第七章平面问题的基本理论和直角坐标解法 7.1平面问题的分类及基本方程 弹性力学一般的三维问题有几何方程、平衡方程和本构关系15个未知量，15个方程， 求解非常复杂，即使简单几何形状的物体，求解也很烦琐。严格地说，任何弹性力学都是空 间问题，也就是说应力、应变和位移都是空间坐标(x,y,)的函数，但如果物体具有某种特 殊的几何形状，载荷分布呈一定规律，三维问题就可以简化为二维问题。 设物体x,y,z方向的尺寸为1,1，1，考察下面两种情况。 (1)1,之1，如果1，是常量，就是等厚度薄板。只在板边作用有平行于板面的面力，体力 也平行于板面，板面内没有载荷作用。面力、体力沿板的中面且不随厚度变化，如果板的厚 度很小，可以假设与中面垂直的应力分量均为零，其余的应力分量沿厚度保持不变，称为平 面应力问题。（如图1所示） 选取坐标系使x,y平面与板中面重合，z方向是厚度方向，则有 0.=0(x,y),0,=0,(x,y)tg=t(x,y,te=t==0:=0 (7.1) 代入本构关系，= 1+y。y EogE0u,得 1 -Fo,- 6x 1 6,=E0,E0: (7.2) 、上 E(c,+a,) 1+y 6wE 广义平面应力问题：如果应力分量沿厚度不是均匀分布的而是关于中面对称的（如果不对称 将产生弯矩就不是平面问题而是弯曲问题)，称为广义平面问题，这时可采用平均化的方法， h/2 J(x.y)= f(x,y,),h为薄板的厚度，各物理量平均化后可以看成平面问题。 h 平面应力状态的近似之处：从应变协调方程 0'6=0 O6s0606) axdy dz dy dz ox 20686, 08: ox2 (7.3) 0yoz 022 0s-2020s ov2 0x0 02
1 第七章 平面问题的基本理论和直角坐标解法 7.1 平面问题的分类及基本方程 弹性力学一般的三维问题有几何方程、平衡方程和本构关系 15 个未知量，15 个方程， 求解非常复杂，即使简单几何形状的物体，求解也很烦琐。严格地说，任何弹性力学都是空 间问题，也就是说应力、应变和位移都是空间坐标(, ,) x y z 的函数，但如果物体具有某种特 殊的几何形状，载荷分布呈一定规律，三维问题就可以简化为二维问题。 设物体 x, , y z 方向的尺寸为 , , x y z lll ，考察下面两种情况。 (1) , x y z ll l ，如果 zl 是常量，就是等厚度薄板。只在板边作用有平行于板面的面力，体力 也平行于板面，板面内没有载荷作用。面力、体力沿板的中面且不随厚度变化，如果板的厚 度很小，可以假设与中面垂直的应力分量均为零，其余的应力分量沿厚度保持不变，称为平 面应力问题。(如图 1 所示) 选取坐标系使 x, y 平面与板中面重合， z 方向是厚度方向，则有 ( , ), ( , ), ( , ), 0 x x y y xy xy xz yz z σ = = = === σ σσ τ τ τ τ σ xy xy xy (7.1) 代入本构关系 1 ij ij kk ij E E ν ν ε σ σδ + = − ，得 1 1 ( ) 1 x x y y yx z xy xy xy E E E E E E ν ε σ σ ν ε σ σ ν ε σ σ ν ε τ = − = − =− + + = (7.2) 广义平面应力问题：如果应力分量沿厚度不是均匀分布的而是关于中面对称的(如果不对称 将产生弯矩就不是平面问题而是弯曲问题)，称为广义平面问题，这时可采用平均化的方法， / 2 / 2 1 (, ) (, ,) h h f x y f x y z dz h − = ∫ ， h 为薄板的厚度，各物理量平均化后可以看成平面问题。 平面应力状态的近似之处：从应变协调方程 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 xz xy yz z z yz y z xz x x y zy z x x yz z y xz z ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = −+ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂∂ ∂ (7.3)
可知0=0.0s=0,0g=0,即E是xy的线性函数，也就是说0，+0，是xy的线 Oxoy 0x2 性函数。但一般来说按平面应力条件求出的解并不满足这样的条件，就是说平面应力状态应 变协调方程未严格满足。为什么会出现这样的情况呢？其原因就是平面应力的假设 t:=ts=O:=0过强，实际上这三个应力分量是存在的，但板的上下表面自由，这三个应 力分量在上下表面为零，由于板足够薄，沿厚度方向不可能有很大的应力梯度，因此 t=,t=,O这三个应力分量即使存在也是很小的，可以通过量纲分析证明xx,t=是面内应力 的2备：。，是面内应力的宁信，其中方是板厚，L是海板中面的最大尺寸。所以。虽然 平面应力假设并不严格满足应变协调方程，但仍能得到精度很高的结果。 图1平面应力问题 (2)I,1,≤1，等截面长柱体，如水坝、隧道等。所受载荷与轴线垂直，沿轴线方向均匀分 布，如果柱体两端受到刚性约束，则可以认为柱体内每一点都没有轴向位移，每个横截面的 变形都发生在截面内，这类问题称为平面应变问题（如图2所示），可以假设 u=(x,y),v=v(x,y),w=0,由此可推出 auav1,au,ov、 8x= w=5( +,Ex=6==6:=0 (7.4) oy' 2 dy ox 入本构关系&：=二o.-（(o,+0,),得C:=(o,+0),代入本构关系其它 2
2 可知 222 2 2 0, 0, 0 z zz xy x y ∂∂∂ εεε === ∂∂ ∂ ∂ ，即 z ε 是 x, y 的线性函数，也就是说σ x +σ y 是 x, y 的线 性函数。但一般来说按平面应力条件求出的解并不满足这样的条件，就是说平面应力状态应 变协调方程未严格满足。为什么会出现这样的情况呢？其原因就是平面应力的假设 0 xz yz z τ === τ σ 过强，实际上这三个应力分量是存在的，但板的上下表面自由，这三个应 力分量在上下表面为零，由于板足够薄，沿厚度方向不可能有很大的应力梯度，因此 , , xz yz z τ τ σ 这三个应力分量即使存在也是很小的，可以通过量纲分析证明 , xz yz τ τ 是面内应力 的 h L 倍；σ z 是面内应力的 2 ( ) h L 倍，其中 h 是板厚，L 是薄板中面的最大尺寸。所以，虽然 平面应力假设并不严格满足应变协调方程，但仍能得到精度很高的结果。 图 1 平面应力问题 (2) , x y z ll l ，等截面长柱体，如水坝、隧道等。所受载荷与轴线垂直，沿轴线方向均匀分 布，如果柱体两端受到刚性约束，则可以认为柱体内每一点都没有轴向位移，每个横截面的 变形都发生在截面内，这类问题称为平面应变问题 ( 如 图 2 所 示 ) ，可以假设 u uxy v vxy w == = ( , ), ( , ), 0，由此可推出 1 , , ( ), 0 2 x y xy xz yz z u v uv x y yx ε ε ε εεε ∂ ∂ ∂∂ = = = + = == ∂ ∂ ∂∂ (7.4) 代入本构关系 1 ( ) z z xy E E ν ε =− + σ σσ ，得 ( ) σ z xy =νσ σ+ ，代入本构关系其它方程
+yg-1+2(o,+o,) 6x= 0x- E E +y。-l+2(o,+o,) 8= -0 (7.5) E E 1+y E 8y= 形式与平面应力不同。 5总=亡品-气.脸女变先调写 E (6,+0,) E 1+6,E Ey (o,+0y) (7.6) E 1+yt对 w E 这样就和平面应力问题的本构关系形式相同。 如果柱体两端不是刚性约束（可以自由伸缩或受载荷），称为广义平面应变问题，这时可能 O:≠V(o,+O,),可以通过叠加一组在横截面上线性分布的轴向力σ：=ax+by+c来解 决，使σ+V(σ+0，)与实际载荷o静力等效，即 ∬(a:+(a.+o,》dk=∬od ∬(a+v(o,+o,》xd=J∬oxds (7.7) a:+(a,+a,k=∬ob 2为柱体的截面，以上三个方程，正好确定三个待定常数α，b,c,广义平面应变问题的解 就是按平面应变问题解出的Ox,O,T,和O=O!+V(o,+O,)。按照圣维南原理，这样做 除了端面附近外与真实情况无太大差别。 平面应力问题和平面应变问题的平衡方程，几何方程相同，本构关系形式相同，可以合 在一起研究，统称为平面问题。 3
3 1 (1 ) ( ) 1 (1 ) ( ) 1 x x xy y y xy xy xy E E E E E ν ν ν ε σ σσ ν νν ε σ σσ ν ε τ + + =− + + + =− + + = (7.5) 形式与平面应力不同。 如果令 1 11 1 1 2 2 1 1 (1 2 ) ,(, ) 1 1 1 (1 ) E E E E ν ν ν ν ν ν νν ν + = == = − −+ + ，则应力-应变关系(7.5)可以写成 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 x x xy y y xy xy xy E E E E E ν ν ε σ σσ ν ν ε σ σσ ν ε τ + = −+ + = −+ + = (7.6) 这样就和平面应力问题的本构关系形式相同。 如果柱体两端不是刚性约束(可以自由伸缩或受载荷)，称为广义平面应变问题，这时可能 ( ) σ z xy ≠ + νσ σ ，可以通过叠加一组在横截面上线性分布的轴向力 z σ′ =++ ax by c 来解 决，使 ( ) σ z xy ′ + + νσ σ 与实际载荷 * σ z 静力等效，即 * * * ( ( )) ( ( )) ( ( )) z xy z z xy z z xy z ds ds xds xds yds yds σ νσ σ σ σ νσ σ σ σ νσ σ σ Ω Ω Ω Ω Ω Ω ′ ++ = ′ ++ = ′ ++ = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ (7.7) Ω 为柱体的截面，以上三个方程，正好确定三个待定常数 abc , , ，广义平面应变问题的解 就是按平面应变问题解出的 , , σ x σ τ y xy 和 ( ) σ z z xy =σ νσ σ ′ + + 。按照圣维南原理，这样做 除了端面附近外与真实情况无太大差别。 平面应力问题和平面应变问题的平衡方程，几何方程相同，本构关系形式相同，可以合 在一起研究，统称为平面问题
0 图2平面应变问题 >平面问题的基本方程 1 几何方程：8=2aA+"ea)(a,B=12) 平衡方程：0.B+f。=0(a,B=1,2) 本构关系： E=E,V=V plane stress E -兰ondw(a,B,7=l2 plane strain 应变协调方程： + 06g ©2 Oxoy 加上边界条件，就构成了平面问题求解的基本要素。 >以位移表示的平面问题的方程 整体形式： ++业vw+f=0 72u (7.8) 1-1 4
4 图 2 平面应变问题 ¾ 平面问题的基本方程 几何方程： , , 1 ( ) ( , 1,2) 2 u u αβ α β β α ε αβ =+ = 平衡方程： , f 0 ( , 1,2) σ αβ β α += = α β 本构关系： 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , plane stress 1 ( , , 1,2) , plane strain (1 ) 1 E E E E E E αβ αβ γγ αβ ν ν ν ν ε σ σ δ αβγ ν ν ν ν ⎧ = = + ⎪ =− = ⎨ = = ⎪ ⎩ − − 应变协调方程： 2 2 2 2 2 2 x y xy y x xy ∂ ε ∂ ∂ ε ε + = ∂ ∂ ∂∂ 加上边界条件，就构成了平面问题求解的基本要素。 ¾ 以位移表示的平面问题的方程 整体形式： 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 ν ν μ + ∇ + ∇∇ + = − u u f0 i (7.8)
分量形式： +yau+o必)+1f=0 Vu+ 1-v dx dx dy 1+yau+0)+1f,=0 (7.9) 1-v ay ax dy 其中V2= 3+、 是=维Laplace算子，了= i+j二维Hamlon算子。 8x >以应力表示的平面问题的方程 将本构关系 E _4(6,+0,) E +6,E y= (o,+0y) (7.10) E 1+yt对 w E 代入应变协调方程： 0型，得 axdy s ⊙2 8o-v dx2 0+0）=20+wa 2 (7.11) 从平衡方程 t型+f.=0 00x+ Ox y (7.12) a0z+,=0 a7.12+7.122得 y + d2 o+2 +头+=0 (7.13) Oxoy dx oy (7.11)八(7.13)消去t,得( *家a,+a,J+0+yx+）=0,即 2 Ox oy 72(o.+o,)+(1+y)7f=0 (7.14) 无体力时，72(o+0,)=0。 7.2Airy应力函数
5 分量形式： 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 () 0 1 1 1 () 0 1 x y u v u f xx y u v v f yx y ν ν μ ν ν μ ⎧ + ∂∂ ∂ ∇+ + + = ⎪ ⎪ −∂∂ ∂ ⎨ + ∂∂ ∂ ⎪∇+ + + = ⎪ −∂∂ ∂ ⎩ (7.9) 其中 2 2 2 2 2 x y ∂ ∂ ∇= + ∂ ∂ 是二维 Laplace 算子， x y ∂ ∂ ∇= + ∂ ∂ i j 二维 Hamilton 算子。 ¾ 以应力表示的平面问题的方程 将本构关系 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 x x xy y y xy xy xy E E E E E ν ν ε σ σσ ν ν ε σ σσ ν ε τ + = −+ + = −+ + = (7.10) 代入应变协调方程： 2 2 2 2 2 2 x y xy y x xy ∂ ε ∂ ∂ ε ε + = ∂ ∂ ∂∂ ，得 2 2 2 22 22 22 1 1 ( ) 2(1 ) x x y y xy y x x y xy σ σ σ σ τ ν ν ∂ ∂ ∂ ∂∂ + − + =+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ (7.11) 从平衡方程 0 0 x xy x xy y y f x y f x y σ τ τ σ ⎧∂ ∂ + + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + + = ⎪ ⎩ ∂ ∂ (7.12) 1 2 (7.12) (7.12) x y ∂ ∂ + ∂ ∂ 得 2 2 2 2 2 2 0 x x y xy y f f x y xy x y ∂ ∂ σ ∂∂ ∂ σ τ + + ++= ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ (7.13) (7.11)、(7.13)消去 xy τ 得 2 2 2 2 1 ( )( ) (1 )( ) 0 x y x y f f x y xy σσ ν ∂ ∂ ∂ ∂ + + ++ + = ∂ ∂ ∂∂ ，即 2 1 ( ) (1 ) 0 ∇ + ++ ∇= σσ ν x y if (7.14) 无体力时， 2 ( )0 ∇ += σ σ x y 。 7.2 Airy 应力函数
I无体力情形 00x+ ty二0 ax dy (7.15) 0t型+ 0y二0 Ox y 应力协调方程：7(o,+0,)=0。 如果能找到一个函数A,使得0，= 0A ,则平衡方程第一式可自动满足，A可 Cx 以按下面的步骤来求 y) (7.16) (x0）(0%） an (0） 同理，存在函数B,使得O,=- -,Tx ,平衡方程第二式自动满足，并且有 O ov 8A OB=0 (7.17 ax dy 8 aU aUaU aU 再引进函数U,使A= ,则0x= y 0x2w=- Oxoy 将应力的表达式代入应力协调方程，有 727U=0 (7.18) 即 aU 分+2_⊙0，+Y=0 (7.19) 平面问题就归结为寻找满足边界条件的双调和函数U。 Ⅱ有体力情形 ()常体力，∫，∫，都是常量 平衡方程 0o+g+j=0 Ox dy 0ts0c+f=0 Ox ay (7.20) 可改写为 6
6 I 无体力情形 0 0 x xy xy y x y x y σ τ τ σ ⎧∂ ∂ + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + = ⎪ ⎩ ∂ ∂ (7.15) 应力协调方程： 2 ( )0 ∇ += σ σ x y 。 如果能找到一个函数 A ，使得 , x xy A A y x σ τ ∂ ∂ = =− ∂ ∂ ，则平衡方程第一式可自动满足， A 可 以按下面的步骤来求 00 00 00 (,) (,) (,) (,) (,) (,) ( ) ( (,) (,) ) xy xy xy xy x xy xy xy A A A dA d d d d ξ η τ ξη ξ σ ξη η ξ η ∂ ∂ = = + =− + ∂ ∂ ∫∫ ∫ (7.16) 同理，存在函数 B ，使得 , y xy B B x y σ τ ∂ ∂ =− = ∂ ∂ ，平衡方程第二式自动满足，并且有 0 A B x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ (7.17) 再引进函数U ，使 , U U A B y x ∂ ∂ = =− ∂ ∂ ，则 22 2 2 2 , , x y xy UU U y x xy σστ ∂ ∂ ∂ = = =− ∂ ∂ ∂∂ 。 将应力的表达式代入应力协调方程，有 2 2 ∇ ∇ = U 0 (7.18) 即 4 44 4 22 4 2 0 U UU x xy y ∂ ∂∂ + + = ∂ ∂∂ ∂ (7.19) 平面问题就归结为寻找满足边界条件的双调和函数U 。 II 有体力情形 (1) 常体力， , x y f f 都是常量 平衡方程 0 0 x xy x xy y y f x y f x y σ τ τ σ ⎧∂ ∂ + + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + + = ⎩ ⎪ ∂ ∂ (7.20) 可改写为
o,+f+0型=0 +- Ox y (7.21) a(o,+fy) =0 Ox y 令O+x=O,O,+∫y=σ，t=T,因为体力是常量，所以仍然有 7(o+σ，)=0。同样引入Aiy应力函数U',满足双调和方程，应力分量可表示为 a'U' 2'=U,o=ay,5=- a2, Oxoy (fx 但对这类问题应注意边界条件的表述，T'=(T +o f.y i+(nLx.). 其中n=(n,2)为边界的法向，f为边界上己知面力。 (2)体力有势，即∫= d 一，0为势函数。 令o:=0+,O,=0,+p,t,=t,’则o,O),t满足无体力的平衡方程，可以用 OU Aiy应力函数表示应力分量，σ：= U aU 2,s r2,、 Oxoy 但这时应力协调方程为：7(o+σ)=(1-y)7p,应力函数U满足下列方程 V27U=(1-y)70 (7.22) 如果p是调和函数则有727U=0。 常见的体力有重力和惯性力，有体力的问题，解题时应注意边界条件的表达。 >平面问题的解法 逆解法：猜到Aiy应力函数U的形式或给定U的形式看能解什么问题。 半逆解法：根据所研究问题的边界形状和受力状况假定应力函数U的形式，如x(y),(x) 等，求出U后，如果发现不满足边界条件或推出矛盾，须另做假设。 推理型解法：不必事先做假设，例如后面将要学习的复变函数解法，及近年来钟万勰院士大 力倡导的Hamilton体系、辛体系解法。 7.3平面问题的直角坐标解法 7.3.1多项式解 以下假设无体力。 (1)应力函数取一次式U=a+bx+Cy,显然是双调和函数，算出应力分量都是零
7 ( ) 0 ( ) 0 x x xy xy y y f x x y f y x y σ τ τ σ ⎧∂ + ∂ + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂+ ⎪ + = ⎪ ⎩ ∂ ∂ (7.21) 令 , , x x x y y y xy xy σ += += = fx fy σσ στ τ ′ ′′ ，因为体力是常量，所以仍然有 2 ( )0 σ σ x y ∇ += ′ ′ 。同样引入 Airy 应力函数U′ ，满足双调和方程，应力分量可表示为 22 2 2 2 , , x y xy UU U y x xy σστ ∂∂ ∂ ′′ ′ ′ ′′ = = =− ∂ ∂ ∂∂ 。 但对这类问题应注意边界条件的表述， 1 2 0 ( ) ( , ) 0 x x y y f x nfx nf y f y ⎛ ⎞ ′ = + =+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n n i i TT t ， 其中 1 2 n = (, ) n n 为边界的法向， t 为边界上已知面力。 (2) 体力有势，即 , x y f f x y ∂ ∂ ϕ ϕ = = ∂ ∂ ，ϕ 为势函数。 令 , , σ x σ ϕσ σ ϕτ τ x y y xy xy ′′′ =+ =+ = ，则 , , σ x σ τ y xy ′ ′ ′ 满足无体力的平衡方程，可以用 Airy 应力函数表示应力分量， 22 2 2 2 , , x y xy UU U y x xy σστ ∂ ∂ ∂ ′ ′′ = = =− ∂ ∂ ∂∂ 。 但这时应力协调方程为： 2 2 1 ( ) (1 ) ∇ + =− ∇ σ x y ′ ′ σ νϕ ，应力函数U 满足下列方程 22 2 1 ∇ ∇ =− ∇ U (1 ) ν ϕ (7.22) 如果ϕ 是调和函数则有 2 2 ∇∇ = U 0。 常见的体力有重力和惯性力，有体力的问题，解题时应注意边界条件的表达。 ¾ 平面问题的解法 逆解法：猜到 Airy 应力函数U 的形式或给定U 的形式看能解什么问题。 半逆解法：根据所研究问题的边界形状和受力状况假定应力函数U 的形式，如 xf y yf x ( ), ( ) 等，求出U 后，如果发现不满足边界条件或推出矛盾，须另做假设。 推理型解法：不必事先做假设，例如后面将要学习的复变函数解法，及近年来钟万勰院士大 力倡导的 Hamilton 体系、辛体系解法。 7.3 平面问题的直角坐标解法 7.3.1 多项式解 以下假设无体力。 (1) 应力函数取一次式U a bx cy =+ + ，显然是双调和函数，算出应力分量都是零
(2)二次式，U=ax2+bxy+Cy2,显然也是双调和函数。 (a)先看U=a2,O,=0,0,=2a,t,=0,可解决矩形板受y方向均匀拉伸或压缩问题。 2a 2a 图3 (b)U=y2,对应于x方向均匀拉伸或压缩问题。 (⊙)U=by,O,=0,0,=0,t=-b,可解决矩形板受均布剪力问题。 17 图4 (3)三次式，U=ay3,应力分量是：0=6ay,0,=0,T,=0，两端合力为零，只有力 矩，能解决矩形板的纯弯曲问题
8 (2) 二次式， 2 2 U ax bxy cy =++ ，显然也是双调和函数。 (a) 先看 2 U ax = ， 0, 2 , 0 x y xy σ == = σ τ a ，可解决矩形板受 y 方向均匀拉伸或压缩问题。 图 3 (b) 2 U ay = ，对应于 x 方向均匀拉伸或压缩问题。 (c) U bxy = ， 0, 0, x y xy σ = σ τ = =−b，可解决矩形板受均布剪力问题。 图 4 (3) 三次式， 3 U ay = ，应力分量是： 6 , 0, 0 x y xy σ = ay σ τ = = ，两端合力为零，只有力 矩，能解决矩形板的纯弯曲问题。 x y b 2a x y 2a
图5 注意，当应力函数取为坐标x,y的三次或三次以上的多项式时，应力分量不是常量而是 坐标的函数。这时，对同一弹性体，如果选取不同的坐标系，将得出不同的应力分布，因而 解决的是不同的问题。例如对于图5中的矩形板，如果x轴不取在板的中线上，则应力函数 U=y3所解决的将不是纯弯曲问题，而是偏心受拉或偏心受压的问题。 如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则其中系数必须满足一定条件，以使其满 足双调和方程。 7.3.2矩形梁的纯弯曲 矩形截面梁，长为1，高度为h,厚度远小于长度和高度，为简便起见，取宽度为1。 图6 上下边（面）表面自由，左右两端受到力矩为M的力偶的作用而弯曲，没有y方向的面力。 取应力函数U=ay3,则应力分量为：0，=6y,0,=0,t=0。 边界条件： (-3ah 0 上边：n=(0,-1),(0,-1) 0 =(0,0),所以上边的边界条件满足。 0 同样，下边的边界条件也满足。 9
9 图 5 注意，当应力函数取为坐标 x, y 的三次或三次以上的多项式时，应力分量不是常量而是 坐标的函数。这时，对同一弹性体，如果选取不同的坐标系，将得出不同的应力分布，因而 解决的是不同的问题。例如对于图 5 中的矩形板，如果 x 轴不取在板的中线上，则应力函数 3 U ay = 所解决的将不是纯弯曲问题，而是偏心受拉或偏心受压的问题。 如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则其中系数必须满足一定条件，以使其满 足双调和方程。 7.3.2 矩形梁的纯弯曲 矩形截面梁，长为l ，高度为 h ，厚度远小于长度和高度，为简便起见，取宽度为1。 图 6 上下边(面)表面自由，左右两端受到力矩为 M 的力偶的作用而弯曲，没有 y 方向的面力。 取应力函数 3 U ay = ，则应力分量为： 6 , 0, 0 x y xy σ = ay σ τ = = 。 边界条件： 上边： n = − (0, 1)， 3 0 (0, 1) (0,0) 0 0 ⎛ ⎞ − ah − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，所以上边的边界条件满足。 同样，下边的边界条件也满足。 x y O A M M h 1 l x y
右边：n=(1,0),(1,0) 0x0 0 =(σ，0)=(6y,0),要满足右端的边界条件，须使 0 h/2 h/2 ody=0 o:ydy=M (7.23) -h/2 -h/2 2M 由此得a= 户。矩形截面的惯性矩1=1×片， ,所以应力分量可表示为： 12 M 0x= 八0，=0，tw=0,与材料力学中结果完全相同。 因为通过应力函数求出的应力分量己经满足平衡方程，所以只要右端边界条件满足，左 端边界条件就自动满足。 如果实际力偶的面力的确是线性分布的，则为精确解。如果实际面力不是线性分布的， 对于长度远大于高度的情形，根据圣维南原理，只在两端附近有显著误差，在远离梁两端处 有很好的精度。对于长度和高度接近的所谓深梁，则不能应用圣维南原理。 >求位移分量 M ΓE6=0,即 由本构关系求出应变：6，=号=- ou Myov_vMy.OuOv=0 (7.24) dy dx 由上式第一、二两式可解出 u=M +0) (7.25) v= 2E可严+5) 其中fy),(x)为任意函数。 代入(.25)第三式，得 -=)+ x (7.26) EI 上式中左边是y的函数，右边是x的函数，只可能两边等于同一常数，即 fy)=-0 )+ Efx=0 (7.27 由此可解出，∫ f=-0y+4 M (7.28) =- x2+@x+Vo 2EI o
10 右边： n = (1,0) ， 0 (1,0) ( ,0) (6 ,0) 0 0 x x ay σ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ ，要满足右端的边界条件，须使 /2 /2 /2 /2 0, h h x x h h σ σ dy ydy M − − = = ∫ ∫ (7.23) 由此得 3 2M a h = 。矩形截面的惯性矩 3 1 12 h I × = ，所以应力分量可表示为： , 0, 0 x y xy M y I σ στ = == ，与材料力学中结果完全相同。 因为通过应力函数求出的应力分量已经满足平衡方程，所以只要右端边界条件满足，左 端边界条件就自动满足。 如果实际力偶的面力的确是线性分布的，则为精确解。如果实际面力不是线性分布的， 对于长度远大于高度的情形，根据圣维南原理，只在两端附近有显著误差，在远离梁两端处 有很好的精度。对于长度和高度接近的所谓深梁，则不能应用圣维南原理。 ¾ 求位移分量 由本构关系求出应变： , , 0 x y xy M M y y EI EI ν εε ε = =− = ，即 , , 0 uM v M u v y y x EI y EI y x ∂ ∂ ∂∂ ν = =− + = ∂ ∂ ∂∂ (7.24) 由上式第一、二两式可解出 1 2 2 ( ) ( ) 2 M u xy f y EI M v y fx EI = + =− + (7.25) 其中 1 2 f ( ), ( ) y fx 为任意函数。 代入(7.25)第三式，得 1 2 () () M f y fx x EI −= + ′ ′ (7.26) 上式中左边是 y 的函数，右边是 x 的函数，只可能两边等于同一常数，即 1 2 ( ) ( ) f y M fx x EI ω ω ′ = − ′ + = (7.27) 由此可解出 1 2 f , f 1 0 2 2 0 2 f yu M f x xv EI ω ω = − + = − ++ (7.28)
