体积形态连续介质有限变形理论一构型构造 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11物理构型与参数构型 初始物理构型、当前物理构型以及分别对应的初始参数构型、当前参数构型,如图1所 示,此处{x4}3=1和{54}3=1分别代表对应初始构型的 Cartesian坐标和曲线坐标,也称为 Lagrange坐标:{X1}31和{x}3=1分别代表当前物理构型对应的 Cartesian坐标和曲线坐标 也称为 Euler坐标. 初始物理构型 当前物理构型 x2-曲 G A9(x(),t) X+(x曲线 -曲线 ((, GEn)\(-曲 9 z( a, t), 0)zl x3坐标线 3-坐标线 2.坐标线 x2-坐标线 坐标线 初始参数构型 当前参数构型 Figure1:当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论的构型构造示意 作者提出当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论,主要为处理边界可做 有限变形运动的流动问题,希望能针对当前物理构型构建显含时间的曲线坐标系,使得当前参数 构型不仅几何形态规则且不随时间变化
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论—构型构造 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 物理构型与参数构型 初始物理构型、当前物理构型以及分别对应的初始参数构型、当前参数构型, 如图1所 示, 此处 { ◦ XA }3 A=1 和 {ξ A} 3 A=1 分别代表对应初始构型的 Cartesian 坐标和曲线坐标, 也称为 Lagrange 坐标; {Xi} 3 i=1 和 {x i} 3 i=1 分别代表当前物理构型对应的 Cartesian 坐标和曲线坐标, 也称为 Euler 坐标. ◦ X1 ◦ X2 ◦ X3 O 際丐へ⨶㎎鰭 ξ 1 -齒楫 G1(ξa) ξ 2 -齒楫 G2(ξa) ξ 3 -齒楫 G3(ξa) a b ξ 1 ξ 2 ξ 3 O 際丐尻閻㎎鰭 ξ 1 -緋辿楫 ξ 2 -緋辿楫 ξ 3 -緋辿楫 a b ◦X = ◦X(ξ) X1 X2 X3 O 澀晒へ⨶㎎鰭 x 1 -齒楫 g1(x(ξa , t), t) x 2 -齒楫 g2(x(ξa , t), t) x 3 -齒楫 g3(x(ξa , t), t) a b x 1 x 2 x 3 O 澀晒尻閻㎎鰭 x 1 -緋辿楫 x 2 -緋辿楫 x 3 -緋辿楫 a b X = X(x, t) Figure 1: 当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论的构型构造示意 作者提出当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论, 主要为处理边界可做 有限变形运动的流动问题, 希望能针对当前物理构型构建显含时间的曲线坐标系, 使得当前参数 构型不仅几何形态规则且不随时间变化. 1
体积形态连续介质有限变形理论-构型构造 谢锡麟 V×(to,to+T to x()∈(ve;V) Vr x(to, to +T) x(x,t)∈6(Vx;V) (,t Figure2:当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论所基于的构型构造在时空空 间中的示意 在时空坐标系(世界坐标系)中,相应的构型如图2所示.考虑映照 Vx×R+3 (x,t)全 满足 1.在Vx×R+上为单射 2.detD(a, t)= det(D=X(a, t)D,X(a, t) det DrX(x,t)≠0,V r+ 故有()(x,t)∈P(VxxR+VxR+) 1.2速度与物质导数 介质质点的速度定义为其位置向径相对于时间的变化率 0x2 OX OX (x,1)(5,t)+(,t) at
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -构型构造 谢锡麟 t V × (t0, t0 + T) ◦ V t V ◦X(ξ) X(x, t) O X1 X3 t0 X1 X3 t > t0 X1 X3 t ξ x(ξ, t) ◦ V ξ t V x O x 1 x 3 t0 ξ 1 ξ 3 t > t0 x 1 x 3 t t V x × (t0, t0 + T) ◦X(ξ) ∈ C p( ◦ V ξ; ◦ V ) X(x, t) ∈ C p( t V x; t V ) Figure 2: 当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论所基于的构型构造在时空空 间中的示意 在时空坐标系 (世界坐标系) 中, 相应的构型如图2所示. 考虑映照 t V x × R + ∋ ( x t ) 7→ ( X t ) (x, t) , ( X(x, t) t ) ∈ R 3+1 , 满足: 1. 在 t V x × R + 上为单射; 2. det D ( X t ) (x, t) = det ( DxX(x, t) DtX(x, t) 0 1 ) = det DxX(x, t) ̸= 0, ∀ ( x t ) ∈ t V x × R +, 故有 ( X t ) (x, t) ∈ C p ( t V x × R +; t V × R +). 1.2 速度与物质导数 介质质点的速度定义为其位置向径相对于时间的变化率: V , ∂X ∂xi (x, t) ∂xi ∂t (ξ, t) + ∂X ∂t (x, t) =: ˙x i gi + ∂X ∂t (x, t). 2
体积形态连续介质有限变形理论-构型构造 谢锡麟 此处2:=a(,,增加项t(:)源于当前物理构型对应的曲线坐标系显含时间x x(x,t).由此,任意张量场更(x,t)的物质导数具有如下表示形式 (5,t)=m(x,1)+2m(x,t (x,)+(29),/(s1/÷9t)+ aX t(z,)·() 此处口:=a=(x,d)g3表示对应Euer坐标的全梯度算子 2应用事例 当前参数构型 前物理构型Dx Figure3:非规则封闭区域显含时间微分同胚构造示意 2.1非规则封闭区域内流动 非规则封闭区域内流动,流动区域作为当前物理构型,其对应的显含时间曲线坐标系,如 3所示.其微分同胚可以表示为 D×R+3{x,t} r(e, o)rsin 0 cos o H(X(a, t), t)=f X2(a, t), t)=f R(e, d)rsin 0 sin( ,ty X R(8, o)r cos 8
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -构型构造 谢锡麟 此处 x˙ i := ∂xi ∂t (ξ, t), 增加项 ∂X ∂t (x, t) 源于当前物理构型对应的曲线坐标系显含时间 X = X(x, t). 由此, 任意张量场 Φ(x, t) 的物质导数具有如下表示形式 Φ˙ , ∂Φ ∂t (ξ, t) = ∂Φ ∂t (x, t) + ˙x i ∂Φ ∂xi (x, t) = ∂Φ ∂t (x, t) + ( x˙ i gi ) · [ g l ⊗ ∂Φ ∂xl (x, t) ] = ∂Φ ∂t (x, t) + ( V − ∂X ∂t (x, t) ) · ( ⊗ Φ). 此处 := ∂ ∂xs (x, t)g s 表示对应 Euler 坐标的全梯度算子. 2 应用事例 X1 X2 X3 O θ φ R(θ, φ, t)r 澀晒へ⨶㎎鰭 DX r θ φ O 1 π 2π 澀晒尻閻㎎鰭 Dx X(x, t) Figure 3: 非规则封闭区域显含时间微分同胚构造示意 2.1 非规则封闭区域内流动 非规则封闭区域内流动, 流动区域作为当前物理构型, 其对应的显含时间曲线坐标系, 如 图3所示. 其微分同胚可以表示为 Dx × R + ∋ {x, t} = { r θ ϕ , t} 7→ {X(x, t), t} = { X1 X2 X3 (x, t), t} = { R(θ, ϕ)r sin θ cos ϕ R(θ, ϕ)r sin θ sin ϕ R(θ, ϕ)r cos θ , t}. 3
体积形态连续介质有限变形理论-构型构造 谢锡麟 当前物理构型D (边界可变形) 〈当前参数构型D2 (边界始终固定) f(m,<,t) 2 R(m,() Figure4:非规则柱形体绕流区域显含时间微分同胚构造示意 2.2非规则柱形体绕流 非规则柱形体绕流,流动区域作为当前物理构型,其对应的显含时间曲线坐标系,如图4所示 其微分同胚可以表示为 D×R+{,+}=(n,t r(,5,)+(R(,()-7(n,t)cosn {X(x,t),t={x2,+={ Nr(n,s,t)+5(F(,)-r(,,+)sin 23可变形曲面/边界附近流动 流动区域Dx (当前物理构型) x3-曲线 当前参数构型D2 x2-曲线 X(a, t) ∑(x1,x2 X1可变形边界 x曲线O Figure5:基于曲面的显含时间半正交系示意 可变形曲面附近,流动区域作为当前物理构型,其对应的显含时间曲线坐标系,如图5所示
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -构型构造 谢锡麟 X1 X2 X3 O r(η, ζ, t) X = X1 X2 X3 ξ η ζ O 1 2π H ξ η ζ R(η, ζ) 澀晒へ⨶㎎鰭DX (䗩⭼靭紳澤) 澀晒尻閻㎎鰭Dx (䗩⭼丐滾粕奘) Figure 4: 非规则柱形体绕流区域显含时间微分同胚构造示意 2.2 非规则柱形体绕流 非规则柱形体绕流, 流动区域作为当前物理构型, 其对应的显含时间曲线坐标系, 如图4所示. 其微分同胚可以表示为 Dx × R + ∋ {x, t} = { ξ η ζ , t} 7→ {X(x, t), t} = { X1 X2 X3 , t} = { [r(η, ζ, t) + ξ (R(η, ζ) − r(η, ζ, t))] cos η ζ [r(η, ζ, t) + ξ (R(η, ζ) − r(η, ζ, t))]sin η , t}. 2.3 可变形曲面/边界附近流动 X1 X2 X3 O x 2 -齒楫 x 1 -齒楫 x 3 -齒楫 g1 g2 g3 g1 g2 g3 g1 g3 g2 g1 g2 g3 Σ(x 1 , x2 , t) ê蒔準平DX (澀晒へ⨶㎎鰭) 靭紳澤䗩⭼ X(x, t) x 1 x 2 x 3 O 澀晒尻閻㎎鰭 Dx Figure 5: 基于曲面的显含时间半正交系示意 可变形曲面附近, 流动区域作为当前物理构型, 其对应的显含时间曲线坐标系, 如图5所示. 4
体积形态连续介质有限变形理论-构型构造 谢锡麟 其微分同胚可以表示为 D×R+3{c,+}= →{x(x,t),}={x2|(x,t,t={x(x2,x2,1)+rn(x1,x2,),t 3建立路径 参数构型与物理构型之间的关系就是微分同胚.特别地,如果当前物理构型对应的曲线坐 标系显含时间,则可以在时间坐标系/时空空间中建立微分同胚 以上所举事例中仅用了一个曲线坐标系,对前两个事例并未能覆盖对应的当前物理构型 理论上,按微分流形的思想及方法,可构建多个曲线坐标系(坐标卡),相互之间可以有重 叠,并引入单位1分解
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -构型构造 谢锡麟 其微分同胚可以表示为 Dx × R + ∋ {x, t} = { x 1 x 2 x 3 , t} 7→ {X(x, t), t} = { X1 X2 X3 (x, t), t} = {Σ(x 1 , x2 , t) + x 3n(x 1 , x2 , t), t}. 3 建立路径 • 参数构型与物理构型之间的关系就是微分同胚. 特别地, 如果当前物理构型对应的曲线坐 标系显含时间, 则可以在时间坐标系/时空空间中建立微分同胚. • 以上所举事例中仅用了一个曲线坐标系, 对前两个事例并未能覆盖对应的当前物理构型. 理论上, 按微分流形的思想及方法, 可构建多个曲线坐标系 (坐标卡), 相互之间可以有重 叠, 并引入单位 1 分解. 5
