弹性理论（一）讲义 第一章绪论 1.1弹性理论概述 弹性理论又称弹性力学，是研究载荷作用下弹性体中内受力状况和变形规律的一门科 学。一系列重要的和新兴的力学分支如塑性理论、粘弹性与粘塑性理论、细观力学、复合材 料力学、断裂力学等都是在弹性理论的基础上陆续发展起来的。其特点是结构严谨、逻辑缜 密，经过数百年的发展，现在己成为工程结构分析的基础和工具。历史上，弹性力学曾对其 它学科（地震的研究、地球物理学、光学等）的发展做出过重要的贡献，特别是以太假说和弹 性波的研究对光学和相对论的提出起了很大的推动作用。从弹性力学发展出的计算方法（例 如：有限元法、边界元法等)还广泛应用于其它学科，并成为通用的计算数学方法。 弹性理论以理论力学、材料力学和高等数学等课程为基础，系统地讲述弹性理论的基本 概念、基本原理和处理二维、三维弹性体一般问题的基本方法，为进一步学习塑性理论、连 续介质力学、有限单元法、实验应力分析、板壳理论、复合材料力学、断裂力学等后续课程 打下良好基础。在固体力学专业的课程中，弹性理论是一门承上启下的重要专业基础课，同 时也塑造严谨学风、培养分析问题、解决问题能力的良好素材。 1.2研究对象和任务 弹性理论（力学）是研究弹性体在外界因素（如机械接触力、引力、电磁力、温湿度变 化等)作用下或内力（如引力）作用下其内部变形和应力分布的学科。 弹性：外力撤除后物体恢复原状的性质：弹性体：具有弹性性质的理想固体。 A material is called solid rather than fluid if it can support a substantial shearing force over the time scale of some natural process or technological application of interest.(J.R.Rice 的定义，摘自英国百科全书Encyclopaedia Britannica2OO5 Deluxe Edition) 任务：是建立分析一般三维弹性体变形和应力分布的方法，通过位移、应力、应变等物 理量来描述物体的变形、受力状况，了解物体内部应力、应变的分布规律，最终达到评估结 构安全的目的。 适用尺度：从纳米级一地球、乃至太阳系。 弹性力学的重要性不仅在于为数值计算提供理论基础，更重要的是能提供应力和位移场的理 论解，使我们能够把握问题的整体特性。 回顾以前学过的一些课程：理论力学的研究对象是质点、刚体。材料力学的主要研究对 象是梁、杆，一个方向的尺寸远大于另外两个方向尺寸的物体。弹性力学的研究对象是一般 的任意形状的弹性体。 材料力学一般从整体平衡出发并通过对变形和应力分布做一些假设以简化问题的求解， 这些假设往往是从经验和实际观察做出的，从材料力学本身并不能判定这些假设的正确与否 或近似程度，材料力学缺乏一个统一的适用于任何形状结构的理论体系。弹性力学从连续性 假设、牛顿定律和广义胡克定律出发建立了一个统一的理论体系，适用于任何形状的结构， 可解决任何形状、边界条件的问题（大多数情况下，得不到解析解，但可数值求解）。 为了便于推导和工程应用，材料力学往往对位移和应力做一些近似假设，这样导致得出 的是近似结果。弹性力学不用引入过多的假设，得到是精确解，可以用来校核材料力学的近 似结果，指明材料力学理论得出结果的适用范围。 13弹性理论的理论基础
弹性理论(一)讲义 第一章 绪论 1.1 弹性理论概述 弹性理论又称弹性力学，是研究载荷作用下弹性体中内受力状况和变形规律的一门科 学。一系列重要的和新兴的力学分支如塑性理论、粘弹性与粘塑性理论、细观力学、复合材 料力学、断裂力学等都是在弹性理论的基础上陆续发展起来的。其特点是结构严谨、逻辑缜 密，经过数百年的发展，现在已成为工程结构分析的基础和工具。历史上，弹性力学曾对其 它学科(地震的研究、地球物理学、光学等)的发展做出过重要的贡献，特别是以太假说和弹 性波的研究对光学和相对论的提出起了很大的推动作用。从弹性力学发展出的计算方法(例 如：有限元法、边界元法等)还广泛应用于其它学科，并成为通用的计算数学方法。 弹性理论以理论力学、材料力学和高等数学等课程为基础，系统地讲述弹性理论的基本 概念、基本原理和处理二维、三维弹性体一般问题的基本方法，为进一步学习塑性理论、连 续介质力学、有限单元法、实验应力分析、板壳理论、复合材料力学、断裂力学等后续课程 打下良好基础。在固体力学专业的课程中，弹性理论是一门承上启下的重要专业基础课，同 时也塑造严谨学风、培养分析问题、解决问题能力的良好素材。 1.2 研究对象和任务 弹性理论（力学）是研究弹性体在外界因素(如机械接触力、引力、电磁力、温湿度变 化等)作用下或内力(如引力)作用下其内部变形和应力分布的学科。 弹性：外力撤除后物体恢复原状的性质；弹性体：具有弹性性质的理想固体。 固体：A material is called solid rather than fluid if it can support a substantial shearing force over the time scale of some natural process or technological application of interest. (J. R. Rice 的定义，摘自英国百科全书 Encyclopaedia Britannica 2005 Deluxe Edition) 任务：是建立分析一般三维弹性体变形和应力分布的方法，通过位移、应力、应变等物 理量来描述物体的变形、受力状况，了解物体内部应力、应变的分布规律，最终达到评估结 构安全的目的。 适用尺度：从纳米级—地球、乃至太阳系。 弹性力学的重要性不仅在于为数值计算提供理论基础，更重要的是能提供应力和位移场的理 论解，使我们能够把握问题的整体特性。 回顾以前学过的一些课程：理论力学的研究对象是质点、刚体。材料力学的主要研究对 象是梁、杆，一个方向的尺寸远大于另外两个方向尺寸的物体。弹性力学的研究对象是一般 的任意形状的弹性体。 材料力学一般从整体平衡出发并通过对变形和应力分布做一些假设以简化问题的求解， 这些假设往往是从经验和实际观察做出的，从材料力学本身并不能判定这些假设的正确与否 或近似程度，材料力学缺乏一个统一的适用于任何形状结构的理论体系。弹性力学从连续性 假设、牛顿定律和广义胡克定律出发建立了一个统一的理论体系，适用于任何形状的结构， 可解决任何形状、边界条件的问题(大多数情况下，得不到解析解，但可数值求解)。 为了便于推导和工程应用，材料力学往往对位移和应力做一些近似假设，这样导致得出 的是近似结果。弹性力学不用引入过多的假设，得到是精确解，可以用来校核材料力学的近 似结果，指明材料力学理论得出结果的适用范围。 1.3 弹性理论的理论基础 1
(1)力是改变物体运动状态的相互作用，与力有关的现象和运动都遵从牛顿三大定律。弹 性力学研究弹性体在外力或内力作用下的变形规律，自然也要以牛顿三大定律为基础。弹性 静力学以牛顿第一、第三定律为基础：弹性动力学以牛顿第二、第三定律为基础。 (2)连续性假设：连续性假设就是认为弹性体连续分布于三维空间中的某个区域内，弹性 体可抽象成一个形状和位置与之相同的、连续而密实的空间几何体，还认为弹性体内各点所 有的物理量（密度、位移、应力、应变等），除了在某些孤立的点、线、面上可能奇异或间 断外，都是定义在该几何体上各点的连续函数：连续性假设的另一层含义是弹性体在变形过 程中保持连续，变形前的点和变形后的点一一对应，即变形前的两个点不能变成一个点，变 形前的一个点也不能变成两个点。或者说，变形过程中不能出现撕裂和重叠。这种抽象的数 学模型称为连续介质，弹性力学是连续介质力学的一个分支。 弹性力学所说的点并不是纯粹几何意义上的点，简单地说，是从宏观上看很小，从微观 上看足够大的点。 图1-1 设弹性体V内一点P,V为包含P点的球的体积，Mn为包含P点的球的质量，D,为 V,的直径，P点的密度为P.(P)= ↑P, D. 图1-2 图1-2所示为P点的密度随直径D,的变化，当所取的球直径很小时，求出的密度波动，当 直径较大时密度也不确定，只有当直径D,在某个数值ε附近时，求出的密度值才恒定，这 个直径ε的微元正是弹性理论中点的含义。不同材料的ε值不同，取决于材料内部的微结构 的尺度。虽然从微观角度看，真实物体是由分子、原子组成的，但大量实验和理论分析结果 2
（1）力是改变物体运动状态的相互作用，与力有关的现象和运动都遵从牛顿三大定律。弹 性力学研究弹性体在外力或内力作用下的变形规律，自然也要以牛顿三大定律为基础。弹性 静力学以牛顿第一、第三定律为基础；弹性动力学以牛顿第二、第三定律为基础。 （2）连续性假设：连续性假设就是认为弹性体连续分布于三维空间中的某个区域内，弹性 体可抽象成一个形状和位置与之相同的、连续而密实的空间几何体，还认为弹性体内各点所 有的物理量（密度、位移、应力、应变等），除了在某些孤立的点、线、面上可能奇异或间 断外，都是定义在该几何体上各点的连续函数；连续性假设的另一层含义是弹性体在变形过 程中保持连续，变形前的点和变形后的点一一对应，即变形前的两个点不能变成一个点，变 形前的一个点也不能变成两个点。或者说，变形过程中不能出现撕裂和重叠。这种抽象的数 学模型称为连续介质，弹性力学是连续介质力学的一个分支。 弹性力学所说的点并不是纯粹几何意义上的点，简单地说，是从宏观上看很小，从微观 上看足够大的点。 V V P n 图 1-1 设弹性体V 内一点 ， 为包含 点的球的体积， P Vn P Mn 为包含 点的球的质量， 为 的直径， 点的密度为 P Dn Vn P ( ) n n n M P V ρ = 。 Dn ρn O ε 图 1-2 图 1-2 所示为 点的密度随直径 的变化，当所取的球直径很小时，求出的密度波动，当 直径较大时密度也不确定，只有当直径 在某个数值 P Dn Dn ε 附近时，求出的密度值才恒定，这 个直径ε 的微元正是弹性理论中点的含义。不同材料的ε 值不同，取决于材料内部的微结构 的尺度。虽然从微观角度看，真实物体是由分子、原子组成的，但大量实验和理论分析结果 2
表明连续性假设是宏观条件下真实物体状况的极好近似。 在本课程中，一般来说，不但假设所有物理量都连续，而且如无特别说明还假设各物理 量的各阶导数也连续。在这些假设下，可以用微积分、微分方程、积分方程、积分变换、变 分法等数学工具来研究弹性力学问题。 (3)广义Hooke定律：所谓广义Hooke定律就是认为弹性体受外载荷后其内部所产生的应 力和应变具有线性关系，大多数天然材料和人造材料，在一定条件下，都符合这个实验定律， 是弹性力学特有的规律，是弹性力学区别于其它连续力学分支（塑性力学、粘弹性力学等）的 标志。 综上所述，牛顿定律、连续性假设和广义胡克定律是弹性力学的理论基础。 在本课程中，为了简化问题的数学处理，还引入其它假设：小变形、无初应力、各向同性、 均匀性。 小变形：变形和物体尺寸相比可以很小，可不考虑由于变形所引起的物体尺寸和位置的变化： 在几何方程和应力-应变关系中，可以略去位移偏导数的二次幂或二次乘积项，使得到的基 本方程是线性偏微分方程组。 无初应力：物体在加载前和卸载后都处于无初始应力的自然状态，即不考虑由制造工艺引起 的残余应力和装配应力。 各向同性：物体在同一点处不同方向上的弹性性质相同。实际上，绝大多数的金属材料都是 各向同性的，但是木材、竹子、复合材料等必须考虑各向异性。 均匀性：物体在不同点处的弹性性质处处相同。 通常所说的弹性力学实际上是指线弹性、各向同性、均匀材料的弹性静力学。 参考书 1.徐芝纶，《弹性力学》（上、下册），高等教育出版社，1990。 2.陆明万、罗学富，《弹性理论基础》，清华大学出版社，1990。 3 ,Timoshenko&Goodier著，徐艺纶译，《弹性理论》，高等教育出版社，1990。 4.王敏中，《弹性力学教程》，北京大学出版社，2002。 5. 谢贻权等，《弹性力学》，浙江大学出版社，1988。 6. 吴家龙，《弹性力学》，高等教育出版社，2000。 7.冯元桢著，吴云鹏译，《连续介质力学导论》，重庆大学出版社，1997。 8.J.R.Barber,Elasticity,Kluwer Academic Publisher,Boston,1992. 9.薛明德主编，力学与工程技术的进步，高等教育出版社，2001。 附录：弹性理论的发展史和应用（摘自清华大学弹性力学讲义） 1弹性力学发展史 参考文献 S.P.Timoshenko,History of strength of material,Dover,1953 R.Dugas,A history of mechanics,Dover,1955
表明连续性假设是宏观条件下真实物体状况的极好近似。 在本课程中，一般来说，不但假设所有物理量都连续，而且如无特别说明还假设各物理 量的各阶导数也连续。在这些假设下，可以用微积分、微分方程、积分方程、积分变换、变 分法等数学工具来研究弹性力学问题。 （3）广义 Hooke 定律：所谓广义 Hooke 定律就是认为弹性体受外载荷后其内部所产生的应 力和应变具有线性关系，大多数天然材料和人造材料，在一定条件下，都符合这个实验定律， 是弹性力学特有的规律，是弹性力学区别于其它连续力学分支(塑性力学、粘弹性力学等)的 标志。 综上所述，牛顿定律、连续性假设和广义胡克定律是弹性力学的理论基础。 在本课程中，为了简化问题的数学处理，还引入其它假设：小变形、无初应力、各向同性、 均匀性。 小变形：变形和物体尺寸相比可以很小，可不考虑由于变形所引起的物体尺寸和位置的变化； 在几何方程和应力-应变关系中，可以略去位移偏导数的二次幂或二次乘积项，使得到的基 本方程是线性偏微分方程组。 无初应力：物体在加载前和卸载后都处于无初始应力的自然状态，即不考虑由制造工艺引起 的残余应力和装配应力。 各向同性：物体在同一点处不同方向上的弹性性质相同。实际上，绝大多数的金属材料都是 各向同性的，但是木材、竹子、复合材料等必须考虑各向异性。 均匀性：物体在不同点处的弹性性质处处相同。 通常所说的弹性力学实际上是指线弹性、各向同性、均匀材料的弹性静力学。 参考书 1. 徐芝纶，《弹性力学》（上、下册），高等教育出版社，1990。 2. 陆明万、罗学富，《弹性理论基础》，清华大学出版社，1990。 3. Timoshenko & Goodier 著, 徐芝纶译，《弹性理论》，高等教育出版社，1990。 4. 王敏中，《弹性力学教程》，北京大学出版社，2002。 5. 谢贻权等，《弹性力学》，浙江大学出版社，1988。 6. 吴家龙，《弹性力学》，高等教育出版社，2000。 7. 冯元桢著，吴云鹏译，《连续介质力学导论》，重庆大学出版社，1997。 8. J. R. Barber, Elasticity, Kluwer Academic Publisher, Boston, 1992. 9. 薛明德 主编，力学与工程技术的进步，高等教育出版社，2001。 附录：弹性理论的发展史和应用 (摘自清华大学弹性力学讲义) 1 弹性力学发展史 参考文献 S. P. Timoshenko, History of strength of material, Dover, 1953 R. Dugas, A history of mechanics, Dover, 1955 3
武际可，力学史，重庆大学出版社，1999 启蒙时代(1600一1700) 弹性力学根植于早期的数学和物理研究，自牛顿时代以来才逐渐从其中分离出来。最 初的动机是为了能够理解断裂行为并进行有效的控制。例如，Leonardo da Vinci曾在他的笔 记中记载了测试绳索拉伸强度的一种实验，这或许对悬挂他的画至关重要。由于绳索中缺陷 的统计分布，他认识到强度对长度可能的依赖关系。 经典力学有时亦被称为“伽利略一牛顿”力学。原因很清楚，伽利略提出了惯性原理， 牛顿将其扩展为牛顿三定律。伽利略的经典著作《两种新科学的对话》是力学发展中的一个 里程碑。除了家喻户晓的惯性原理外，其中详细讨论了固体的变形和强度。他研究了杆受单 向拉伸断裂时的载荷，得出断裂载荷与杆长无关的结论，这与达芬奇基于缺陷沿长度统计分 布的认识不同。在一个科学即是天文学的时代，伽利略在材料强度方面的探索是非同寻常的。 关于伽利略实验方法的历史记载可参见斯蒂芬·P·铁木辛柯(1878一1972)的著作《材料力 学史》。伽利略的基本实验装置见图0-1。伽利略梁横截面为矩形，长L,一端固支于墙中， 另一端悬挂一桶水或其他形式的重物。伽利略对这种悬臂梁结构进行了力学分析。这是历史 上首次把梁作为变形体来进行研究。分析结果正确地给出了梁的强度与几何尺寸的依赖关 系，例如长度和截面抗弯刚度。然而伽利略并未正确给出轴向应力沿高度方向的分布。他认 为轴向应力在下底面处为零，而并非后来所确证的中性面处。 W 图0-1伽利略对梁弯曲的理解 弹性关系的概念首先为英国科学家罗伯特·胡克提出。胡克定律发现于1660年，发表 时己经是1678年。在他的论文《论弹簧》中，原始形式的弹性关系写为拉丁文的字谜形式 “ceiiosssttuu'”,重新排列后为“ut tensio sic vis”,也就是现在所谓的胡克定律，中文意 思是“拉力与伸长成正比”。胡克定律建立了线弹性的概念，但尚未表达为应力和应变的形 式。 大师耕耘(1700一1880) 早期弹性力学的发展记录了大师们的足迹。伯努利兄弟引入了应力和应变的概念。1705
武际可, 力学史, 重庆大学出版社, 1999 启蒙时代(1600－1700) 弹性力学根植于早期的数学和物理研究，自牛顿时代以来才逐渐从其中分离出来。最 初的动机是为了能够理解断裂行为并进行有效的控制。例如，Leonardo da Vinci 曾在他的笔 记中记载了测试绳索拉伸强度的一种实验，这或许对悬挂他的画至关重要。由于绳索中缺陷 的统计分布，他认识到强度对长度可能的依赖关系。 经典力学有时亦被称为“伽利略－牛顿”力学。原因很清楚，伽利略提出了惯性原理， 牛顿将其扩展为牛顿三定律。伽利略的经典著作《两种新科学的对话》是力学发展中的一个 里程碑。除了家喻户晓的惯性原理外，其中详细讨论了固体的变形和强度。他研究了杆受单 向拉伸断裂时的载荷，得出断裂载荷与杆长无关的结论，这与达芬奇基于缺陷沿长度统计分 布的认识不同。在一个科学即是天文学的时代，伽利略在材料强度方面的探索是非同寻常的。 关于伽利略实验方法的历史记载可参见斯蒂芬·P·铁木辛柯(1878－1972)的著作《材料力 学史》。伽利略的基本实验装置见图 0-1。伽利略梁横截面为矩形，长L，一端固支于墙中， 另一端悬挂一桶水或其他形式的重物。伽利略对这种悬臂梁结构进行了力学分析。这是历史 上首次把梁作为变形体来进行研究。分析结果正确地给出了梁的强度与几何尺寸的依赖关 系，例如长度和截面抗弯刚度。然而伽利略并未正确给出轴向应力沿高度方向的分布。他认 为轴向应力在下底面处为零，而并非后来所确证的中性面处。 图 0-1 伽利略对梁弯曲的理解 弹性关系的概念首先为英国科学家罗伯特·胡克提出。胡克定律发现于 1660 年，发表 时已经是 1678 年。在他的论文《论弹簧》中，原始形式的弹性关系写为拉丁文的字谜形式 “ceiiiosssttuu”，重新排列后为“ut tensio sic vis”，也就是现在所谓的胡克定律，中文意 思是“拉力与伸长成正比”。胡克定律建立了线弹性的概念，但尚未表达为应力和应变的形 式。 大师耕耘(1700－1880) 早期弹性力学的发展记录了大师们的足迹。伯努利兄弟引入了应力和应变的概念。1705 4
年，雅克比·柏努利（瑞士数学与力学家）在他生平的最后一篇论文中指出，要正确描述材 料纤维在拉伸下的变形，就必须给出单位面积的作用力，即应力，与单位长度的伸长，即应 变，之间的函数关系。1727年，莱奥哈尔德·欧拉（瑞士数学与力学家，雅克比的弟弟约 翰那·柏努利的学生)给出应力、应变之间的线性关系，即σ=Eε。1807年，托马斯·杨 发展了一个类似的概念，因此现在通常称比例系数E为杨氏模量。 1774年，莱奥哈尔德·欧拉(1707一1783)分析了压杆失稳问题，可以证明杆的挠度遵 守下面的方程： Px (0-1) 其中C”为柏努利梁的刚度系数，P为压杆载荷，x,y分别表示沿杆长的坐标和杆的挠度。作 为表明弹性力学历史地位重要性的经典例子，压杆失稳的弹性力学分析触发了两个重要的数 学概念。其一是“变分原理”，欧拉正是用这种方法导出控制方程：其二是“分岔”的概念， 它是非线性分析的中心内容。欧拉得到了方程(0-1)的解，文献中称为“elastica”。如图0-2 所示，在不同的压缩状态，欧拉杆会发生翻转，变为折叠的受拉杆。图0-2中所示的三种形 状分别对应不同的载荷。 欧拉逝世后不久，许多天才科学家聚集法国，他们对弹性力学不懈的研究使得这一领 域在法国科学院中异常活跃。其中的几位科学巨匠有纳维尔、泊松、库仑、柯西和圣·维南。 QQ 图0-2 elastica 1821年，克劳德·路易斯·玛丽·亨利·纳维尔(1785一1836)发表了题为“弹性体平 衡和运动方程”的论文，文中弹性体的控制方程首次写为 C24,+2uk+f=0, (0-2) 其中u,∫分别为位移和体力分量，C为弹性模量的一种度量。这个方程被称为“弹性体 的位移方程”或简单称为“纳维尔方程”。 方程(0-2)与我们今天所知的形式不同（参见方程(3.27）)，它仅对两个拉梅常数相等的 特殊弹性体成立。1829年，法国科学家西蒙·丹尼斯·泊松(1781一1840)考虑了单向拉伸时 的横向收缩问题。为纪念他的贡献，横向收缩与纵向伸长比值的负值被命名为泊松比。方程 (0-2)成立的条件为材料泊松比为。另外，泊松发现了横波和纵波，开创了弹性动力学分 析。对弹性力学作出卓越贡献的另一位法国科学家是奥古斯丁·路易斯·柯西(1789一1857)。 1822年，柯西在三维情况下规范了应力的概念，揭示了应力具有三阶对称张量的性质。他
年，雅克比·柏努利（瑞士数学与力学家）在他生平的最后一篇论文中指出，要正确描述材 料纤维在拉伸下的变形，就必须给出单位面积的作用力，即应力，与单位长度的伸长，即应 变，之间的函数关系。1727 年，莱奥哈尔德·欧拉（瑞士数学与力学家，雅克比的弟弟约 翰那·柏努利的学生）给出应力、应变之间的线性关系，即σ = Eε 。1807 年，托马斯·杨 发展了一个类似的概念，因此现在通常称比例系数 E 为杨氏模量。 1774 年，莱奥哈尔德·欧拉(1707－1783)分析了压杆失稳问题，可以证明杆的挠度遵 守下面的方程： ( ) Px y y C = + 2 3 2' '' ' 1 , (0-1) 其中C 为柏努利梁的刚度系数，P为压杆载荷，x，y分别表示沿杆长的坐标和杆的挠度。作 为表明弹性力学历史地位重要性的经典例子，压杆失稳的弹性力学分析触发了两个重要的数 学概念。其一是“变分原理”，欧拉正是用这种方法导出控制方程；其二是“分岔”的概念， 它是非线性分析的中心内容。欧拉得到了方程 ′ (0-1)的解，文献中称为“elastica”。如图 0-2 所示，在不同的压缩状态，欧拉杆会发生翻转，变为折叠的受拉杆。图 0-2中所示的三种形 状分别对应不同的载荷。 欧拉逝世后不久，许多天才科学家聚集法国，他们对弹性力学不懈的研究使得这一领 域在法国科学院中异常活跃。其中的几位科学巨匠有纳维尔、泊松、库仑、柯西和圣·维南。 图 0-2 elastica 1821 年，克劳德·路易斯·玛丽·亨利·纳维尔(1785－1836)发表了题为“弹性体平 衡和运动方程”的论文，文中弹性体的控制方程首次写为 ( 2 , ) 0 2 fuuC ikiki =++∇ , (0-2) 其中 ， 分别为位移和体力分量，C 为弹性模量的一种度量。这个方程被称为“弹性体 的位移方程”或简单称为“纳维尔方程”。 ui i f 方程(0-2)与我们今天所知的形式不同（参见方程(3.27)），它仅对两个拉梅常数相等的 特殊弹性体成立。1829 年，法国科学家西蒙·丹尼斯·泊松(1781－1840)考虑了单向拉伸时 的横向收缩问题。为纪念他的贡献，横向收缩与纵向伸长比值的负值被命名为泊松比。方程 (0-2)成立的条件为材料泊松比为 4 1 。另外，泊松发现了横波和纵波，开创了弹性动力学分 析。对弹性力学作出卓越贡献的另一位法国科学家是奥古斯丁·路易斯·柯西(1789－1857)。 1822 年，柯西在三维情况下规范了应力的概念，揭示了应力具有三阶对称张量的性质。他 5
的其他贡献包括：提出将面力矢量和应力张量联系起来的柯西原理，提出主应力和主应变的 概念，推广胡克定律，以及建立了用应力分量表示的连续体运动方程和边界条件。柯西还给 出了几何方程，即当位移对坐标的导数远小于1时，六个应变分量（三个拉伸分量和三个剪 切分量)可以表示为位移的导数。这与流体力学中欧拉用速度场导数表示的应变率类似。柯 西不但是一位严谨的数学家，同时具有很强的物理直觉。他从原子论的观点讨论了物体的弹 性，利用对势导出了所谓的弹性张量的柯西关系，指出弹性张量具有完全对称性。柯西仔细 讨论了各向同性这种特殊情况，线弹性理论仅需要知道一个弹性常数。我们将在下一章讨论 柯西关系的局限性。 一般各向异性弹性固体的弹性张量之独立分量的数目引起了激烈的争论。1837年，英 国数学家乔治·格林(1793一1841)指出：如果存在应变能函数，则联系6个应力分量和6个 应变分量的36个弹性常数中只有21个是独立的。1855年，苏格兰物理学家开尔文勋爵(1824 一1907)在更坚实的热力学基础上对此加以讨论，指出对于等温或绝热过程存在应变能。这 也是他在热力学方面取得的伟大成就的一部分。 在十九世纪的中后期，科学家们得到了大量的弹性力学基本解，并应用于工程实践或 者解释自然现象。纳维尔的学生圣·维南在其中做出了卓越的贡献。1853年，他提出了半 逆解法，并得到了梁的弯曲和非圆截面杆扭转问题的精确解，从而检验了材料力学中在一定 假设简化下得到的近似解的准确程度。此外，他提出了著名的圣·维南原理，为数学家和工 程师创造了无数机遇和挑战。 值得一提的是由于十九世纪末德国科学家的突出贡献，使得德国取代法国成为世界的 研究中心。电磁学的奠基人之一，普鲁士物理学家古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫(1824一1887) 多才多艺，在弹性力学领域也颇有建树。1876年，他出版了著作“力学”，将弹性力学的 应用领域扩展到一种新的几何构形一板，在直法线假设的前提下，他运用虚功原理和变分 法导出了控制方程。在一维情况下，基尔霍夫板退化为欧拉一柏努利梁。随着板和壳结构出 现在土木和机械工程领域，这一理论得到了广泛的应用。电磁学的另一奠基人，赫尔曼·路 德维希·费迪南德·冯·亥姆霍兹(1821一1894)在弹性力学领域同样功勋卓著。他建立了弹 性自由能的概念，以他的名字命名为亥姆霍兹自由能。另外，他还利用亥姆霍兹变换得到无 限大弹性体中的应力波解。 体系形成(1880一1950) 在这一时期，弹性力学的知识如百川逐渐汇集大海，形成了一套完整的体系。代表性 著作是勒夫的“关于弹性力学数学理论的论述”(1892一1893)。该部著作的问世同时标志着 十九世纪整个数学物理的研究中心是弹性力学。除此之外，勒夫本人还在点源解和勒夫波等 方面对弹性力学做出贡献。 弹性力学在工程领域的广泛应用应归功于铁木辛柯的巨大热情。铁木辛柯出身于前俄 罗斯贵族，师从空气动力学之父普朗特。他尤其热心于弹性力学的工程应用，在弹性地基梁、 铁木辛柯梁、板壳力学和弹性振动等方面都做出了巨大的贡献。铁木辛柯不仅是一位科学家、 工程师，同时也是一名伟大的教育家。由他编写的教材几十年来一直在美国工学院使用。他 同冯·卡门一起促进了应用力学在美国的繁荣。 在这一时期，弹性力学还有两个重要的发展。其一是冯·卡门和他的学生钱学森及钱 伟长解决的薄壁结构大挠度和屈曲的问题。量子力学奠基人之一，沃纳海森堡(1901一1976) 博士论文中也对屈曲问题进行了研究。第二个重大的发展来自于以柯洛索夫和穆斯海里什维 6
的其他贡献包括：提出将面力矢量和应力张量联系起来的柯西原理，提出主应力和主应变的 概念，推广胡克定律，以及建立了用应力分量表示的连续体运动方程和边界条件。柯西还给 出了几何方程，即当位移对坐标的导数远小于 1 时，六个应变分量(三个拉伸分量和三个剪 切分量)可以表示为位移的导数。这与流体力学中欧拉用速度场导数表示的应变率类似。柯 西不但是一位严谨的数学家，同时具有很强的物理直觉。他从原子论的观点讨论了物体的弹 性，利用对势导出了所谓的弹性张量的柯西关系，指出弹性张量具有完全对称性。柯西仔细 讨论了各向同性这种特殊情况，线弹性理论仅需要知道一个弹性常数。我们将在下一章讨论 柯西关系的局限性。 一般各向异性弹性固体的弹性张量之独立分量的数目引起了激烈的争论。1837 年，英 国数学家乔治·格林(1793－1841)指出：如果存在应变能函数，则联系 6 个应力分量和 6 个 应变分量的 36 个弹性常数中只有 21 个是独立的。1855 年，苏格兰物理学家开尔文勋爵(1824 －1907)在更坚实的热力学基础上对此加以讨论，指出对于等温或绝热过程存在应变能。这 也是他在热力学方面取得的伟大成就的一部分。 在十九世纪的中后期，科学家们得到了大量的弹性力学基本解，并应用于工程实践或 者解释自然现象。纳维尔的学生圣·维南在其中做出了卓越的贡献。1853 年，他提出了半 逆解法，并得到了梁的弯曲和非圆截面杆扭转问题的精确解，从而检验了材料力学中在一定 假设简化下得到的近似解的准确程度。此外，他提出了著名的圣·维南原理，为数学家和工 程师创造了无数机遇和挑战。 值得一提的是由于十九世纪末德国科学家的突出贡献，使得德国取代法国成为世界的 研究中心。电磁学的奠基人之一，普鲁士物理学家古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫(1824－1887) 多才多艺，在弹性力学领域也颇有建树。1876 年，他出版了著作“力学”，将弹性力学的 应用领域扩展到一种新的几何构形 — 板，在直法线假设的前提下，他运用虚功原理和变分 法导出了控制方程。在一维情况下，基尔霍夫板退化为欧拉－柏努利梁。随着板和壳结构出 现在土木和机械工程领域，这一理论得到了广泛的应用。电磁学的另一奠基人，赫尔曼·路 德维希·费迪南德·冯·亥姆霍兹(1821－1894)在弹性力学领域同样功勋卓著。他建立了弹 性自由能的概念，以他的名字命名为亥姆霍兹自由能。另外，他还利用亥姆霍兹变换得到无 限大弹性体中的应力波解。 体系形成(1880－1950) 在这一时期，弹性力学的知识如百川逐渐汇集大海，形成了一套完整的体系。代表性 著作是勒夫的“关于弹性力学数学理论的论述”(1892－1893)。该部著作的问世同时标志着 十九世纪整个数学物理的研究中心是弹性力学。除此之外，勒夫本人还在点源解和勒夫波等 方面对弹性力学做出贡献。 弹性力学在工程领域的广泛应用应归功于铁木辛柯的巨大热情。铁木辛柯出身于前俄 罗斯贵族，师从空气动力学之父普朗特。他尤其热心于弹性力学的工程应用，在弹性地基梁、 铁木辛柯梁、板壳力学和弹性振动等方面都做出了巨大的贡献。铁木辛柯不仅是一位科学家、 工程师，同时也是一名伟大的教育家。由他编写的教材几十年来一直在美国工学院使用。他 同冯·卡门一起促进了应用力学在美国的繁荣。 在这一时期，弹性力学还有两个重要的发展。其一是冯·卡门和他的学生钱学森及钱 伟长解决的薄壁结构大挠度和屈曲的问题。量子力学奠基人之一，沃纳·海森堡(1901－1976) 博士论文中也对屈曲问题进行了研究。第二个重大的发展来自于以柯洛索夫和穆斯海里什维 6
里为代表前苏联学派。他们发展了弹性力学的复变函数方法。穆斯海里什维里在专著“数学 弹性力学的几个基本问题”和“奇异积分方程”对这一方法进行了阐述，其中解析函数理论、 柯西积分、奇异积分方程、保角变换和黎曼一希尔伯特问题等数学概念方法构筑了线弹性平 面和反平面问题的理论基础。 分支发展(1950一至今) 二十世纪的后半期，弹性力学的各个分支蓬勃发展。1950年荷兰力学家和工程师K.T Koiter提出弹性稳定性的概念，随后有关静力稳定性、运动稳定性和动力稳定性和缺陷敏感 性的问题也被提出，并充分地加以研究。 断裂力学的先驱是英国航空工程师A.A.Griffith(1893一1963)，他提出了著名的脆断准 则，如果裂纹扩展释放的弹性应变能等于产生新表面所做的功，则裂纹处于临界扩展状态。 这一领域从二十世纪中叶以来一直处于固体力学研究的中心地位，主要推动力是对第二次世 界大战期间造成美国海军舰队重大损失的原因的研究以及美国物理学家和工程师G©orge R. Irwin投入的巨大热情与精力。1957年Irwin提出应力强度因子的概念，用来度量裂尖附近 应力场的强度。在Irwin的大力推动下，从十九世纪40年代一直延续到二十一世纪，在裂 纹扩展和结构破坏方面出现了大量成果，包括疲劳裂纹和应力腐蚀导致裂纹。1968年，美 国力学家和地学家J.R.Rice奠定了非线性断裂力学的基础。断裂力学中的关键参量，能量 释放率G,应力强度因子K和J一积分分别用来纪念Griffith,Irwin和Rice的对这一领域的 贡献。 另一重要的发展是有限元方法(FEM)的发明，它为工程领域提供了基本的计算工具。 1943年数学家Richard Courant描述了有限元的理论框架，50到60年代，这一理论在几个 国家独立的发展，并编制了可用于工程计算的计算机程序。代表学者有美国航空工程师M.J Taylor和RayW.Clough,英国土木工程师J.H.Argyris和O.C.Zienkiewicz,以及中国数学 家冯康。有限元方法源于求解弹性力学问题，它的发展超出这一领域，成为计算力学的基本 组成部分，目前又被进一步应用到材料微结构、生物力学和医学领域。 近年来弹性力学理论也有长足的发展。一个重要的领域是大变形弹性理论，这是经典 弹性力学未开发的处女地。例如橡胶之类的高分子材料的广泛应用使得建立弹性大变形理论 成为必需。1960年，英国应用数学家和工程师Ronald S.Rivlin给出了拉伸、扭转、弯曲和 翻转在弹性大变形下的解。他还致力于各向同性弹性的张量表示理论，提出著名的 Rivlin-Ericksen定理。他的其他贡献还包括提出Mooney-Rivlin理论，精确地描述了橡胶弹 性。 弹性力学另一个重要用武之地是各向异性弹性，使这一领域发生深刻变革的工作是在 1959年到1962年期间由三位科学家完成的，他们分别是J.D.Eshelby,S.G.Lehnitskii和A. N.Stroh。值得一提的是A.N.Stroh的一生非常凄烈，然而他短暂的I0年的学者生涯却异常 辉煌，在T.C.T.Tig的著作“各向异性弹性力学理论及其应用”第五章最后一节专门讲述 了A.N.Stoh的一生。遗憾的是由于本书的范围界定，无法将这一优美的理论包括在内， 有兴趣的读者可以参考前面提到的T.C.T.Ting的著作
里为代表前苏联学派。他们发展了弹性力学的复变函数方法。穆斯海里什维里在专著“数学 弹性力学的几个基本问题”和“奇异积分方程”对这一方法进行了阐述，其中解析函数理论、 柯西积分、奇异积分方程、保角变换和黎曼－希尔伯特问题等数学概念方法构筑了线弹性平 面和反平面问题的理论基础。 分支发展(1950－至今) 二十世纪的后半期，弹性力学的各个分支蓬勃发展。1950 年荷兰力学家和工程师 K. T. Koiter 提出弹性稳定性的概念，随后有关静力稳定性、运动稳定性和动力稳定性和缺陷敏感 性的问题也被提出，并充分地加以研究。 断裂力学的先驱是英国航空工程师 A. A. Griffith (1893－1963)，他提出了著名的脆断准 则，如果裂纹扩展释放的弹性应变能等于产生新表面所做的功，则裂纹处于临界扩展状态。 这一领域从二十世纪中叶以来一直处于固体力学研究的中心地位，主要推动力是对第二次世 界大战期间造成美国海军舰队重大损失的原因的研究以及美国物理学家和工程师 George R. Irwin 投入的巨大热情与精力。1957 年 Irwin 提出应力强度因子的概念，用来度量裂尖附近 应力场的强度。在 Irwin 的大力推动下，从十九世纪 40 年代一直延续到二十一世纪，在裂 纹扩展和结构破坏方面出现了大量成果，包括疲劳裂纹和应力腐蚀导致裂纹。1968 年，美 国力学家和地学家 J. R. Rice 奠定了非线性断裂力学的基础。断裂力学中的关键参量，能量 释放率 G，应力强度因子 K 和 J－积分分别用来纪念 Griffith, Irwin 和 Rice 的对这一领域的 贡献。 另一重要的发展是有限元方法(FEM)的发明，它为工程领域提供了基本的计算工具。 1943 年数学家 Richard Courant 描述了有限元的理论框架，50 到 60 年代，这一理论在几个 国家独立的发展，并编制了可用于工程计算的计算机程序。代表学者有美国航空工程师 M. J. Taylor 和 Ray W. Clough，英国土木工程师 J. H. Argyris 和 O. C. Zienkiewicz，以及中国数学 家冯康。有限元方法源于求解弹性力学问题，它的发展超出这一领域，成为计算力学的基本 组成部分，目前又被进一步应用到材料微结构、生物力学和医学领域。 近年来弹性力学理论也有长足的发展。一个重要的领域是大变形弹性理论，这是经典 弹性力学未开发的处女地。例如橡胶之类的高分子材料的广泛应用使得建立弹性大变形理论 成为必需。1960 年，英国应用数学家和工程师 Ronald S. Rivlin 给出了拉伸、扭转、弯曲和 翻转在弹性大变形下的解。他还致力于各向同性弹性的张量表示理论，提出著名的 Rivlin-Ericksen 定理。他的其他贡献还包括提出 Mooney-Rivlin 理论，精确地描述了橡胶弹 性。 弹性力学另一个重要用武之地是各向异性弹性，使这一领域发生深刻变革的工作是在 1959 年到 1962 年期间由三位科学家完成的，他们分别是 J. D. Eshelby, S. G. Lehnitskii 和 A. N. Stroh。值得一提的是 A. N. Stroh 的一生非常凄烈，然而他短暂的 10 年的学者生涯却异常 辉煌，在 T. C. T. Ting 的著作“各向异性弹性力学理论及其应用”第五章最后一节专门讲述 了 A. N. Stroh 的一生。遗憾的是由于本书的范围界定，无法将这一优美的理论包括在内， 有兴趣的读者可以参考前面提到的 T. C. T. Ting 的著作。 7
2弹性力学的应用 基本建设 弹性力学在土木工程领域有着广泛的应用。2000年吴有生、李国豪编辑的“力学与工 程”一书中对此有着精彩的描述，可供有兴趣的读者阅读。书中的例子有三峡大坝的整体强 度，发电机组的临界转速，以及上海东方明珠电视塔顶端的晃动控制。饶有趣味的是弹性力 学在西部大开发的四大工程中应用。西气东运工程涉及两个关键问题，其一是沙丘蠕动引起 管道高应力导致的动态断裂，另一是特大储气罐的结构可靠性问题。在青藏铁路工程中，由 于大部分铁路位于海拔5000米以上，永冻土层的力学行为是一个主要问题。这里弹性力学 问题与水一冰混合体界面的毛细流动交织在一起。第三项工程是西电东输，涉及的弹性力学 问题包括高压电线的舞动和发电机组的临界转动问题。第四项工程是建设西部高速公路网， 利用应力波检测手段可以保证路面的质量。 地震 利用弹性力学的知识，土木工程师可以对地震及其对建筑物的作用进行量化。地震波 分为纵波和横波，利用波动理论可以计算出测震中位置和地震的强度。弹性力学还可以用来 研究断层动力学，J.R.Rice在ICTAM2000的开幕式报告上对这一领域做了精彩的综述， 2001年8月期“力学进展”刊登了郭高峰的翻译文章。大部分地震中地震波的传播是亚音 速的，也有少速达到跨音速，如1999年土耳其地震，2001年中国昆仑山的8.1级地震。对 于这类问题的研究促进了跨音速断裂力学的发展。弹性力学在地震预测方面也有重要应用， 如地震有无确定前兆，如果有确定前兆，那么在原理上是否可探测，都是目前弹性力学研究 的课题。几年前发现了和地震相关的缺陷波，它的传播具有弥散特性，这为地震的预测投下 了一道曙光。另外，在抗震方面弹性力学也发挥着巨大作用。例如日本京都的三十三间堂， 地基是层状结构，用来吸收和反射地震波。虽然位于地震多发带，几百年来整个建筑却没有 受到地震影响。当代的主动控制方法为抑制地震危害提供了新的途径。一个闭环系统可以首 先感知到振动的大小和频率，并随之利用致动器的反相位运动来加以遏制。在很大程度上归 功于这一技术，在多地震国家日本现在也可以建造摩天大楼。 航空航天 在航空航天领域也广泛应用了振动控制技术，例如火箭能否成功发射的一个关键问题 在于如何有效控制火箭及其运载的有效载荷的振动。再如振动测试占据了卫星的研制成本和 研制周期的一个重要部分。在天空中，机翼和发动机叶片的颤振是飞机结构的关键问题，并 由此诞生了气动弹性力学。一旦卫星进入太空轨道，重力消失，只剩下弹性作用，太阳能帆 板的颤振决定了太空任务是否可以顺利完成。预警卫星的雷达天线搜索太空时，它的功能的 实现取决于降低结构振动幅度。中国探索太空的FA$T工程的利用了地形地貌，它的一个按 1:10比例的微缩模型建在清华大学工程力学系馆东侧。这项工程的设计要求非常苛刻，其馈 源系统采用柔索结构，跨距500米，然而位置精度要求控制在4毫米误差内。对于这项工程， 多层次的振动控制技术便显得非常关键
2 弹性力学的应用 基本建设 弹性力学在土木工程领域有着广泛的应用。2000 年吴有生、李国豪编辑的“力学与工 程”一书中对此有着精彩的描述，可供有兴趣的读者阅读。书中的例子有三峡大坝的整体强 度，发电机组的临界转速，以及上海东方明珠电视塔顶端的晃动控制。饶有趣味的是弹性力 学在西部大开发的四大工程中应用。西气东运工程涉及两个关键问题，其一是沙丘蠕动引起 管道高应力导致的动态断裂，另一是特大储气罐的结构可靠性问题。在青藏铁路工程中，由 于大部分铁路位于海拔 5000 米以上，永冻土层的力学行为是一个主要问题。这里弹性力学 问题与水－冰混合体界面的毛细流动交织在一起。第三项工程是西电东输，涉及的弹性力学 问题包括高压电线的舞动和发电机组的临界转动问题。第四项工程是建设西部高速公路网， 利用应力波检测手段可以保证路面的质量。 地震 利用弹性力学的知识，土木工程师可以对地震及其对建筑物的作用进行量化。地震波 分为纵波和横波，利用波动理论可以计算出测震中位置和地震的强度。弹性力学还可以用来 研究断层动力学，J. R. Rice 在 ICTAM 2000 的开幕式报告上对这一领域做了精彩的综述， 2001 年 8 月期“力学进展”刊登了郭高峰的翻译文章。大部分地震中地震波的传播是亚音 速的，也有少速达到跨音速，如 1999 年土耳其地震，2001 年中国昆仑山的 8.1 级地震。对 于这类问题的研究促进了跨音速断裂力学的发展。弹性力学在地震预测方面也有重要应用， 如地震有无确定前兆，如果有确定前兆，那么在原理上是否可探测，都是目前弹性力学研究 的课题。几年前发现了和地震相关的缺陷波，它的传播具有弥散特性，这为地震的预测投下 了一道曙光。另外，在抗震方面弹性力学也发挥着巨大作用。例如日本京都的三十三间堂， 地基是层状结构，用来吸收和反射地震波。虽然位于地震多发带，几百年来整个建筑却没有 受到地震影响。当代的主动控制方法为抑制地震危害提供了新的途径。一个闭环系统可以首 先感知到振动的大小和频率，并随之利用致动器的反相位运动来加以遏制。在很大程度上归 功于这一技术，在多地震国家日本现在也可以建造摩天大楼。 航空航天 在航空航天领域也广泛应用了振动控制技术，例如火箭能否成功发射的一个关键问题 在于如何有效控制火箭及其运载的有效载荷的振动。再如振动测试占据了卫星的研制成本和 研制周期的一个重要部分。在天空中，机翼和发动机叶片的颤振是飞机结构的关键问题，并 由此诞生了气动弹性力学。一旦卫星进入太空轨道，重力消失，只剩下弹性作用，太阳能帆 板的颤振决定了太空任务是否可以顺利完成。预警卫星的雷达天线搜索太空时，它的功能的 实现取决于降低结构振动幅度。中国探索太空的 FAST 工程的利用了地形地貌，它的一个按 1:10 比例的微缩模型建在清华大学工程力学系馆东侧。这项工程的设计要求非常苛刻，其馈 源系统采用柔索结构，跨距 500 米，然而位置精度要求控制在 4 毫米误差内。对于这项工程， 多层次的振动控制技术便显得非常关键。 8
集成电路 用于微电子器件的集成电路是弹性力学应用的一个崭新领域。集成电路一般为层状结 构，各层性质不同。制造和使用过程中产生的温升会导致层间错配热应力，从而影响它的质 量和使用寿命。在集成电路的可靠性评价中，弹性力学举足轻重。事实上，还可以人为利用 错配应力来发展新器件。现代技术可以通过控制多层分子外延膜间的错配来调制电子能隙。 L.B.Freund出版的专著详细论述了这一领域。下一代微电子器件量子点的自组装行为也是 由弹性应力来控制的。 纳米科技 纳米技术带动了21世纪的工业发展。令人奇妙的是，建立在宏观连续介质的基础上的 弹性力学在纳米尺度竞也频频适用。文献中这类例子层出不穷。利用弹性共振，直径为几个 纳米的碳纳米管可以做成纳米秤，称量基因的重量。利用多壁碳纳米管的嵌套结构，郑泉水 构想了一种频率十亿赫兹的振荡器。俄罗斯科学家利用弹性错配，可以将薄膜卷成纳米导线， 里面是金属，外部是绝缘层。更多有趣的例子可以在即将出版的书“Interfacial and Nanoscale Failure”(W.Gerberich与杨卫(2003)中找到，有兴趣的读者可以参考。 生物与仿生 生物材料领域为弹性力学提供了广阔的天地。肌肉中各种横桥与可伸缩的肌节间的弹 性作用会产生力。朱棣文利用激光冷冻技术可以测量单分子弹性。仿生学中也有大量看似寻 常实则非凡的例子。竹节是高度各向异性的非均匀结构，轴向强度远大于径向，外层密度高 于内层，这种结构可以抵抗弯曲。蜻蜓的翅膀是一种复杂肋骨加强结构，自然选择的结果与 结构优化设计惊人的相似。 体育项目 弹性力学的发展引起了体育器材的改进。例如，蹦极是年轻人所喜欢的一项非常刺激 的体育运动，悬索一端系在人体上，另一端和跳台绑在一起，它的长度和弹性决定了这项运 动的刺激程度。有一道作业题与此有关，目的是让大家体会一下弹性的重要作用。在射箭运 动中，箭飞行的速度和远近取决于弓和弦的弹性。网球是一项非常流行的体育运动，在过去 十年有了长足的发展。在John McEnroe时代发球球速为每小时l00英里，现在力量型选手 的球速约为138英里每小时。球速的提高并非来自于选手力量的增强，而归结于球拍弹性行 为的改进以及对球拍与球的碰撞过程的透彻研究，这些研究都是利用有限元软件ABAQUS 对弹性大变形过程的分析完成的。在撑杆跳中，撑竿是由碳纤维增强复合材料制作的，它的 弹性决定了运动员的表现。 健身器材对人们的身体健康和肌肉健美非常重要。现代的健身器材己经从重量升举型 (基于刚体静力学)发展至柔性杆型（基于弹性力学）。其优越之处不言而喻：以逸静代替 了嘈杂：以精致代替了庞大：以多功能代替了单用途。体操运动依赖于弹性力学的另一方面。 利用基于力电耦合原理的应变片测量系统，可发现纠正运动员动作的措施。基于2008年“科 技奥运”的目标，目前正在我们系开展这类研究
集成电路 用于微电子器件的集成电路是弹性力学应用的一个崭新领域。集成电路一般为层状结 构，各层性质不同。制造和使用过程中产生的温升会导致层间错配热应力，从而影响它的质 量和使用寿命。在集成电路的可靠性评价中，弹性力学举足轻重。事实上，还可以人为利用 错配应力来发展新器件。现代技术可以通过控制多层分子外延膜间的错配来调制电子能隙。 L. B. Freund 出版的专著详细论述了这一领域。下一代微电子器件量子点的自组装行为也是 由弹性应力来控制的。 纳米科技 纳米技术带动了 21 世纪的工业发展。令人奇妙的是，建立在宏观连续介质的基础上的 弹性力学在纳米尺度竟也频频适用。文献中这类例子层出不穷。利用弹性共振，直径为几个 纳米的碳纳米管可以做成纳米秤，称量基因的重量。利用多壁碳纳米管的嵌套结构，郑泉水 构想了一种频率十亿赫兹的振荡器。俄罗斯科学家利用弹性错配，可以将薄膜卷成纳米导线， 里面是金属，外部是绝缘层。更多有趣的例子可以在即将出版的书“Interfacial and Nanoscale Failure”(W. Gerberich 与杨卫(2003))中找到，有兴趣的读者可以参考。 生物与仿生 生物材料领域为弹性力学提供了广阔的天地。肌肉中各种横桥与可伸缩的肌节间的弹 性作用会产生力。朱棣文利用激光冷冻技术可以测量单分子弹性。仿生学中也有大量看似寻 常实则非凡的例子。竹节是高度各向异性的非均匀结构，轴向强度远大于径向，外层密度高 于内层，这种结构可以抵抗弯曲。蜻蜓的翅膀是一种复杂肋骨加强结构，自然选择的结果与 结构优化设计惊人的相似。 体育项目 弹性力学的发展引起了体育器材的改进。例如，蹦极是年轻人所喜欢的一项非常刺激 的体育运动，悬索一端系在人体上，另一端和跳台绑在一起，它的长度和弹性决定了这项运 动的刺激程度。有一道作业题与此有关，目的是让大家体会一下弹性的重要作用。在射箭运 动中，箭飞行的速度和远近取决于弓和弦的弹性。网球是一项非常流行的体育运动，在过去 十年有了长足的发展。在 John McEnroe 时代发球球速为每小时 100 英里，现在力量型选手 的球速约为 138 英里每小时。球速的提高并非来自于选手力量的增强，而归结于球拍弹性行 为的改进以及对球拍与球的碰撞过程的透彻研究，这些研究都是利用有限元软件 ABAQUS 对弹性大变形过程的分析完成的。在撑杆跳中，撑竿是由碳纤维增强复合材料制作的，它的 弹性决定了运动员的表现。 健身器材对人们的身体健康和肌肉健美非常重要。现代的健身器材已经从重量升举型 （基于刚体静力学）发展至柔性杆型（基于弹性力学）。其优越之处不言而喻：以逸静代替 了嘈杂；以精致代替了庞大；以多功能代替了单用途。体操运动依赖于弹性力学的另一方面。 利用基于力电耦合原理的应变片测量系统，可发现纠正运动员动作的措施。基于 2008 年“科 技奥运”的目标，目前正在我们系开展这类研究。 9