附录Ⅰ截面的几何性质 第一节静矩和形心 第二节惯性矩和惯性积 第三节 惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式 第四节主惯性轴和主惯性矩 第五节组合截面惯性矩的计算 结 返回
附录Ⅰ 截面的几何性质 • 静矩和形心 • 惯性矩和惯性积 • 惯性矩和惯性积的 • 平行移轴和转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩 • 组合截面惯性矩的计算 • 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 返回 第五节
附录I截面的几何性质 第一节静矩和形心 、静矩(面积矩)定义:微面积dA对 z轴和y轴的静矩分别为ydA和x·d4 截面(面积A)对z轴和y轴的静矩分 CA 别为: ∫,ya S=|z·dA 静矩为代数值。静矩单位:m2;mmi 不同截面对同一坐标轴的静矩不同;同 截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为za、y,将面积视为平行力(即看作等 厚、均质薄板的重力),由合力矩定理可得: ydA= A. y: z·d4=A.z 当S=0或S=0时,必有y2=0或z=0,可知截面对某轴的静 矩为零时,该轴必通过截面形心;反之,若某轴通过形心, 则截面对该轴的静矩为零。 返回下一[小结
附录Ⅰ 截面的几何性质 • 第一节 静矩和形心 一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对 z轴和y轴的静矩分别为 y dA 和 z dA 截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分 别为： ; A y ; S z dA A z S y dA 静矩为代数值。静矩单位： ; ; 3 3 m mm 不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同 一截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等 厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得： ; c A z S y dA A y ; c A y S z dA A z 当Sz =0或Sy =0时，必有yc =0或zc =0，可知截面对某轴的静 矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心， 则截面对该轴的静矩为零。 返回 下一张 上一张 小结
形心公式: 三、组合截面的静矩:n个简单图形组成的截面,其静矩为: ∑A ∑A 四、组合截面形心公式: ∑4 ∑A i=1 yc ∑A ∑A = 例5-1求图示T形截面形心位置。 0.6 解:取参考坐标轴y、z由对称图形,z=0 分解图形为1、2两个矩形,则 A1=0.072m,y1=246m,A2=0.48m2,y2=1.2m, 0.072×2.46+048×1.2 =1.36m A,+A2 0.072+0.48 若分解为1、2、3三个矩形,则 0.6×2.52×(1.26-1.2) =0.16m 0.2 0.6×2.52-2×0.2×24 返回下一咽[一小结
二、形心公式： ; . A S z A S y y c z c 三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为： ; 1 n i z i ci S A y ; 1 n i y i ci S A z 四、组合截面形心公式： ; 1 1 n i i n i i ci c A A y y ; 1 1 n i i n i i ci c A A z z 例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则 0.072 , 2.46 ; 0.48 , 1.2 ; 2 2 1 2 2 A1 m y m A m y m 1.36 ; 0.072 0.48 0.072 2.46 0.48 1.2 1 2 1 1 2 2 m A A A y A y yc 若分解为１、２、３三个矩形，则 0.16 ; 0.6 2.52 2 0.2 2.4 0.6 2.52 (1.26 1.2) y' c m 返回 下一张 上一张 小结
第二节惯性矩和惯性积 极惯性矩 定义:平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点O的距离p平方的乘积p2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。 截面对坐标原点o的极惯性矩为: PLoid: 简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算 实心圆截面:12=2n2274 D D 32 空心圆截面:1=1(1-)(a 、惯性矩: 定义:平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为: y2dA和z2dA;则整个图形(面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为: ydA dA 回
第二节 惯性矩和惯性积 一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ 2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。 截面对坐标原点o的极惯性矩为： A P I dA; 2 简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。 实心圆截面： ; 32 2 4 2 0 2 D I dA D P 空心圆截面： (1 );( ) 32 4 4 D D d IP 二、惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为： y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为： ; 2 A z I y dA ; 2 A y I z dA 返回 下一张 上一张 小结
惯性矩是对某轴而言的,同一截面对不同轴的惯性矩值不同 惯性矩单位:m4或mm4;惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。 三、惯性积: 定义:平面图形内,微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 CA 为该图形对z、y轴的惯性积 ·y·dA; 特点:①惯性积是截面对某两个正交 坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积 均不同。惯性积是代数值。 ②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。 单位:m,mm 返回下一州
定义:平面图形内，微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形对z、y轴的惯性积。 ; A zy I z y dA 特点：①惯性积是截面对某两个正交 坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积 均不同。惯性积是代数值。 单位： , ; 4 4 m mm ②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。 惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。 返回 下一张 上一张 小结 三、惯性积：
例5-2求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积 解:取yoz坐标系。取微面积dA=bdy则: h/2 bh 中y da da dA bdi h/2 12 取微面积dA=hdz,则: b/2 hb dA hdz b/2 12 取微面积dA=dzdy,则:Iy=0 例5-3圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解:取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy则: r dA 丌R+mD 2 y R 丌D4 4 由对称性:l,=l P 61由几何关系:p2=y2+2 PdA=l( +2 da=1,+l 返回下一州
例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则： ; 12 3 / 2 / 2 2 2 bh I y dA y bdy h A h z ; 12 3 / 2 / 2 2 2 hb I z dA z hdz b A b y 取微面积dA=hdz,则： 例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则： ; 4 64 2 4 4 2 2 2 2 R D I y dA y R y dy R A R z ; 64 4 D I I y z 由对称性： , 2 2 2 由几何关系： ＝y z ( ) . 2 2 2 Z y A A P I dA y z dA I I 取微面积dA=dzdy，则： 0; zy I 返回 下一张 上一张 小结
第三节惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式 、平行移轴公式: 1=Jyl4=∫ V+a) da A ∫y2dA+2aJyd4+a2JdA +aa I+ba l=Ⅰ+abA 注意:y、z轴必须是形心轴 二、转轴公式 Ly dA= l(ycosa-zsin a) dA A cos 20-. sin 2a +1 cos 20+. sin 2a 2 2 sin2a+I·cos2a 21y1 2 返回下一迅上一咽小结
第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式 一、平行移轴公式： y dA a ydA a dA y dA y a dA A z 2 2 2 1 1 2 ( ) ; 2 y1 y b A ; 1 1 I z y I zy abA ; 2 I z1 z a A 注意：y、z轴必须是形心轴。 二、转轴公式： cos 2 sin 2 ; 2 2 1 zy z y z y z I I I I I I cos 2 sin 2 ; 2 2 1 zy z y z y y I I I I I I sin 2 cos 2 ; 2 1 1 zy z y z y I I I I ( cos sin ) ; 2 2 1 1 A A Iz y dA y z dA 返回 下一张 上一张 小结
第四节主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴(主轴)一使截面对z、y轴的惯性积l。=0的这对 正交坐标轴; 主惯性矩(主惯矩)—截面对主惯性轴的惯性矩; 形心主惯性轴(形心主轴)一通过形心的主惯性轴; 形心主惯性矩(形心主惯矩)一截面对形心主轴的惯性矩。 特点:①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值; ②有一根对称轴的截面,形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴 ③有两根对称轴的截面,形心主轴是两根对称轴; ④无对称轴的截面,由转轴公式求对形心的惯性积为零 的α角,即形心主惯性轴 第五节组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时,应先确定形 心位置、形心主轴,再求形心主惯性矩。 返回下一州上一小
第四节 主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积 的这对 正交坐标轴； 特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值； ②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴； ③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 角，即 形心主惯性轴。 0 o o z y I 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。 o 第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。 返回 下一张 上一张 小结
例5-4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解(1)确定形心坐标y Ayi+ A2 y2 A,+a 500×5+500×(0+25)20cmr 500+500 (2)计算形心主惯性矩: (z、y轴即形心主轴) 单位:cm 50×10 CfA 0-5)2×500=17×10cm; 12 10×50 I2=I2+a2A2= 12+(35-20)×500=217×10cm, I2=L21+12=(117+217)×10=3.34×10°cm; 返回
例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc. 20 ; 500 500 500 5 500 10 25 1 2 1 1 2 2 cm y y yc 35 20 500 2.17 10 ; 12 10 50 20 5 500 1.17 10 ; 12 50 10 2 5 4 3 2 2 2 2 2 2 5 4 3 1 2 1 1 1 a cm a cm z z z z 1 17 2 17 10 3.34 10 ; 5 5 4 1 2 z z z cm (2)计算形心主惯性矩： (z、y轴即形心主轴） 返回 下一张 上一张 小结
小结 、静矩:S:=Jyd=4-y:S,= z·dA=A·z 性质:截面对某轴的静矩为零时,该轴必通过截面形心; 极惯性矩: PdA 实心圆截面:n=zD:空心圆截面 D (1-a)(a= 32 D 、惯性矩:=y2d4,==ad 矩形截面:1 bh hb 圆形截面:Ln=l D 12 12 64 几何关系:=∫p24-J(+=)4=1z+ 四、惯性积: I,=l=y.d4; 五、平行移轴公式 =12+a4=1+b24:1=1+ab4 返回下一型[[小结
小 结 一、静矩： ; c A z S y dA A y ; c A y S z dA A z 性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心； A P I dA; 2 ; 32 4 D I P (1 );( ) 32 4 4 D D d IP 二、极惯性矩： 实心圆截面： 空心圆截面： 三、惯性矩： ; 2 A z I y dA ; 2 A y I z dA ; A zy 四、惯性积： I z y dA 矩形截面： ; 圆形截面： 12 3 bh Iz ; 12 3 hb I y ; 64 4 D I I y z ( ) . 2 2 2 Z y A A P I dA y z dA I I 几何关系： 五、平行移轴公式： ; 2 y1 y b A ; 1 1 ; I z y I zy abA 2 I z1 z a A 返回 下一张 上一张 小结