第7章梁的强度 第一节梁横截面上的正应力 第二节梁横截面上的剪应力 词 第三节梁的强度计算 第四节弯曲中心的概念 第五节小结
第7章 梁的强度 梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 梁的强度计算 弯曲中心的概念 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
第7章梁的强度 梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力,称作剪 力(横力)弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力τ和正应力o 且剪应力τ只与剪力Q有关,正应力 σ只与弯矩M有关。 P 横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。 如图简支梁,AC、DB段为横aH 力弯曲;CD段为纯弯曲。 本章研究梁的应力和变形计算, Pa 解决梁的强度和刚度计算问题 回下一上一张[小结
第7章 梁的强度 本章研究梁的应力和变形计算， 解决梁的强度和刚度计算问题。 梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力，称作剪 力（横力）弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力τ和正应力σ。 且剪应力τ只与剪力Q有关，正应力 σ只与弯矩M有关。 横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。 如图简支梁，AC、DB段为横 力弯曲；CD段为纯弯曲。 返回 下一张 上一张 小结
第一节梁横截面上的正应力 为推导梁横截面上的正应力,考虑纯弯曲情况 用三关系法:实验观察→平面假设; 几何关系→变形规律, 物理关系→应力规律, 静力学关系→应力公式 g 、实验观察与分析: ■■ ①横线仍为直线,但倾斜角度dθ (b) ②纵线由直变弯,仍与横线正交 凸边伸长,凹边缩短; ③横截面相对于纵向伸长区域缩 短,纵向缩短区域伸长。 假设①平面假设一变形前后横飞次 截面保持平面不变; f ②单向受力假设一纵向纤维之间互不挤压仅伸长或猜短习 中性层一长度不变的纤维层; 中性轴—中性层与横截面的交线 下一张上一张小结
第一节 梁横截面上的正应力 一、实验观察与分析： 为推导梁横截面上的正应力，考虑纯弯曲情况。 用三关系法：实验观察→平面假设； 几何关系→变形规律， 物理关系→应力规律， 静力学关系→应力公式。 ①横线仍为直线,但倾斜角度d； ②纵线由直变弯,仍与横线正交, 凸边伸长, 凹边缩短； ③横截面相对于纵向伸长区域缩 短，纵向缩短区域伸长。 假设:①平面假设—变形前 后横 截面保持平面不变； 中性层—长度不变的纤维层； 中性轴—中性层与横截面的交线。 ②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。 返回 下一张 上一张 小结
正应力公式的推导 (一)变形几何关系: 中性层 f 取梁微段dx考虑变形 几何关系,得应变规律: 中性轴 dx=oo2-pd 8 y dx b △S=ab b fax F =(p+yMe-pde= yd e; △Sydy dx pde 当MO时:y>00,为受拉区:y<o.e=0,为受。 (二)物理关系: 由假设2及虎克定律,梁横 o=EE=E 截面上的正应力变化规律为: 此式表明:梁横截面上任一点的正应力,与该点距中性利 (z轴)的距离y成正比,而与该点距y轴的距离z无关。正应 力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,σ=0;上平边 缘处有ymax,故有omna 回下一上一张[小结
二、正应力公式的推导： （一）变形几何关系： ; y d yd dx S 取梁微段dx考虑变形 几何关系，得应变规律： 当M>0时：y>0,ε>0，为受拉区；y<0,ε<0,为受压区。 （二）物理关系： y 由假设2及虎克定律，梁横 E E 截面上的正应力变化规律为： 此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴 （z轴）的距离y成正比，而与该点距y轴的距离z无关。正应 力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,σ＝0；上下边 缘处有ymax，故有σmax。 返回 下一张 上一张 小结
(三)静力学关系: 纯弯曲梁上各点只有正应力,微面积dA上法 向合力dN=odA。截面上各微内力形成沿X轴的空 间平行力系。可简化成三个内力分量:NM,M N=「odA=0→∫ 24dA=0中性轴Z必通过形心。1 M,==0l4=0=2∫d=0,中性轴是截面的形心主轴。 M=∫you=M→y2=M→ M—纯弯曲梁的 E.变形计算公式 My 纯弯曲梁横截面上任一点正应力训算公式 式中:I截面对其中性轴的惯性矩 M截面正的弯 所求正应力点到中性轴的距离 为避免符号错误,计算中各量以绝对值代入,符号依点 所处区域直接判断。(根据弯矩方向,中性轴将截面分为受 拉区和受压区;M>0,上压下拉;M<0,上拉下压。) 回下一上一张[小结
（三）静力学关系： 0 0 yd E N d 0 0; zydA E M y z dA y dA M E Mz y dA M 2 z My —中性轴Z必通过形心。 —中性轴是截面的形心主轴。 纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积dA上法 向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空 间平行力系。可简化成三个内力分量：Nx、My、Mz。 式中: Iz—截面对其中性轴的惯性矩； M—截面上的弯矩； y—所求正应力点到中性轴的距离。 —纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式 为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入，σ符号依点 所处区域直接判断。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受 拉区和受压区；M>0,上压下拉；M<0，上拉下压。） ; 1 E z M —纯弯曲梁的 变形计算公式 返回 下一张 上一张 小结
正应力公式的使用范围:①纯弯曲梁;②弹性范围(σ5为细长梁,其计算误差满足工程精度要求δ<5%) 例71图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。 解:(1)计算C截面的弯矩M P=1. 5kN 斗 M=-2P=-2×1.5=-3KN·m (2)确定中性轴位置,并计算惯性矩 bh312×183 5830cm 「x卓位:em 12 12 (3)求a、b两点的正应力y 3=6cm, yb=3cm 3×103×0.06 =3.09MPa 5830×10 3×103×0.03 =-1.54MPa 5830×10 (4)求C截面最大拉应力Gma和最大压应力 O max y 9cm 2:2 3×103×9×10 C. max max 5830×10 63 MPa =-omax (在截面上下边缘。) 回下一上一张[小结
正应力公式的使用范围：①纯弯曲梁；②弹性范围（σ≤σp）； ③平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；④细长梁的横力弯曲。 （一般l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ<5％。） 例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。 解：（1）计算C截面的弯矩M （2）确定中性轴位置，并计算惯性矩 （3）求a、b两点的正应力 Mc 2P 21.5 3KN m 4 3 3 5830 12 12 18 12 cm bh z 3 .09 ; 5830 10 3 10 0 .06 8 3 MPa M y z c a a 3 6 ; 3 . 2 18 y a cm y b cm 1 .54 ; 5830 10 3 10 0 .03 8 3 MPa M y z c b b 9 ; 2 18 2 max cm h y 4.63 ; 5830 10 3 10 9 10 8 max 3 2 max max MPa M y z c (4)求C截面最大拉应力+ max和最大压应力 -max （在截面上下边缘。） 返回 下一张 上一张 小结
例7218号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、为两 点处的正应力 94 P=60kN=P 解:(1)求D截面的弯矩 M=30kN. m 0.5m 0,m (2)确定中性轴位置 b 和截面惯性矩:M闔· 查型钢表 U EiI Iz=1660cm4 30H·m 截面尺寸单位:mm (3)求D截面a、b两点的正应力: 180 Va=yb 10.7=79.3mm Mmy-30×10×793×10 143.3MPa 1660×103 0,=143.3MPa 回下一上一张[小结
例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。 解：(1)求D截面的弯矩： MD=30kN.m 143.3 ; 143.3 ; 1660 10 30 10 79.3 10 10.7 79.3 ; 2 180 8 3 3 MPa MPa M y y y mm b z D a a a b (3)求D截面a、b两点的正应力： (2)确定中性轴位置 和截面惯性矩： 查型钢表 IZ=1660cm4 返回 下一张 上一张 小结
第二节梁横截面上的剪应力 矩形截面梁: qx) 矩形截面梁任意截面上剪力Q 2 都与对称轴重合。对狭长横截面上 min 剪应力的分布规律可作两个假设:上-x-1 a (1)横截面上各点τ均与该面上Q M+d真 同向且平行; (2)剪应力沿截面宽度均匀分布 从梁微段中取窄条cdm分析 Hcd Nd4=nS:M2、M+dNSN M c dT=rdx d ∑x=0,N1-N2-dT=0; NLN dMS dM O,T d xlb dx OS d e】m Ⅰb 回下一上一张[小结
第二节 梁横截面上的剪应力 一、矩形截面梁： 矩形截面梁任意截面上剪力Q 都与对称轴重合。对狭长横截面上 剪应力的分布规律可作两个假设： (1)横截面上各点均与该面上Q 同向且平行； (2)剪应力沿截面宽度均匀分布。 从梁微段中取窄条cdmn分析： ; I b QS z z , , ; 0 , 0 ; ' ' 1 2 Q dx dM dxI b dMS x N N dT z z ' ; ; ; 1 * 1 2 dT bdx S I M dM S N I M N dA z z z z A 返回 下一张 上一张 小结
矩形截面剪应力计算公式: OS 式中Q横截面上的剪力 Ⅰb Ⅰ—横截面对其中性轴的惯性矩; b所求剪应力作用点处的截面宽度; S*一所求剪应力作用点处的横线以 下(或以上)的截面积A对中性轴的面积矩 a h/2 b h 矩形截面:d4=bb,S2=」,yd4=」yby bh3 24y) τ沿截面高度按 o h 60h 抛物线规律变化。 2/4-y2) y bh4 h 6Oh23 y=±,=0;y=0,7 max 46h 2 bh m=2A=22(r-平均剪应力) 由剪切虎克定律τ=Gy,知剪应变 wjer 沿截面高度也按抛物线规律变化,引起 截面翘曲。但变形很小,可忽略不计。國國下一张上一张[小结
矩形截面剪应力计算公式： I b QS z z * 式中:Q—横截面上的剪力； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度； Sz ＊—所求剪应力作用点处的横线以 下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。 矩形截面： ); 4 ( 2 , 2 2 / 2 * 1 1 y b h dA bdy S y dA y bdy h A y z ); 4 ( 6 ) 4 ( 2 2 2 3 2 2 y h bh Q y h I Q z , 12 3 bh I z τ沿截面高度按 抛物线规律变化。 ; 2 3 4 6 , 0; 0, 2 3 2 max bh Q bh Qh y h y ; 2 3 2 3 max A Q （ 平均剪应力） 由剪切虎克定律τ＝Gγ，知剪应变 沿截面高度也按抛物线规律变化，引起 截面翘曲。但变形很小，可忽略不计。 返回 下一张 上一张 小结
其它形状截面的剪应力: 1.工字形截面梁: )腹板上的剪应力:腹板为狭长矩形承担截面绝大部分剪应 故中性轴处有最大剪应力 上翼绿 OS 或rQ max max h 穫板 式中Q横截面上的剪力;h腹板高度 I2—截面对z轴惯性矩:d腹板厚度;下 zmax 中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩 [a) (对于型钢,Sm灬:L的值可查型钢表确定) 2)翼缘上的剪应力:翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很 小且分布复杂,一般不考虑:水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布 计算公式与矩形截面的相同其方向与竖向剪应力方向之间存在 “剪应力流”的规律 QSS2欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩 水平-1Oo δ翼缘厚度 回下一上一张[小结
二、其它形状截面的剪应力： 1. 工字形截面梁： 工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。 1)腹板上的剪应力：腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。 式中:Q—横截面上的剪力； h1—腹板高度； Iz— 截面对z轴惯性矩； d—腹板厚度； Szmax—中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩； （对于型钢，Szmax：Iz的值可查型钢表确定） z o z I QS 水平 h d Q 1 或 max 故中性轴处有最大剪应力 2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很 小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布， 计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在 “剪应力流”的规律。 d QS z z max max Sz—欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩； δo—翼缘厚度。 返回 下一张 上一张 小结