材料的应力-应变关系呈以下形式 Cu C112 C13 0 0 0 61 02 z C222 C23 0 0 0 8n 039 C1 C2233 C333 0 0 0 6 0 0 2623 (5.18) 62 0 0 C2323 0 0 0 0 0 C313 0 283 02 0 0 0 0 0 2812 有13个独立的弹性常数。 (3)有一根对称轴，横观各向同性体 设x是对称轴，则x,x平面是对称面，x2,x平面也是对称面，所以属于正交各向异性体。 0 先做变换绕x,轴顺时针旋转90°，变换矩阵 由Cg 001 得C11=C222,C13=C222,C2323=C313(x,x2地位完全相同)

4 做关于 1 2 x , x 平面的反射变换，即变换矩阵 10 0 01 0 00 1 C ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ，则 ( , 1,2) αβ αβ ε′ = ε αβ = ， 33 33 13 13 23 23 ε′′ ′ = =− =− εε εε ε , , ，所以应变能密度应当是这样的形式 22 2222 11 22 33 12 13 23 13 23 W W= (, , , , , , ) ε ε ε ε ε ε εε ，不包含 13 11 13 12 13 22 13 33 ε ε εε εε εε , , , ， 23 11 23 12 23 22 23 33 ε ε εε εε εε , , , ，由 2 ijkl ij kl W C ε ε ∂ = ∂ ∂ 可知： 1123 1131 2231 3323 3331 3212 3112 CCCCCCC ======= 0 (5.16) 应力-应变关系呈以下形式 11 1111 1122 1133 1112 11 22 1122 2222 2233 2212 22 33 1133 2233 3333 3312 33 23 2323 2313 23 13 2313 1313 13 12 1112 2212 3312 1212 12 0 0 0 0 0 0 000 0 2 000 0 2 0 0 2 CCC C CCC C CCC C C C C C CCC C σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε ⎛⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ (5.17) 有 13 个独立的弹性常数。 (2)有两个对称面，正交各向异性体 可以证明如果互相垂直的三个平面中有两个对称面，则第三个必定也是对称面。正交各向异 性材料的应力-应变关系呈以下形式 11 1111 1122 1133 11 22 1122 2222 2233 22 33 1133 2233 3333 33 23 2323 23 13 1313 13 12 1212 12 000 000 000 000 00 2 0000 0 2 00000 2 CCC CCC CCC C C C σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (5.18) 有 13 个独立的弹性常数。 (3)有一根对称轴，横观各向同性体 设 3 x 是对称轴，则 1 3 x , x 平面是对称面， 2 3 x , x 平面也是对称面，所以属于正交各向异性体。 先做变换绕 3 x 轴顺时针旋转90° ，变换矩阵 0 10 100 0 01 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G ，由C C gg g g mnpq ijks nj mi pk qs ′ = 得 1111 2222 1133 2222 2323 1313 C CC CC C === , , ( 1 2 x , x 地位完全相同)

0 2 2 V5 再做变换绕x,轴顺时针旋转45°，变换矩阵G= √ 由此可推出 2 0 2C122=Cm-C112’ 这样独立的弹性常数的个数降为5个。 011 Ci Cu22 C13 0 0 0 611 02 C122 Cu C1133 0 0 0 82 03 Cn33 C133 C33 0 0 0 6 0 (5.19) 023 0 0 0 C3 0 2823 013 0 0 0 0 C33 0 2613 012 0 0 0 0 282 (4)立方晶系： 具有三个互相垂直的4次对称轴（即沿此轴旋转90°，材料的性质保持不变），以此三个对称 轴为坐标轴建立坐标系x,x2,x。先绕x轴逆时针旋转90°，这样变换矩阵为： (010 G= -100 由Cg=C8888s及材料的对称性，则有 001 C22=C11=C22,C2323=C33=C2323,C12=-C222=C12,C312=-C312=C312=0, C2313=-C1323=-C233=0,C123=-C2I3=-C123=0,C23=-C13=-C223=0, C323=-C313=-C323=0,C232=-C132=-C132=0. 弹性常数矩阵为： Cu C112 C1330 0 C12 C122 Cu C33 0 0 -C2 C C13 C333 0 0 0 (5.20) 0 0 0 C22 0 0 0 0 0 0 C23230 -C20 0 0 1212 再绕x1轴或x2轴旋转90°，则可得到：Cm=C333,C122=C2323,C122=C13, C12=-C=0。于是立方晶系独立的弹性常数减少到3个，其弹性常数矩阵形式为： 5

5 再做变换绕 3 x 轴顺时针旋转 45° ，变换矩阵 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 01 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G ，由此可推出 1212 1111 1122 2C CC = − ，这样独立的弹性常数的个数降为 5 个。 1111 1122 11 1111 1122 1133 11 22 1122 1111 1133 22 33 1133 1133 3333 33 23 1313 23 13 1313 13 12 2 12 000 000 000 000 00 2 0000 0 2 00000 2 C C CCC CCC CCC C C σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε − ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.19) (4) 立方晶系： 具有三个互相垂直的 4 次对称轴(即沿此轴旋转90D ，材料的性质保持不变)，以此三个对称 轴为坐标轴建立坐标系 123 x , , x x 。先绕 3 x 轴逆时针旋转 90D ，这样变换矩阵为： 0 10 100 0 01 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G ， 由 C C gg g g mnpq ijks nj mi pk qs ′ = 及材料的对称性，则有 2222 1111 2222 2323 1313 2323 1112 2212 1112 3312 3312 3312 2313 1323 2313 1123 2213 1123 2223 1113 2223 3323 3313 3323 2312 1312 1312 , , , 0, 0, 0, 0, 0, 0 C C CC C CC C CC C C CCC CCC CCC CCC CCC ′′′ ′ = = = = =− = =− = = ′′′ =− =− = =− =− = =− =− = ′ ′ =− =− = =− =− = . 弹性常数矩阵为： 1111 1122 1133 1112 1122 1111 1133 1112 1133 1133 3333 2323 2323 1112 1112 1212 0 0 0 0 000 00 0 00 00 00 0 000 CC C C CC C C CC C C C CC C ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ − (5.20) 再 绕 1 x 轴 或 2 x 轴旋转 90D ，则可得到： 1111 3333 1212 2323 1122 1133 C CC CC C = , , = = ， 1112 1113 C C =− = 0 。于是立方晶系独立的弹性常数减少到 3 个，其弹性常数矩阵形式为：

Cu C112 C112 0 0 0 Cu C22 0 0 0 Cu2 Cu2 Cu 0 0 0 0 (5.21) 0 0 C323 0 0 0 0 0 0 C23 0 0 0 0 0 C 由此看到，晶体中对称程度最高的立方晶系并不是各向同性的。 (⑤)各向同性体 任何平面都是对称面，任何直线都是对称轴，x,x2,x3地位完全相同，则 C=C=C CI=CC=CRR=Cu-C 2 令C22=元，C223=μ，则C1=元+2μ。应力-应变关系为： 2+24元 元 00 0)/ W 02 元 元+24元 00 0 622 033 几 元+240 0 0 833 (5.22) 03 0 0 0 I 0 0 2823 63 0 0 0 0 0 2813 012 0 0 0 0 0 L 262 入，4称为拉梅常数。 各向同性体的应力-应变关系（本构关系） 元+2μ元 00 0） Eu 62 1+2μ元 00 0 822 033 λ 元+24 0 0 0 833 0 (5.23) 69 0 0 0 从 0 263 63 0 0 0 0 V 0 283 02） 0 0 0 0 0 282 其中2,4称为拉梅常数。 整体形式：T=J(T)+2Γ，J(T)=a=61+62+63表示应变张量Γ的迹（体积应变）。 下标形式：0m=E6+2E(i,j,k=1,2,3)。 由于具有对称性，C可以写成两个下标的形式C,前两个指标缩并成α，后两个指标缩 并成B,,B按如下方法确定

6 1111 1122 1122 1122 1111 1122 1122 1122 1111 2323 2323 2323 000 000 000 000 00 0000 0 00000 CCC CCC CCC C C C ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (5.21) 由此看到，晶体中对称程度最高的立方晶系并不是各向同性的。 (5)各向同性体 任何平面都是对称面，任何直线都是对称轴， 123 x , , x x 地位完全相同，则 1111 1122 1111 2222 3333 1122 1133 2323 1212 , , 2 C C C C CC CC C − == = == 。 令 1122 2323 C C = = λ, μ ，则 1111 C = + λ 2μ 。应力-应变关系为： 11 11 22 22 33 33 23 23 13 13 12 12 2 000 2 000 2 000 0 0 0 00 2 0 0 0 00 2 0 0 0 00 2 σ ε λ μλ λ σ ε λ λ μλ σ ε λ λ λμ σ μ ε σ μ ε σ μ ε ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + = ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.22) λ, μ 称为拉梅常数。 ¾ 各向同性体的应力-应变关系(本构关系) 11 11 22 22 33 33 23 23 13 13 12 12 2 000 2 000 2 000 0 0 0 00 2 0 0 0 00 2 0 0 0 00 2 σ ε λ μλ λ σ ε λ λ μλ σ ε λ λ λμ σ μ ε σ μ ε σ μ ε ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + = ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.23) 其中λ, μ 称为拉梅常数。 整体形式：T = + λJ () 2 Γ μΓ ， 11 22 33 ( ) ii J Γ = ε =++ εεε 表示应变张量Γ 的迹(体积应变)。 下标形式： 2 ( , , 1,2,3) ij kk ij ij σ =+ = λε δ με i jk 。 由于具有对称性，Cijkl 可以写成两个下标的形式Cαβ，前两个指标缩并成α ，后两个指标缩 并成 β ，α,β 按如下方法确定

a=9-i-j,B=9-k-1ifi≠j,k≠1 (5.24) a=i=j,B=k=1 ifi=i,k=1 例如，横观各向同性体的本构关系可以写成 611 C C12 C0 0 0 Eu 62 C Cu C13 0 0 0 62 03 C1a C33 0 0 0 83 0 (5.25) 63 0 0 C 0 0 283 3 0 0 0 0 C44 0 2813 2 0 0 0 0 0 2812 固体材料可分为晶态和非晶态两大类（严格来说，还有准晶态），称为晶体和非晶体，大 多数元素单质和无机化合物都是晶体。晶体由于其内部原子、分子周期性排列，宏观上显示 出对称性，按对称性晶体可分为7种晶系，分别是：三斜、单斜、正交、四方、三方、六方、 立方。单斜晶系有一个对称面，正交晶系对应于正交各向异性体，六方晶系对应于横观各向 同性体。对称程度最高的立方晶系有三个独立的弹性常数，并不是各向同性体。常见的金属 都属于晶体，但都表现为各向同性，这是因为金属通常为多晶形态，由无数个晶粒组成，每 个晶粒都是各向异性的，但每个晶粒取向随机分布，所以在宏观上呈现各向同性，这方面更 详细的知识请参阅晶体物理和材料学的有关书籍。 5.3应变能密度 (o) 前面我们导出了应变能密度的增量δW=T:江，所以W(o,6)=∫T:d厂。 (0,0) 应变能是状态量，只与最终的应力、应变有关，与积分路径无关，那么就可以选择一条特殊 的路径来讨论，在线弹性的条件下，选用成比例的变形路径，即令 T=T,T=(0≤t≤1)，则 (T'r) wo=了Tr=T=rrjh=rr (0,0) (0,0) (5.26) 所以，应变能密度 1 W(o,6g)=5T:T=705, 2 2 (5.27) 1 =2（C1161+02622+033633+2012812+2013613+202623) 2 各向同性材料的应变能密度 p=6+2e,=+低9， 1 (5.28) F2251+52+6尸+(6所+6品+品+2品+2+2) 1

7 9 , 9 if , , if , i j k l i jk l i j k l i jk l α β α β = −− = − − ≠ ≠ == = = = = (5.24) 例如，横观各向同性体的本构关系可以写成 11 11 11 12 13 22 22 12 11 13 33 33 13 13 33 23 23 44 13 13 44 12 12 66 000 000 000 000 00 2 0000 0 2 00000 2 CCC CCC CCC C C C σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.25) 固体材料可分为晶态和非晶态两大类(严格来说，还有准晶态)，称为晶体和非晶体，大 多数元素单质和无机化合物都是晶体。晶体由于其内部原子、分子周期性排列，宏观上显示 出对称性，按对称性晶体可分为 7 种晶系，分别是：三斜、单斜、正交、四方、三方、六方、 立方。单斜晶系有一个对称面，正交晶系对应于正交各向异性体，六方晶系对应于横观各向 同性体。对称程度最高的立方晶系有三个独立的弹性常数，并不是各向同性体。常见的金属 都属于晶体，但都表现为各向同性，这是因为金属通常为多晶形态，由无数个晶粒组成，每 个晶粒都是各向异性的，但每个晶粒取向随机分布，所以在宏观上呈现各向同性，这方面更 详细的知识请参阅晶体物理和材料学的有关书籍。 5.3 应变能密度 前面我们导出了应变能密度的增量δW = T:δΓ ，所以 * * ( ,) * * (0,0) (,) : ij ij W d ij ij σ ε σ ε = ∫ T Γ 。 应变能是状态量，只与最终的应力、应变有关，与积分路径无关，那么就可以选择一条特殊 的路径来讨论，在线弹性的条件下，选用成比例的变形路径，即令 * * T T = = ≤≤ t tt , (0 1) Γ Γ ，则 * * * * ( ,) (,) 1 * * (0,0) (0,0) 0 1 (,) : : : : 2 ij ij W d d tdt ij ij σ ε σ ε ∗ ∗ = = == ∫∫ ∫ T * * T TT T Γ Γ ΓΓ Γ (5.26) 所以，应变能密度 11 11 22 22 33 33 12 12 13 13 23 23 1 1 (,) : 2 2 1 ( 2 2 2 ) 2 W σ ε σε ij ij ij ij σ ε σε σε σε σε σε = = +++ + + T Γ = (5.27) 各向同性材料的应变能密度 2 22 2 2 2 2 11 22 33 11 22 33 12 13 23 1 1 ( 2) 2 2 1 ( ) ( 2 2 2 ) 2 W λε δ με ε λε ε με ε kk ij ij ij kk ii ij ij λ ε ε ε με ε ε ε ε ε = +=+ = ++ + +++ + + (5.28)

>体积弹性模量 0m=元E4δ+2uEm(i,j,k=1,2,3) (5.29) 上式两边乘以6，得 0i=(o11+O22+033）=九GMδm+2Ei=(31+24)）Em (5.30) =(31+24)(61+822+e3) 平均应力0，-91+0+0,0-3识+261+5+）=3说+2业5。 3 3 3 K=3元+2称为体积弹性模量。 3 5.4弹性常数之间的关系和实验确定 0)=九E从δ+2lE可 (5.31) 前面我们得到了体积应变和平均应力的关系：0：=(3+20)：，代入(5.27)式 0,=(B元+2 、0:0+24lE (5.32) 0,2431+200a4, (5.33) 61-2 1 01-232+20） (o11+02+033) (5.34) =+00232+2 4(32+20) 、(022+033) 材料力学中学过 1 -(Oz+0x) (5.35) 比较(5.30)与(5.31)式，得 E=(3A+2四，v=月，E为杨氏模量，y为泊松比。 2+4 2(2+川）

8 ¾ 体积弹性模量 2 ( , , 1,2,3) ij kk ij ij σ = λε δ με + = i jk (5.29) 上式两边乘以 ij δ ，得 11 22 33 11 22 33 ( ) 2 =(3 +2 ) (3 +2 )( ) σ ii kk ii ii ii σ σ σ λε δ με λ μ ε λ με ε ε = ++ = + = ++ (5.30) 平均应力 11 22 33 0 3 σ σ σ σ + + = ， 0 11 22 33 32 32 ( ) 3 3 V λ μ λμ σ εεε ε + + = ++ = 。 3 2 3 k λ + μ = 称为体积弹性模量。 5.4 弹性常数之间的关系和实验确定 2 σ ij kk ij ij = λε δ με + (5.31) 前面我们得到了体积应变和平均应力的关系： (3 +2 ) σ ii ii = λ με ，代入(5.27)式 2 (3 2 ) ij kk ij ij λ σ σ δ με λ μ = + + (5.32) 1 2 2 (3 2 ) ij ij kk ij λ ε σ σδ μ μλ μ = − + (5.33) 11 11 11 22 33 11 22 33 1 ( ) 2 2 (3 2 ) ( ) (3 2 ) 2 (3 2 ) λ ε σ σσσ μ μλ μ λμ λ σ σ σ μλ μ μλ μ = − ++ + + =− + + + (5.34) 材料力学中学过 11 11 22 33 1 ( ) E E ν ε =− + σ σσ (5.35) 比较(5.30)与(5.31)式，得 (3 2 ) , 2( ) E μ λμ λ ν λ μ λμ + = = + + ， E 为杨氏模量，ν 为泊松比

(02+03) E01-E 1 -EOa-E 822 (0n+03） 69=E08-Eo1+0a） (5.36) 1+v 623E 023 1+ 813= E -013 1+v Gu=E 体形式：T=三[+T-(T刃J(T)表示应力张量T的迹（第一不变量 下标形式：6，=E【+v)o,-ou8,】 拉梅常数与杨氏模量、泊松比的关系： E Ev u- ，= 、,E=31+20 ,V=- 21+y) (1+y)1-2y 元+4 2(2+4） >实验确定 (1)单向拉伸 01=0,其它应力分量为零，代入本构关系，得 1 f=0,8a=-F01,- E0, (5.37 测量O11,G1,E22,63,就可确定E,V。 (2)纯剪切 2=t,其它应力分量为零 1 1 一t2,12=二t(Y2为工程剪应变)，测出剪应变和剪力就可求出4，有时也记为G, 2 称为剪切弹性模量。 (3)均匀受压 01=02=033=0,其它应力分量为零，则00=0=kL1=k(E1+622+63)=kEv,测出 E 体积应变，可求出体积弹性模量k=(3入+2川)/3= 31-2y) >弹性常数的取值范围 由5.1节的讨论，有82F≥0，说明自由能在稳定平衡态取极小值，应变能密度一定为 9

9 11 11 22 33 22 22 11 33 33 33 11 22 23 23 13 13 12 12 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 E E E E E E E E E ν ε σ σσ ν ε σ σσ ν ε σ σσ ν ε σ ν ε σ ν ε σ =− + =− + =− + + = + = + = (5.36) 整体形式： 1 [(1 ) ( )] J E Γ = +− ν ν T T , J ( ) T 表示应力张量Τ 的迹(第一不变量)。 下标形式： 1 [(1 ) ] ij ij kk ij E ε =+− ν σ νσ δ 。 拉梅常数与杨氏模量、泊松比的关系： , 2(1 ) (1 )(1 2 ) E Eν μ λ ν ν ν = = + +− ， (3 2 ) , 2( ) E μ λμ λ ν λ μ λμ + = = + + 。 ¾ 实验确定 (1) 单向拉伸 σ11 =σ ，其它应力分量为零，代入本构关系，得 11 11 22 11 33 11 1 , , EEE ν ν ε = =− =− σε σε σ (5.37) 测量 11 11 22 33 σ , , , εεε ，就可确定 E, ν 。 (2) 纯剪切 12 τ =τ ，其它应力分量为零 12 12 12 1 1 , 2 ε τγ τ μ μ = = ( 12 γ 为工程剪应变)，测出剪应变和剪力就可求出 μ ，有时也记为G ， 称为剪切弹性模量。 (3) 均匀受压 σ11 22 33 === σσσ ，其它应力分量为零，则 0 1 11 22 33 ( ) V σ =σ εεε ε == ++ = kI k k ，测出 体积应变，可求出体积弹性模量 (3 2 ) / 3 3(1 2 ) E k λ μ ν =+ = − 。 ¾ 弹性常数的取值范围 由 5.1 节的讨论，有 2 δ F ≥ 0 ，说明自由能在稳定平衡态取极小值，应变能密度一定为

正。 61 -V -y0 0 0 011 622 -y1 -V 0 0 0 62 63 1 -V -y1 0 0 0 39 (5.38) E2 E 0 0 0 1+y0 0 023 63 0 0 0 0 1+y 0 013 62 0 0 0 0 0 1+v 012 如果记 =(C1102033023013012) e=(6i1E2e33Y23Y13Y2) (5.39) ( -v-y0 0 0 -y1-y0 0 0 E=1-v 0 -y1 0 0 0 00 1+y0 0 0 00 0 1+v0 0 0 0 0 0 1+y 上式中Y23,Y1,2为工程剪应变。 11 0,5n=)c8=)Eo,应变能密度的正定性， 2 1 矩阵，由正定矩阵的判定准则，可推得E>0,-10,3+24>0。 虽然理论上泊松比可以从-1到1/2，但一直没有发现泊松比为负的材料，直到1987 年Science杂志报道人工制备出具有负泊松比的材料。 >Lakes,R.,Foam structures with a negative Poisson's ratio,Science 235,1038-1040,1987. >Lakes,R.,Experimental micromechanics methods for conventional and negative Poisson's ratio cellular solids as Cosserat continua,J.Engineering Materials and Technology,Vol.113, 148-155,1991. 5.5弹性的物理基础 自由能F(G,0)=U-S8,o,-6,aG,06, OF aUas -0 对等温过程，两边对温度日求导，则有 =_as ，再代入上式，得 60 8 6g-06, 00 (5.40) a0 o

10 正。 11 11 22 22 33 33 23 23 13 13 12 12 1 000 1 000 1 10 0 0 0001 0 0 0000 1 0 0000 0 1 E ε σ ν ν ε σ ν ν ε σ ν ν ε σ ν ε σ ν ε σ ν ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − = + + ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + (5.38) 如果记 11 22 33 23 13 12 11 22 33 23 13 12 ( ) ( ) 1 000 1 000 1 10 0 0 0001 0 0 0000 1 0 0000 0 1 E σ σσσσσ εεεγ γγ ν ν ν ν ν ν ν ν ν = = ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ − − − − = + + ⎝ ⎠ + E σ ε (5.39) 上式中 23 13 12 γ , , γ γ 为工程剪应变。 则应变能密度 1 11 2 22 W σ εij ji Τ Τ = == σε σΕσ ，应变能密度的正定性，说明E 一定是正定 矩阵，由正定矩阵的判定准则，可推得 1 0, 1 2 E > − +> 0, 3 2 0 λ μ 。 虽然理论上泊松比可以从 −1到1/2 ，但一直没有发现泊松比为负的材料，直到 1987 年 Science 杂志报道人工制备出具有负泊松比的材料。 ¾ Lakes, R., Foam structures with a negative Poisson’s ratio, Science 235, 1038-1040, 1987. ¾ Lakes, R., Experimental micromechanics methods for conventional and negative Poisson’s ratio cellular solids as Cosserat continua, J. Engineering Materials and Technology, Vol.113, 148-155, 1991. 5.5 弹性的物理基础 自由能 ( ,) F US ij ε θ θ = − ， ij ij ij ij FU S σ θ ε ε ε ∂ ∂ ∂ ==− ∂ ∂ ∂ 。 对等温过程，两边对温度θ 求导，则有 ij ij σ S θ ε ∂ ∂ = − ∂ ∂ ，再代入上式，得 ij ij ij U σ σ θ ε θ ∂ ∂ = + ∂ ∂ (5.40)