上海交通大学：《弹性理论》教学资源（课程讲义）第2章矢量和张量

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第二章矢量和张量力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向的物理量称为标量，例如温度、密度、时间等，既有大小又有方向的物理量称为矢量，例如矢径、位移、速度、力等。具有多重方向性的更为复杂的物理量称为张量，例如一点的变形需要用六个应变分量来描述，一点的应力状态可以用应力张量来表示，它们具有二重方向性。有必要了解一些这类量的一般知识，标量和矢量也可以看作是零阶和一阶张量。 2.1 矢量三维空间中矢量定义为具有给定大小和方向的有向线段。在给定坐标系中，一个矢量表示为：，设有另一个坐标系 123 {, , } eee 11 2 2 33 a = aa a e e + + e 123 {, , } eee ′ ′ ′ ，两个坐标系之间的关系为： 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 31 1 32 2 33 cc c cc c cc c ⎧ ′ =++ ⎪ ⎨ ′ =++ ⎪ ⎩ ′ =++ eee e ee e ee 3 3 e e e 2 (2.1) 写成矩阵的形式为 1 1 2 3 3 ⎧ ′ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ′ = ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ′ ⎩⎭ ⎩⎭ C e e e e e ⎪ e T = CC a (2.2) 123 {, , } eee ′′′ 、均为直角坐标系，单位向量互相正交，也互相正交，由此可推出 123 {, , } eee 123 eee , , 123 eee ′′′ , , 1 1 T T 2 123 2 123 3 3 {, , } {, , } ⎧⎫ ⎧⎫ ′ ⎪⎪ ⎪⎪ == = ⎨⎬ ⎨⎬ ′ ′′′ ⎪⎪ ⎪⎪ ′ ⎩⎭ ⎩⎭ I CC CIC e e e eee e eee e e (2.3) 所以， CC I T = I 为单位矩阵，即为正交矩阵。 C 设向量a 在坐标系中的坐标为，则 123 {, , } eee 123 (, , ) aa a 1 1 123 2 123 2 3 3 {, , } {, , } a a a a a ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ = ′′′ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎭ ⎩⎭ a = eee eee C ⎪ (2.4) 由此可知向量a 在坐标系中的坐标为 123 {, , } eee ′′′ 1

a a =C a (2.5) >。约定求和(Einstein约定求和) 向量a在坐标系{e,e2,e}中可以表示为a=a,e,+ae2+ae,用约定求和表示即为 a-ae=ak (2.6) i=l 在同一项内一个指标的重复表示对该指标在它的取值范围内遍历求和，重复指标称为哑指标，不求和的指标称为自由指标。向量a可表示为a=a,e,=ae,(哑标与积分变量类似∫f(x)k=∫fy)) 两坐标系间的关系可写为e=Cej,e,=Cme。 a=ae=ace=acie=ae a=ca (2.7) 矩阵相乘A={a},B={bn},AB={akbg}。 >Kronecker delta符号δ =11=16,=12, (2.8) 10 i≠j e=Ckek,e=Cmem→δ=e;·e,=CtCmδm=CCk (2.9) 即CC=I,6对应于单位矩阵。向量的内积：a=a,e,b=b,e,ab=a,e,b,e,=a,b,δ，=a,b。上面的运算过程中，δ的作用好像是将下标广换成i,所以也称为换指标符号。 >置换符号(Permutation symbol) 1 i,j,k是偶排列 6k= i,j,k是奇排列 (2.10) 0 i,j,k中任意两个相等 {i,,k}称为偶排列如果其逆序数为偶数，{i,j,k}称为奇排列如果其逆序数为奇数。 6123=6231=6312=1,6213=6321=6132=-1，其它情形等于零。坐标系{e}单位向量间的叉乘可表示为：e,×e,=Eek

1 1 2 3 3 a a a a a ′ 2 a ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ′ = ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ′ ⎩⎭ ⎩⎭ C ⎪ (2.5) ¾ 约定求和(Einstein 约定求和) 向量a 在坐标系中可以表示为 123 {, , } eee 11 2 2 3 3 a = aa a e e + + e e e ，用约定求和表示即为 (2.6) 3 1 ii ii i a a = a = ∑ e = 在同一项内一个指标的重复表示对该指标在它的取值范围内遍历求和，重复指标称为哑指标，不求和的指标称为自由指标。向量可表示为 a a = a a ii j j e = (哑标与积分变量类似 () () b b a a f x dx f y dy = ∫ ∫ )。两坐标系间的关系可写为e ee i ij j i ji ′ ′ = = c c , ei 。 a i i i ji j j ij i i i i ij j a = = = = ⇒= a ac a c a a c e e ee ′ ′ ′′ ′ (2.7) 矩阵相乘 A B AB == = { }, { }, { } ab a ij ij ik kj b 。 ¾ Kronecker delta 符号 ij δ 1 ( , 1,2,3) 0 ij i j i j i j δ ⎧ = = ⎨ ⎩ ≠ = c (2.8) , i ik k j jm m ij i j ik jm km ik jk e e e e ee ′ ′ ′′ = = ⇒ =⋅ = = c c cc c δ δ (2.9) 即 CC I T = ， ij δ 对应于单位矩阵。向量的内积： , , ii ii i i j j i j ij i i a b ab = = ⋅= ⋅ = = a b a b ab ab e e ee δ 。上面的运算过程中， ij δ 的作用好像是将下标 j 换成i ，所以也称为换指标符号。 ¾ 置换符号(Permutation symbol) 1 , , 1 , , 0 , , ijk i jk i jk i jk ε ⎧ ⎪ = −⎨ ⎪ ⎩ 是偶排列是奇排列中任意两个相等 (2.10) {, , } i jk 称为偶排列如果其逆序数为偶数，{ ,i jk, }称为奇排列如果其逆序数为奇数。 123 231 312 213 321 132 ε = = = = = =− εε εεε 1, 1，其它情形等于零。坐标系{e}单位向量间的叉乘可表示为： i j ijk k ee e × = ε 。 2

两向量的叉乘可写为：a×b=a,e,×b,e,=a,b,eek。行列式可表示为det(a)=6a,424k(亿，j,k=1,2,3) >E秋和，之间的关系有如下关系： Epijpks=dkds-dδ (2.11) 证明：双叉乘公式a×(b×c)=(ac)b-(ab)c,a=a,e,b=bek,c=C,e, 右边=a,c6be-a,bdc,e,=(a,bc,d⊙-a,bc,δdg)e, 左边=a,e,×(b4ek×C,e,)=a,e,×(bC,6ke)=a,bC,EEe,=-a,bC,EpksEpyiej 因此a,b,c,[Ep5k-(⊙⊙-d8e,=0，由a,b,c的任意性，推出括号内为零。 2.2张量简介应变张量T有六个分量，在坐标变换下有：下'=CTCT。一般地说，把在坐标变换下满足A'=CACT变换规律的量称为张量。向量a可以写为：a=ae1+ae2+ae3。类似地，二阶张量A可以表示为：A=A,e,e,e,e,称为并矢基(9个)，在坐标系{e}下其分量为： Ay=Cucjs Aks (2.12) 类似地，可以定义高阶张量，B=Be,e,ee 矢量可以看作是一阶张量，二阶张量对应于矩阵，在本课程中，大多数情况下遇到的都是二阶张量。张量的运算 A=Aee B=B eej A±B=(A,±B,)e,e, (2.13) AT=Aeej 如果AT=A,A称为对称张量，如果AT=-A,A称为反对称张量， -03 02 03 0 -0 (2.14) -02 0 0 A可以表示为： 3

两向量的叉乘可写为： i i j j i j ijk k a b= × ×= a b ab ee e ε 。行列式可表示为 12 3 det( ) ( , , 1, 2,3) ij ijk i j k a aa a i jk = = ε ¾ ijk ε 和 ij δ 之间的关系有如下关系： pij pks ik js is jk ε ε δδ δδ = − (2.11) 证明：双叉乘公式a b c) a c b a b c × ( ()( ×=⋅ −⋅ ) , , ii kk ss , ab c = ab c eee = = . 右边= ( ) i s is k k i k ik s s i k s is kj i k s ik sj j ac b ab c ab c ab c δ e e −= − δ δ δ δ δ e 左边= ( )( ) i i k k s s i i k s ksl l i k s ksl ilj j i k s pks pij j ae b e ce ae b c e ab c e ab c e × × = × = =− ε εε ε ε 因此 [ ( )] i k s pij pks ik js is jk j ab c ε ε δδ δδ − − = e 0 ，由的任意性，推出括号内为零。 abc , , 2.2 张量简介应变张量Γ 有六个分量，在坐标变换下有： T Γ′ = C CΓ 。一般地说，把在坐标变换下满足 A CAC ′ = T 变换规律的量称为张量。向量可以写为： a 11 2 2 3 3 a = aa a e e + + e 。类似地，二阶张量可以表示为： A A = Aij i j e e ，称为并矢基(9 个)，在坐标系{ 下其分量为： i j e e e′} Aij ik js ks ′ = cc A . (2.12) 类似地，可以定义高阶张量，B = Bijkl i j k l ee e e 。矢量可以看作是一阶张量，二阶张量对应于矩阵，在本课程中，大多数情况下遇到的都是二阶张量。张量的运算 T , ( ) ij i j ij i j ij ij i j ji i j A B A B A = = ±= ± = A B A B A ee ee e e e e (2.13) 如果，称为对称张量，如果 T A A= A T A A = − ，称为反对称张量， A 3 2 3 2 1 0 0 0 1 ω ω ω ω ω ω ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − A − ⎟ (2.14) A 可以表示为： 3

A=-8张0k (2.15) 1 (2.16) 0=0,e,称为反对称张量的轴矢量。由于I=CIC,6也是张量，称为单位张量。 ~张量的迹(Trace) J(A)=A=A,+A2+A3 (2.17) I,=J(T),第一不变量（体积应变）。张量(A)与矢量(a)的运算点乘：Aa=A,e,e,ae:=A,ae,⊙k=A,aje,(相当于A a a·A=a,e,Ae,ek=a,Ax8jek=ajA4ex(相当于(a1a2a3）A)。如果A是反对称张量，则A·a=-60e,e,·Amem=-￡0e,0mam=-80a,e,=0×a 叉乘：A×a=A,e,e,×ae=A,aEee,(相当于a分别叉乘A的一、二、三行作为行组成一个矩阵)。 a×A=a,e×Ae,ek=a,AEimeneg(相当于a分别叉乘A的一、二、三列作为列组成一个矩阵)。张量之间的运算： A-B=AeeByexe,Au Bgees (2.18) AxB=Aee,x Byere,A BgEmpeepe, (2.19) 其它复杂运算AB,AB,AB,AB· 2.3矢量与张量分析 ◆Hamilton算子。（日，0，日)，可以看成是一个向量进行运算。 V=6,成ad0,'ad 如果0是一个标量，70=( 2,9,巴)，p的梯度，表示p等值面的法向，并指向p增 0x Ox,Ox3 加的方向。 4

Aij ijk k = −ε ω (2.15) 1 2 ω ε i i = − jk Ajk (2.16) =ωi i ω e 称为反对称张量的轴矢量。由于，T I CIC = ij δ 也是张量，称为单位张量。 ¾ 张量的迹(Trace) 11 22 33 ( ) ii J AAA A = =++ A (2.17) 1I J = ( ) Γ ，第一不变量(体积应变)。张量( ) A 与矢量( ) a 的运算点乘： Aij i j k k ij k i jk ij j i A a⋅= ⋅ = = ee e e e a Aa Aa δ (相当于 1 2 3 a A a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ )。 i i jk j k i jk ij k j jk k a A⋅= ⋅ = = a A aA a A e ee e δ e (相当于(a a aA 123 ) )。如果是反对称张量，则 A ijk k i j m m ijk k i jm m ijk k j i A a⋅ =− ⋅ =− =− = × ε ω ε ee e e a aa ωδ ε ω e ω a 叉乘： A a Aa ij i j k k ij k jks i s Aa e ×= × = ee e ε e (相当于a 分别叉乘的一、二、三行作为行组成一个矩阵)。 A i i jk j k i jk ijm m k a A= × ×= a A aA e ee e ε e (相当于分别叉乘的一、二、三列作为列组成一个矩阵)。 a A 张量之间的运算： A B A ee B e e A B ee = ij i j ks k s ij js i s i ⋅ = (2.18) A B AB ij i j ks k s ij ks jkp i p s A B×= × = ee e e ee e ε (2.19) 其它复杂运算 AB B AB AB , A × , , × 。 × × i i i i 2.3 矢量与张量分析 Hamilton 算子 123 , ( , , ) i i x xxx ∂ ∂∂∂ ∇ = ∂ ∂∂∂ e ，可以看成是一个向量进行运算。如果ϕ 是一个标量， 123 (, , ) x x x ϕ ϕ ϕ ϕ ∂∂∂ ∇ = ∂∂∂ ，ϕ 的梯度，表示ϕ 等值面的法向，并指向ϕ 增加的方向。 4

简洁记法：7p=e, 四=e0,逗号表示求导。 8xi 0 如果是a是向量场，Va=已， Oddu0 0x;0x -+002+u,称为a的散度。如果a是位移场，则a的散度表示体积应变，如果a是流速，则a的散度表示源或汇的强度。 e 7×a=- 称为a的旋度，如果a是位移场。则a的 Xi ×ae,=a1.8ek= ax Ox2 Ox a a 43 1 旋度表示局部转动的两倍。(u(r+dr)=u(r)+o×dr+T·dr',o=二(×u) 2 ◆Gauss公式： ∬ar=∯ad,k=nds, Baaa)dv=f(am +dm +am )ds (2.20) 其中n=(n,n2,n)是曲面V的外法方向，该公式给出了体积分和面积分的关系。在弹性力学三维理论和能量原理的推导中有重要应用。 ◆Stokes公式： ∬(V×a)dk=∮adl as 小-m+必-是%+0-必%h=中a+a+a) (2.21) 0x 0x3 Ox3 Ox1 as 揭示了面积分和线积分的关系。 ◆Green公式(Stokes公式的平面情形) da_au)kdy=重(a,dk+a, (2.22) as ◆矢量的梯度标量的梯度是矢量，矢量的梯度是张量。 Va=deaej=ajeer (2.23) av=aedje,=aee, 应变张量可以表示为：T=u+u)=)似，十) 2 2 三种表示形式：分量形式、整体张量形式、下标形式。 5

简洁记法： i , i x i i ϕ ϕ ϕ ∂ ∇= = ∂ e e ，逗号表示求导。如果是是向量场， a 1 2 3 , 1 2 j i i j j ij i i i ii a a a a a a a 3 x x x xx δ x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = = == + ∂ ∂ ∂ ∂∂ i i a = e e + ∂ ，称为a 的散度。如果a 是位移场，则a 的散度表示体积应变，如果是流速，则的散度表示源或汇的强度。 a a 123 , 1 2 123 j j j i ijk k i a a 3 x xxx aa a ε ∂ ∂ ∂ ∇× × = = ∂ ∂ ∂ a = eee e e a ∂ ∂ ，称为的旋度，如果a 是位移场。则a 的旋度表示局部转动的两倍。( ( )( , ( ) T u r + = × + ⋅ ∇× d dd r u r) + r r u 1 ω Γ ω= 2 ) Gauss 公式： 1 2 3 11 2 2 33 123 , , ( )( V V V V dv d d ds a a a dv a n a n a n ds xxx ∂ ∂ ∇= = ∂ ∂ ∂ ++ = + + ∂∂∂ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ i i a as sn ) w w (2.20) 其中，该公式给出了体积分和面积分的关系。在弹性力学三维理论和能量原理的推导中有重要应用。 123 n = (, , ) nn n V 是曲面的外法方向 ∂ Stokes 公式： 3 3 2 1 21 1 2 31 1 2 2 23 31 12 ( ) [( ) ( ) ( ) ] ( ) S S S S d d a a a a aa n n n ds a dx a dx a dx xx xx xx ∂ ∂ ∇× ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ − +− +− = + + ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ a s= a l i i v v 3 3 (2.21) 揭示了面积分和线积分的关系。 Green 公式(Stokes 公式的平面情形) ( )( y x x y S S a a dxdy a dx a dy x y ∂ ∂ ∂ − =+ ∂ ∂ ∫∫ v∫ ) (2.22) 矢量的梯度标量的梯度是矢量，矢量的梯度是张量。 , , i i j j ji i j i i j j ij i j a a a a ∇ =∂ = ∇= ∂ = a a e e ee e e ee (2.23) 应变张量可以表示为： , , ( )( i j ji ∇ + ∇= + u u u u 1 1 Γ = 2 2 ) 三种表示形式：分量形式、整体张量形式、下标形式。 5

a Ow 6x= 6,= 8.= 1 ou 8= 分量形式： y Ox 1 Ex= ow). 1 dv Ow 整体张量形式：T=Wu+u) 2 1 下标形式：5,2+）位/=12,3引 ◆张量的散度和旋度 V.A= -eAne ex =oerAejex An Bex Auex 8 (2.24) A=Aee -ek=Agke,δk=Am,e 张量的散度为矢量。张量的旋度 V×A=O,e,×Aeek=Ak,Ee,ek (2.25) A×T=A,e,e,×Oes=,kee,e, ◆Gauss公式 ∬Ad=fdsA (2.26) A=∯As 面积分和体积分的关系 ◆Stokes公式 ∬dk(V×A)=∮dlA as (2.27) j∬(a×Vs=-∮Adl 这些公式在弹性力学理论推导和能量原理中有重要应用。习题 2.1证明：()=3，(2)6，⊙=3，(3)E5t=20,(4)￡球=6，(5)6脉4，A=0 2.2证明：若a=7p(p为标量)，7×a=0:若a=V×b,7a=0。 2.3若u为向量，证明：7×(7u)=0,(u7)×7=0. 6

分量形式： , , , 1 ( ), 2 1 ( ), 2 1 ( ). 2 x yz xy xz yz u v w x y z u v y x u w z x v w z y εεε ε ε ε ∂ ∂ = == ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ 整体张量形式： ( ) ∇+∇ u u 1 Γ = 2 下标形式： , , ( ) ( , 1, 2 ij i j j i ε =+ = u u ij 1 2 ,3) 张量的散度和旋度 , , , , i jk j k i i jk j k jk i ij k ik i i ij i j k ij k i jk ij j i k A AA x A AA x δ δ ∂ ∇ = =∂ = = ∂ ∂ ∇ = = = ∂ A A ii i i i e ee e ee e e ee e e e A k (2.24) 张量的散度为矢量。张量的旋度 , , i i jk j k jk i ijs s k ij i j k k ij k jks i s A A A A ε ε ∇× ∂ × = ×∇ = ×∂ = A = A e ee e ee e ee e A s (2.25) Gauss 公式 V V V V dv d dv d ∂ ∂ ∇ = ∇ = ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ A s A A i i i i w w (2.26) 面积分和体积分的关系 Stokes 公式 ( ) ( ) S S S S d d d d ∂ ∂ ∇× = ×∇ = − ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ A A A A i i i i v v s l s l (2.27) 这些公式在弹性力学理论推导和能量原理中有重要应用。习题 2.1 证明：(1) 3 ii δ = ，(2) 3 ij ij δ δ = ，(3) 2 ijk rjk ir ε ε = δ ，(4) 6 ijk jki ε ε = ，(5) 0 ε ijk j k A A = 2.2 证明：若a = ∇ϕ (ϕ 为标量)，∇× = a 0；若a b = ∇× ，∇ia = 0 。 2.3 若为向量，证明： u ∇× ∇ = ∇ ×∇ = ( ) 0, ( ) 0 u u . 6

2.4证明，在坐标变换后，对称张量仍为对称张量，反对称张量仍为反对称张量。 2.5证明：若a=ai’b=-b元，则a,b=0。 2.6A为反对称张量，则A可表示为A=-60,利用E秋-6，的关系，导出 1 0=-264k >

2.4 证明，在坐标变换后，对称张量仍为对称张量，反对称张量仍为反对称张量。 2.5 证明：若，，则 ij ji a a = ij ji b b = − 0 ij ij a b = 。 2.6 A 为反对称张量，则可表示为 A Aij ijk k = −ε ω ，利用 ijk ij ε −δ 的关系，导出 1 2 ω ε i = − ijk jk A 7

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