曲面形态连续介质有限变形理论一变形刻画 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 015年4月21日 知识要素 基于变形梯度的基本性质,可类比郭仲衡(1980)°关于体积形态连续介质的一般有限变形理 论的处理,将变形的全部刻画分为4类,对应地结为4个性质 11变形梯度基本性质 性质1.1(变形梯度基本性质),变形梯度具有如下基本性质,不仅适用于二维曲面理论而且 适用于高维曲面理论 1.F=(V8口)·F,此处口g°、O axg(as,t) 2.detF=0detF,此处全v 曲面变形梯度的行列式定义为 det F4 v9s ()(s0 1.2各类物质系统的向量值映照刻画 引入,初始物理构型、当前物理构型中物质曲线的向量值映照刻画 ∑(x):(n3入→(x)垒S(2(X) ∑():{a,b3A→∑(从)∑((x(),t),t) 初始物理构型、当前物理构型中物质曲面的向量值映照刻画 ∑(A,p):D3{A.,4}+E(A,p)全∑(Ex(A,) ∑(A,p):D3{A.,4}+E(A,p)全∑(ax(x(,p),t),t 13变形刻画 类似于一般有限变形理论以及曲线坐标系显含时间有限变形,对曲面有限变形理论的变形 刻画仍可以归纳为4类 ①郭仲衡.非线性弹性理论.北京:科学出版社,1980
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论—变形刻画 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 21 日 1 知识要素 基于变形梯度的基本性质, 可类比郭仲衡 (1980)➀关于体积形态连续介质的一般有限变形理 论的处理, 将变形的全部刻画分为 4 类, 对应地结为 4 个性质. 1.1 变形梯度基本性质 性质 1.1 (变形梯度基本性质). 变形梯度具有如下基本性质, 不仅适用于二维曲面理论而且 适用于高维曲面理论. 1. d dt F = (V ⊗ Σ ) · F, 此处 Σ , g s ∂ ∂xs Σ (xΣ, t); 2. d dt detF = θ detF, 此处 θ , V · Σ = Σ · V . 曲面变形梯度的行列式定义为 detF , √gΣ √ GΣ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). 1.2 各类物质系统的向量值映照刻画 引入, 初始物理构型、当前物理构型中物质曲线的向量值映照刻画 ◦ Σ(λ) : [a, b] ∋ λ 7→ ◦ Σ(λ) , ◦ Σ(ξΣ(λ)), t Σ(λ) : [a, b] ∋ λ 7→ t Σ(λ) , Σ(xΣ(ξΣ(λ), t), t). 初始物理构型、当前物理构型中物质曲面的向量值映照刻画 ◦ Σ(λ, µ) : Dλµ ∋ {λ, µ} 7→ ◦ Σ(λ, µ) , ◦ Σ(ξΣ(λ, µ)), t Σ(λ, µ) : Dλµ ∋ {λ, µ} 7→ t Σ(λ, µ) , Σ(xΣ(ξΣ(λ, µ), t), t). 1.3 变形刻画 类似于一般有限变形理论以及曲线坐标系显含时间有限变形, 对曲面有限变形理论的变形 刻画仍可以归纳为 4 类. ➀ 郭仲衡. 非线性弹性理论. 北京: 科学出版社, 1980. 1
曲面形态连续介质有限变形理论变形刻画 谢锡麟 1.3.1第一类初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元之间的关系式 性质1.2(初始物理构型一当前物理构型中有向线元、有向面元之间的关系) ); a入a (A.,p)·n(,p) 证明本性质的证明主要利用链式求导法则以及方阵行列式的表达式 1.由∑()=E(x(x()),t),t),有 (, t)g G)(da)GB F 入)。后(E 2.由∑(A,)=E(x(x(入,p,t),t),有 (2 (A,p) 9 FLAF √9s(ei3F:AFB) ∑A∑B =√det(F )eAB3a入 0∑4a∑ Vge det( l) EAB3a入 det p 1.32第二类初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元模之间的关系式 性质13(初始物理构型一当前物理构型中有向线元、有向面元模之间的关系)
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 1.3.1 第一类 初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元之间的关系式 性质 1.2 (初始物理构型－当前物理构型中有向线元、有向面元之间的关系). 1. d t Σ dλ (λ) = F · d ◦ Σ dλ (λ); 2. ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ) = detF · ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ R3 (λ, µ) · t n(λ, µ). 证明 本性质的证明主要利用链式求导法则以及方阵行列式的表达式. 1. 由 t Σ(λ) = Σ(xΣ(ξΣ(λ), t), t), 有 d t Σ dλ (λ) = ∂Σ ∂xi Σ (xΣ, t) ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t) dξ A Σ dλ (λ) = ( ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi ⊗ GA ) · ( dξ B Σ dλ (λ)GB ) = F · dξ B Σ dλ (λ) ∂ ◦ Σ ∂ξB i (ξΣ) = F · d ◦ Σ dλ (λ). 2. 由 t Σ(λ, µ) = Σ(xΣ(ξΣ(λ, µ), t), t), 有 ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ) = F · ∂ ◦ Σ ∂λ (λ, µ) × F · ∂ ◦ Σ ∂µ (λ, µ) = F i · A ∂ ◦ ΣA ∂λ gi × F j · B ∂ ◦ ΣB ∂µ gj = ( F i · AF j · B ) ∂ ◦ ΣA ∂λ ∂ ◦ ΣB ∂µ εij3 t n = √ gΣ ( eij3F i · AF j · B ) ∂ ◦ ΣA ∂λ ∂ ◦ ΣB ∂µ t n = √ gΣ det ( F i · L ) eAB3 ∂ ◦ ΣA ∂λ ∂ ◦ ΣB ∂µ t n = √gΣ √ GΣ det ( F i · L ) εAB3 ∂ ◦ ΣA ∂λ ∂ ◦ ΣB ∂µ t n = detF · ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ R3 (λ, µ) · t n. 1.3.2 第二类 初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元模之间的关系式 性质 1.3 (初始物理构型－当前物理构型中有向线元、有向面元模之间的关系). 2
曲面形态连续介质有限变形理论变形刻画 谢锡麟 ∑ ()=(F*F) 0∑O 0∑0 0 ( u=det F ax OH(, 4) 证明对第一个等式,利用性质12中相应结论,有 d入 (),x￥(从) (x)(F··ax(x 对第二个等式,将性质1.2(2)中结论两端取模,即得结论. 133第三类当前物理构型中有向线元面元物质导数同其自身之间的关系式 性质14(当前物理构型中有向线元、有向面元的物质导数同其自身之间的关系 a(=. (入),LV OX1(x,p)=B.o∑、 2o∑a∑ OXxa1(入x, BI-口⑧V 证明第一个关系式可以容易地获得.对第二个关系式,可考虑 a(x,以)=mF./8 0∑0 0∑ 0入ap (A,p)·n(x,p) +detF.02 0入0 =.(∞3、0 a A,p)·n(A r-口⑧v 0∑0 (1,p) 0∑0∑ (A,p) 此处,利用了以下引理
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 1. d t Σ dλ (λ) R3 = (F ∗ · F) 1 2 · d ◦ Σ dλ (λ) R3 ; 2. ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ R3 (λ, µ) = detF ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ R3 (λ, µ). 证明 对第一个等式, 利用性质1.2中相应结论, 有 d t Σ dλ (λ) 2 R3 = d t Σ dλ (λ), d t Σ dλ (λ) R3 = d ◦ Σ dλ (λ) · (F ∗ · F) · d ◦ Σ dλ (λ) = (F ∗ · F) 1 2 · d ◦ Σ dλ (λ) 2 R3 . 对第二个等式, 将性质1.2(2) 中结论两端取模, 即得结论. 1.3.3 第三类 当前物理构型中有向线元面元物质导数同其自身之间的关系式 性质 1.4 (当前物理构型中有向线元、有向面元的物质导数同其自身之间的关系). 1. ˙ d t Σ dλ (λ) = L · d t Σ dλ (λ), L , V ⊗ Σ ; 2. ˙ ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ) = B · ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ), B , θI − Σ ⊗ V . 证明 第一个关系式可以容易地获得. 对第二个关系式, 可考虑 ˙ ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ) = ˙ detF · ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ (λ, µ) R3 · t n(λ, µ) + detF · ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ (λ, µ) R3 · ˙ t n(λ, µ) = θ · ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ) + ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ) R3 · ˙ t n(λ, µ) = ( θI − Σ ⊗ V ) · ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ) =: B · ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ (λ, µ) . 此处, 利用了以下引理. 3
曲面形态连续介质有限变形理论变形刻画 谢锡麟 引理1.5. (A,p) ⑧v)·n(x,p) 此处n(入,p)为物质曲面的单位法向量 证明考虑到n(A,):=n(xx(x(A,p,t),t),则有 an n(xp)=a(xx,)+2xr(x,1=(x,1)-2bg, 此处 an(zs, t)=\at at g g )(as, t)9 ∑9s) (as, t)9' (x,t)⑧g)+过b 1.3.4第四类当前物理构型中有向线元与面元模的物质导数同其自身之间的关系式 性质1.6(当前物理构型中有向线元、有向面元模的物质导数同其自身之间的关系) d∑ d∑ d入 (入) 0∑∑ (A,p)=6 (A,p) 此处D盘2+L 称为曲面变形理论的变形率张量,T表示线元的指向 证明对第一个等式,利用性质1.4中相应结论,有 d习 (入) d∑d∑ d入 d入 (),x(入) de(xL d入 2(.D+Dd∑
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 引理 1.5. ˙ t n(λ, µ) = − (Σ ⊗ V ) · t n(λ, µ), 此处 t n(λ, µ) 为物质曲面的单位法向量. 证明 考虑到 t n(λ, µ) := n(xΣ(ξΣ(λ, µ), t), t), 则有 ˙ t n(λ, µ) = ∂n ∂t (xΣ, t) + ˙x i Σ ∂n ∂xi Σ (xΣ, t) = ∂n ∂t (xΣ, t) − x˙ i Σ · bisg s , 此处 ∂n ∂t (xΣ, t) = ( ∂n ∂t (xΣ, t), gi ) R3 g i = − ( t n, ∂gi ∂t (xΣ, t) ) R3 g i = − ( t n, ∂ ∂xi Σ ( ∂Σ ∂t )(xΣ, t) ) R3 g i = − ( t n, ∂ ∂xi Σ (V − x˙ s Σgs )(xΣ, t) ) R3 g i = − ( t n, ∂V ∂xi Σ (xΣ, t) ) R3 g i + ( t n, x˙ s Σ ∂gs ∂xi Σ (xΣ, t) ) R3 g i = − t n · ( ∂V ∂xi Σ (xΣ, t) ⊗ g i ) + ˙x s Σbisg i . 1.3.4 第四类 当前物理构型中有向线元与面元模的物质导数同其自身之间的关系式 性质 1.6 (当前物理构型中有向线元、有向面元模的物质导数同其自身之间的关系). 1. ˙ d t Σ dλ R3 (λ) = (τ · D · τ ) d t Σ dλ R3 (λ), τ = d t Σ dλ (λ) d t Σ dλ R3 (λ) ; 2. ˙ ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ R3 (λ, µ) = θ ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ R3 (λ, µ), 此处 D , L + L ∗ 2 称为曲面变形理论的变形率张量, τ 表示线元的指向. 证明 对第一个等式, 利用性质1.4中相应结论, 有 ˙ d t Σ dλ 2 R3 (λ) = 2 ˙ d t Σ dλ (λ), d t Σ dλ (λ) R3 = 2 d t Σ dλ (λ) · L ∗ , d t Σ dλ (λ) R3 = 2 d t Σ dλ (λ) · L + L ∗ 2 · d t Σ dλ (λ) = 2d t Σ dλ (λ) · D · d t Σ dλ (λ). 4
曲面形态连续介质有限变形理论变形刻画 谢锡麟 另有 d入 由此即得结论 对第二个等式,利用性质1.3(2),即 ∑ ( u=det F (入,p) 以及detF=θdetF,即得结论. 2应用事例 3建立路径 不同于一般的文献,本讲稿建立的变形刻画关系基于物质线,物质面对参数的偏导数.按向 量值映照微分学,这些结论是完全严格的而非差一个一阶无穷小量等 变形刻画关系式的获得原则上仅需依赖于变形梯度的基本性质,由此也表示变形梯度蕴含 了变形的所有信息
有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 另有 ˙ d t Σ dλ 2 R3 (λ) = 2 d t Σ dλ R3 (λ) ˙ d t Σ dλ R3 (λ), 由此即得结论. 对第二个等式, 利用性质1.3(2), 即 ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ R3 (λ, µ) = detF ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ R3 (λ, µ) 以及 ˙ detF = θ detF, 即得结论. 2 应用事例 3 建立路径 • 不同于一般的文献, 本讲稿建立的变形刻画关系基于物质线, 物质面对参数的偏导数. 按向 量值映照微分学, 这些结论是完全严格的而非差一个一阶无穷小量等. • 变形刻画关系式的获得原则上仅需依赖于变形梯度的基本性质, 由此也表示变形梯度蕴含 了变形的所有信息. 5