张量场可微性及微分算子 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 015年4月2日 1知识要素 1.1张量场与张量赋范线性空间 定义1.1(张量场).设有映照 更:R"Dx3→更(a)∈(Rm), 则此张量更()称为定义在Dx上的张量场 类似于向量,如果想要讨论张量的“大小”,则需定义张量的范数 定义1.2(张量的范数).设有映照 m)3更→lyr∈R 如果满足以下条件 1.非负性:y≥0,y更∈(Rm); 2.非退化性:到=0兮更=0∈"(Rm) 3.正齐次性:|到=|川,VA∈R,更∈少(Rmn) 4.三角不等式:囤+≥匝+,,重,业∈③(Rm), 则称|lyr为张量更的范数 定理1.1(张量范数的一种形式).张量自身全点积的平方根是张量的一种范数,即有 型=√@⊙ 证明考虑到 k)1d(j1)-4)更(k)…(k) …·))面k)-()= (1)…(r) j1)…(jr) 亦即张量自身全点积不依赖于基的选取.由此,可在单位正交基下计算张量自身全点积,此时 型,为张量的所有分量的平方根,易证其满足范数的相关条件
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 张量场与张量赋范线性空间 定义 1.1 (张量场). 设有映照 Φ : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ Φ(x) ∈ T r (R m), 则此张量 Φ(x) 称为定义在 Dx 上的张量场. 类似于向量, 如果想要讨论张量的 “大小”, 则需定义张量的范数. 定义 1.2 (张量的范数). 设有映照 |Φ|T r : T r (R m) ∋ Φ 7→ |Φ|T r ∈ R, 如果满足以下条件: 1. 非负性：|Φ|T r > 0, ∀ Φ ∈ T r (R m); 2. 非退化性：|Φ|T r = 0 ⇔ Φ = 0 ∈ T r (R m); 3. 正齐次性：|λΦ|T r = |λ| |Φ|T r , ∀ λ ∈ R, Φ ∈ T r (R m); 4. 三角不等式：|Φ|T r + |Ψ|T r > |Φ + Ψ|T r , ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m), 则称 |Φ|T r 为张量 Φ 的范数. 定理 1.1 (张量范数的一种形式). 张量自身全点积的平方根是张量的一种范数, 即有 |Φ|T r = √ Φ ⊙ Φ = √ Φi1···irΦi1···ir . 证明 考虑到 Φ i1···irΦi1···ir = [ C i1 (j1) · · · C ir (jr) ] [C (k1) i1 · · · C (kr) ir ] Φ (j1)···(jr)Φ(k1)···(kr) = δ k1 j1 · · · δ kr jr Φ (j1)···(jr)Φ(k1)···(kr) = Φ (j1)···(jr)Φ(j1)···(jr) , 亦即张量自身全点积不依赖于基的选取. 由此, 可在单位正交基下计算张量自身全点积, 此时 |Φ|T r 为张量的所有分量的平方根, 易证其满足范数的相关条件. 1
张量场可微性及微分算子 谢锡麟 性质1.2(简单张量的范数).在定理1.1定义的范数下,以三阶简单张量为例,其范数为 ⑧ny3=flm| nIgm ISIRe 证明由 E0n8c=f7<9: 89, 89k=5in; Skg0g'og 则有 8n8=V(8n8(8n8)k=V(y()5mk IERm ImIgm SIRM 定义了张量范数的张量空间可称为张量赋范线性空间 1.2张量场可微性与张量分量协变导数 定义1.3(张量场的可微性).如果彐D∮(x)(h)∈x(Rm,'(Rm),满足: φ(x+h)-重()=D更(c)(h)+o(hlgm) 此处 lim lo(lhlrm)=0.则称张量场更(x)在点m处是可微的 以二阶张量更∈2(Rm)为例,推导张量场微分形式中的线性映照D(a)(h)的形式此 时有 更(x)=重j()91(x)g(x) 更(x+h)=更.j(x+h)91(x+h)⑧g(x+b) 由多元函数的可微性与向量值函数的可微性,有 2(x+b)=()+0x2(2)b”+O3(hm 94(x+b)=9(2)+a2(a)b+0(hm) g(a+h)=g(a)+o(ah+o(h/Rm) 由上面各式可得 更x+h)-更()=(4,)9,()8gy(x)+bx(x)8g(a) , (a);(c) 2g())hs+Res, 式中Res代表余项
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 性质 1.2 (简单张量的范数). 在定理1.1定义的范数下, 以三阶简单张量为例, 其范数为 |ξ ⊗ η ⊗ ζ|T 3 = |ξ|Rm |η|Rm |ζ|Rm . 证明 由 ξ ⊗ η ⊗ ζ = ξ i η j ζ k gi ⊗ gj ⊗ gk = ξiηjζkg i ⊗ g j ⊗ g k , 则有 |ξ ⊗ η ⊗ ζ|T 3 = √ (ξ ⊗ η ⊗ ζ) ijk (ξ ⊗ η ⊗ ζ) ijk = √ (ξ iη jζ k)(ξiηjζk = |ξ|Rm |η|Rm |ζ|Rm . 定义了张量范数的张量空间可称为张量赋范线性空间. 1.2 张量场可微性与张量分量协变导数 定义 1.3 (张量场的可微性). 如果 ∃ DΦ(x)(h) ∈ L (R m, T r (R m)), 满足: Φ(x + h) − Φ(x) = DΦ(x)(h) + o(|h|Rm), 此处 lim |h|Rm→0 |o(|h|Rm)|T r |h|Rm = 0, 则称张量场 Φ(x) 在点 x 处是可微的. 以二阶张量 Φ ∈ T 2 (R m) 为例, 推导张量场微分形式中的线性映照 DΦ(x)(h) 的形式. 此 时有 Φ(x) = Φ i ·j (x)gi (x) ⊗ g j (x); Φ(x + h) = Φ i ·j (x + h)gi (x + h) ⊗ g j (x + h). 由多元函数的可微性与向量值函数的可微性, 有 Φ i ·j (x + h) = Φ i ·j (x) + ∂Φi ·j ∂xs (x)h s + o i ·j (|h|Rm); gi (x + h) = gi (x) + ∂gi ∂xs (x)h s + oi(|h|Rm); g j (x + h) = g j (x) + ∂g j ∂xs (x)h s + o j (|h|Rm). 由上面各式可得 Φ(x + h) − Φ(x) = ( ∂Φi ·j ∂xs (x)gi (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x) ∂gi ∂xs (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x)gi (x) ⊗ ∂g j ∂xs (x) ) h s + Res, 式中 Res 代表余项. 2
张量场可微性及微分算子 谢锡麟 以下分析余项,如考虑2(am)hh(x)③g,首先由范数的三角不等式以及简单张量范 数的计算式,可有如下估计: ≤ax2(x)b1../ygy 2(aM%)eN2小,1、 5(allom. IRom, (c)⑧ 再考虑到 =0h2m=0,s,k=1 则有 dxs(a)h%hagi 大()8g=o(hm)∈y2(R") 如再考虑jO(hm)g,首先由估计: o(hgm)89≤厘小·o(hm)m19y1gm, 再由 Joi (hRm IRY thlam-0 hrY 则有 o(hm)③g=o(hlm)∈2(Rm) 余项的其余各项可做类似分析,故有Res=o(|hlm)∈少2(Rm) 综上所述,张量场的微分D更(x)(h)可以表示为 更2 axs 989y+,928y-rm918g3) axs r)g1()89()h 令()=测+r一1称为张量场分量在点处关于坐标x的协变导数 现有 D更(x)(h)=Vsp(c)9g1(x)②g(m)h =[V,(h)g1(x)8g(a)g(m)·h=匝重⑧V)(x)h =h·[,(h)g(a)91(x)8g(x)=h·(V8更)m), 式中,h=hg1(x).φ⑧V)(x)=V、:(h)g1()⑧g(x)⑧g^(x)称为张量场的右梯度,而 (ⅴ⑧Φ))=V,j(h)g()⑧q)⑧g(m)称为张量场的左梯度
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 以下分析余项, 如考虑 ∂Φi ·j ∂xs (x)h sh k ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j , 首先由范数的三角不等式以及简单张量范 数的计算式, 可有如下估计: ∂Φi ·j ∂xs (x)h sh k ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j T 2 6 ∂Φi ·j ∂xs (x) · |h s | · |h k | · ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j T 2 = ∂Φi ·j ∂xs (x) · |h s | · |h k | · ∂g j ∂xk (x) Rm · g j Rm , 再考虑到 lim |h|Rm→0 |h sh k | |h|Rm = 0, ∀s, k = 1, · · · , m, 则有 ∂Φi ·j ∂xs (x)h sh k ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j = o(|h|Rm) ∈ T 2 (R m). 如再考虑 Φ i ·joi(|h|Rm) ⊗ g j , 首先由估计: Φ i ·joi(|h|Rm) ⊗ g j T 6 |Φ i ·j | · |oi(|h|Rm)|Rm · |g j |Rm, 再由 lim |h|Rm→0 |oi(|h|Rm)|Rm |h|Rm = 0, 则有 Φ i ·joi(|h|Rm) ⊗ g j = o(|h|Rm) ∈ T 2 (R m) 余项的其余各项可做类似分析, 故有 Res = o(|h|Rm) ∈ T 2 (R m). 综上所述, 张量场的微分 DΦ(x)(h) 可以表示为 DΦ(x)(h) = ( ∂Φi ·j ∂xs (x)gi (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x) ∂gi ∂xs (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x)gi (x) ⊗ ∂g j ∂xs (x) ) h s = ( ∂Φi ·j ∂xs gi ⊗ g j + Γ p siΦ i ·jgp ⊗ g j − Γ j sqΦ i ·jgi ⊗ g q ) h s = ( ∂Φi ·j ∂xs + Γ i spΦ p · j − Γ q sjΦ i ·q ) gi (x) ⊗ g j (x)h s . 令 ∇sΦ i ·j (x) = ∂Φi ·j ∂xs + Γ i spΦ p · j − Γ q sjΦ i ·q 称为张量场分量 Φ i ·j 在 x 点处关于坐标 x s 的协变导数. 现有 DΦ(x)(h) = ∇sΦ i ·j (x)gi (x) ⊗ g j (x)h s = [ ∇sΦ i ·j (h)gi (x) ⊗ g j (x) ⊗ g s (x) ] · hˆ = (Φ ⊗ ∇)(x) · hˆ = hˆ · [ ∇sΦ i ·j (h)g s (x) ⊗ gi (x) ⊗ g j (x) ] = hˆ · (∇ ⊗ Φ)(x), 式中, hˆ = h igi (x). (Φ ⊗ ∇)(x) = ∇sΦ i ·j (h)gi (x) ⊗ g j (x) ⊗ g s (x) 称为张量场的右梯度, 而 (∇ ⊗ Φ)(x) = ∇sΦ i ·j (h)g s (x) ⊗ gi (x) ⊗ g j (x) 称为张量场的左梯度. 3
张量场可微性及微分算子 谢锡麟 再考虑到 AX: =X(a+h)-X(h)=h'gi (a)+o(hk), △X指参数域中坐标有h=hi变化而引起的物理空间中质点位置的变化.按上述关系式,可 得张量场可微性的更具力学意义的表示形式 定理1.3(张量场可微性的力学表示形式 更(x+b)-重()= V)(x)·△X+o(hlm) △X·(V⑧更)(x)+o(hlg 小(x+=(m)+(④8V)mAx 更(x+h)=(x)+更⑧V)(x)·△X △X (x+h) h Figure1:体积上张量场可微性示意 就此,张量场映照的可微性可理解为空间位置变化(可在参数空间或者物理空间中刻画)而 引起的张量值的变化可以由 Lucid空间至张量空间之间的线性映照(可表示为张量场梯度)近 似,误差为一阶无穷小量,如图1所示 按上述关于协变导数的定义,对三阶张量更(x)=型918989∈3(欧m),则它的协变 导数为 V小=0(a)+的+叭一项 更高阶的张量的协变导数可以类似得出 性质14(协变导数的基本性质).张量场分量的协变导数具有如下基本性质 线性性 V(apk+ik)=aV重+B业,Va,B∈R; 2. Leibniz性 V1(重.y1p)=(Vp:)+中.(V1); 3.哑标无关性 y)=a(.(x)+(网)-影(从更)-(p
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 再考虑到 ∆X := X(x + h) − X(h) = h i gi (x) + o(|h| m R ), ∆X 指参数域中坐标有 h = h i ii 变化而引起的物理空间中质点位置的变化. 按上述关系式，可 得张量场可微性的更具力学意义的表示形式: 定理 1.3 (张量场可微性的力学表示形式). Φ(x + h) − Φ(x) = (Φ ⊗ ∇)(x) · ∆X + o(|h|Rm), ∆X · (∇ ⊗ Φ)(x) + o(|h|Rm). x 1 x i xm O hˆ h˜ x x + hˆ x + h˜ Dx X1 Xα Xm O ∆Xˆ ∆X˜ X(x) X(x + hˆ) X(x + h˜) Φ(x) Φ(x + hˆ) .= Φ(x) + (Φ ⊗ ∇)(x) · ∆Xˆ Φ(x + h˜) .= Φ(x) + (Φ ⊗ ∇)(x) · ∆X˜ DX Figure 1: 体积上张量场可微性示意 就此，张量场映照的可微性可理解为空间位置变化 (可在参数空间或者物理空间中刻画) 而 引起的张量值的变化可以由 Eucid 空间至张量空间之间的线性映照 (可表示为张量场梯度) 近 似，误差为一阶无穷小量，如图 1所示. 按上述关于协变导数的定义，对三阶张量 Φ(x) = Φ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ∈ T 3 (R m), 则它的协变 导数为 ∇lΦ ij ··k = ∂Φij ··k ∂xl (x) + Γ i lsΦ sj ··k + Γ j lsΦ is ··k − Γ s lkΦ ij ··s . 更高阶的张量的协变导数可以类似得出. 性质 1.4 (协变导数的基本性质). 张量场分量的协变导数具有如下基本性质: 1. 线性性 ∇l(αΦi ·jk + βΨi · jk) = α∇lΦ i ·jk + β∇lΨ i · jk, ∀ α, β ∈ R; 2. Leibniz 性 ∇l(Φ i ·jΨ pq ·· r ) = (∇lΦ i ·j )Ψ pq ·· r + Φ i ·j (∇lΨ pq ·· r ); 3. 哑标无关性 ∇l(Φ i ·kΨ k · pq) = ∂ ∂xl (Φ i ·kΨ k · pq)(x) + Γ i ls(Φ s · kΨ k · pq) − Γ s lp(Φ i ·kΨ k · sq) − Γ s lq(Φ i ·kΨ k · ps). 4
张量场可微性及微分算子 谢锡麟 证明可按协变导数的定义,通过直接计算证明协变导数的基本性质 1.线性性是显然的 2. Leibniz性 V1(中,y) (,)(x)+(更一时)+(+一v) OΦ2 a)+2)+(m()+学 =(Vp,)yp+:(V) 3.按 Leibniz性,有 V小kp)=(V.)重+更(V大四) Azra)+lisp k-liksp P(x)+IV四-F- 0(()+E(①A四)-吗)-团四),口 按指标升降关系,还可定义逆变导数为 1.3张量场的偏导数与张量场的微分型场论算子 1.3.1张量场的偏导数 定义1.4(张量场的偏导数).定义 全lin (m+Ai)-更() 称为张量场的偏导数(方向导数) 根据张量场φ(a)在x点的可微性,有 更(+A)-更(x)=(⑧V)(x)·(91)+0()∈(Rm) 故有极限 Ox(a)=lim (a+ Ain)-(a) φ⑧V)(m)·9(m) 以三阶张量为例,即更=9189895,则有 更 (x)=(8V)(m)·9(x)=V918989
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 证明 可按协变导数的定义, 通过直接计算证明协变导数的基本性质. 1. 线性性是显然的. 2. Leibniz 性: ∇l(Φ i ·jΨ pq ·· r ) = ∂ ∂xl (Φ i ·jΨ pq ·· r )(x) + (Γ i lsΦ s · j − Γ s ljΦ i ·s)Ψ pq ·· r + Φ i ·j (Γ p lsΨ sq ·· r + Γ q lsΨ ps ·· r − Γ s lrΨ pq ·· s ) = ( ∂Φi ·j ∂xl (x) + Γ i lsΦ s · j − Γ s ljΦ i ·s ) Ψ pq ·· r + Φ i ·j ( ∂Ψpq ·· r ∂xl (x) + Γ p lsΨ sq ·· r + Γ q lsΨ ps ·· r − Γ s lrΨ pq ·· s ) = (∇lΦ i ·j )Ψ pq ·· r + Φ i ·j (∇lΨ pq ·· r ). 3. 按 Leibniz 性, 有 ∇l(Φ i ·kΨ k · pq) = (∇lΦ i ·k)Ψ k · pq + Φ i ·k(∇lΨ k · pq) = ( ∂Φi ·k ∂xl (x) + Γ i lsΦ s · k − Γ s lkΦ i ·s ) Ψ k · pq + Φ i ·k ( ∂Ψk · pq ∂xl (x) + Γ k lsΨ s · pq − Γ s lpΨ k · sq − Γ s lqΨ k · ps) = ∂ ∂xl (Φ i ·kΨ k · pq)(x) + Γ i ls(Φ s · kΨ k · pq) − Γ s lp(Φ i ·kΨ k · sq) − Γ s lq(Φ i ·kΨ k · ps). 按指标升降关系, 还可定义逆变导数为 ∇l = g lk∇k. 1.3 张量场的偏导数与张量场的微分型场论算子 1.3.1 张量场的偏导数 定义 1.4 (张量场的偏导数). 定义 ∂Φ ∂xl (x) , lim λ→0 Φ(x + λil) − Φ(x) λ , 称为张量场的偏导数 (方向导数). 根据张量场 Φ(x) 在 x 点的可微性, 有 Φ(x + λil) − Φ(x) = (Φ ⊗ ∇)(x) · (λgl ) + o(λ) ∈ T r (R m). 故有极限 ∂Φ ∂xl (x) = lim λ→0 Φ(x + λil) − Φ(x) λ = (Φ ⊗ ∇)(x) · gl (x). 以三阶张量为例, 即 Φ = Φ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k , 则有 ∂Φ ∂xl (x) = (Φ ⊗ ∇)(x) · gl (x) = ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k . 5
张量场可微性及微分算子 谢锡麟 132张量场的梯度 以三阶张量为例,根据协变导数的定义可得张量场的左梯度和右梯度 (V⑧更)(x)=VΦ:989⑧989; ⑧V)(x)=V91891898g 利用上面的张量场偏导数的概念,可以将左梯度形式地写作 ⅴ8更=98(V,9189189)=98=(9a 由此,可形式定义梯度算子 0 按照上面的形式运算规则,可得右梯度为 =(Vp9189189)8g=V小91891892g 可见,梯度运算将使张量的阶数增加一阶. 对于任意阶的张量,其左/右梯度可以基于张量场的偏导数,定义如下: V⑧更全g48(x 9(R")3更 ∈少r+1(Rm) 更⑧V ⑧g(x) 1.3.3张量场的散度 应用上一小节定义的形式运算可以定义张量场的左散度和右散度.以三阶张量为例,形式定 义为 ar=9(V4,k9899 6Vp9g;89 Vik9, 8 9 Vp19;③g;8 V9189 V.更和更·V分别称为张量场更(x)∈3(Rm)的左散度和右散度 根据协变导数的基本性质(2)和基本性质(4),上面右散度的分量等价于 gV配=V1(9少)=Vp 可见,散度运算将使张量的阶数减少一阶
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 1.3.2 张量场的梯度 以三阶张量为例, 根据协变导数的定义可得张量场的左梯度和右梯度 (∇ ⊗ Φ)(x) = ∇lΦ ij· ··k g l ⊗ gi ⊗ gj ⊗ g k ; (Φ ⊗ ∇)(x) = ∇lΦ ij· ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ⊗ g l . 利用上面的张量场偏导数的概念, 可以将左梯度形式地写作 ∇ ⊗ Φ = g l ⊗ (∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) = g l ⊗ ∂Φ ∂xl = ( g l ∂ ∂xl ) ⊗ Φ. 由此, 可形式定义梯度算子∇: ∇ ≡ g l ∂ ∂xl , 按照上面的形式运算规则, 可得右梯度为 Φ ⊗ ∇ = Φ ⊗ ( g l ∂ ∂xl ) = ∂Φ ∂xl ⊗ g l = (∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) ⊗ g l = ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ⊗ g l . 可见, 梯度运算将使张量的阶数增加一阶. 对于任意阶的张量, 其左/右梯度可以基于张量场的偏导数, 定义如下: T r (R m) ∋ Φ 7→ ∇ ⊗ Φ , g l ⊗ ∂Φ ∂xl (x) Φ ⊗ ∇ , ∂Φ ∂xl ⊗ g l (x) ∈ T r+1(R m). 1.3.3 张量场的散度 应用上一小节定义的形式运算可以定义张量场的左散度和右散度. 以三阶张量为例, 形式定 义为 ∇ · Φ = ( g l ∂ ∂xl ) · Φ = g l · ∂Φ ∂xl = g l · ( ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) = δ l i∇lΦ ij ··k gj ⊗ g k = ∇iΦ ij ··k gj ⊗ g k ; Φ · ∇ = Φ · ( g l ∂ ∂xl ) = ∂Φ ∂xl · g l = ( ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) · g l = g kl∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj . ∇ · Φ 和 Φ · ∇ 分别称为张量场 Φ(x) ∈ T 3 (R m) 的左散度和右散度. 根据协变导数的基本性质 (2) 和基本性质 (4), 上面右散度的分量等价于 g kl∇lΦ ij ··k = ∇l(g klΦ ij ··k ) = ∇lΦ ijl . 可见, 散度运算将使张量的阶数减少一阶. 6
张量场可微性及微分算子 谢锡麟 对于任意阶的张量,其左/右散度可以利用张量偏导数的概念定义如下 中全g (R")3車 13.4张量场的旋度 当张量的底空间是R3时,应用上面的形式运算可以定义张量场的旋度.为了表示向量的叉 乘(向量积),考虑在第一部分中引入的 Eddington张量,在三维情况下,有 e=E(91291,9k)92g②g e1 Ae2 A e3(gi, gi, gk)9'8gog (e1,9)(e2,g;)(e3,g)ks det(e,9)g(e2.9)(e;9)g9sgsg a,9)(2.9)(a.9 gog, 即有 定义了 Eddington张量之后,向量的叉乘可以表示为 g1×9;=Eik9",g2×g 3,则有 Eik=eigkv9, elk=eik I 式中 1,k为123的偶置换 k=c=,3,13={-1,计为23的奇置换; 0,访k中至少有两个相同 以三阶张量为例,形式定义 Vx更 g 更 (v9:09,0g* V(9×91)8989 V 99 ×=×()=m×=(7m109) Vp91898(g×9) =Vp=9189;89p
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 对于任意阶的张量, 其左/右散度可以利用张量偏导数的概念定义如下 T r (R m) ∋ Φ 7→ ∇ · Φ , g l · ∂Φ ∂xl (x) Φ · ∇ , ∂Φ ∂xl · g l (x) ∈ T r−1 (R m). 1.3.4 张量场的旋度 当张量的底空间是 R 3 时, 应用上面的形式运算可以定义张量场的旋度. 为了表示向量的叉 乘 (向量积), 考虑在第一部分中引入的 Eddington 张量, 在三维情况下, 有 ε = ε(gi , gj , gk )g i ⊗ g j ⊗ g k = e1 ∧ e2 ∧ e3(gi , gj , gk )g i ⊗ g j ⊗ g k = det (e1, gi )R3 (e2, gi )R3 (e3, gi )R3 ( e1, gj ) R3 ( e2, gj ) R3 ( e3, gj ) R3 (e1, gk )R3 (e2, gk )R3 (e3, gk )R3 g i ⊗ g j ⊗ g k = [ gi , gj , gk ] R3 g i ⊗ g j ⊗ g k , 即有 εijk = [gi , gj , gk ]R3 , εijk = [g i , g j , g k ]R3 . 定义了 Eddington 张量之后, 向量的叉乘可以表示为 gi × gj = εijkg k , g i × g j = ε ijkgk . 令 √g = [g1 , g2 , g3 ]R3 , 则有 εijk = eijk√ g, εijk = e ijk 1 √g , 式中 eijk = e ijk = [ii , ij , ik]R3 = 1, ijk为123的偶置换; −1, ijk为123的奇置换; 0, ijk中至少有两个相同. 以三阶张量为例, 形式定义 ∇ × Φ = ( g l ∂ ∂xl ) × Φ = g l × ∂Φ ∂xl = g l × ( ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) = ∇lΦ ij ··k (g l × gi ) ⊗ gj ⊗ g k = ∇lΦ ij ··k g lsεsipg p ⊗ gj ⊗ g k ; Φ × ∇ = Φ × ( g l ∂ ∂xl ) = ∂Φ ∂xl × g l = ( ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) × g l = ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ (g k × g l ) = ∇lΦ ij ··k ε klpgi ⊗ gj ⊗ gp . 7
张量场可微性及微分算子 谢锡麟 V×更和更xV分别称为张量场中(x)∈3(R3)的左旋度和右旋度.可见,旋度运算不会带来 张量阶数的改变 对于任意阶的张量,其左/右旋度可以利用张量偏导数的概念定义如下 V×更全 (R3)3重→ 更WA9 2应用事例 3建立路径 通过张量赋范以建立张量赋范线性空间,由此可一般赋范线性空间中的微分学严格定义张 量场可微性.基于极限分析严格获得张量场微分的表达式,以此引入张量分量的协变导数. ·基于张量场的可微性获得张量场整体沿坐标线的偏导数并获得极限表达式.基于张量场整 体沿坐标线的偏导数定义梯度算子,藉此可定义各种微分算子
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 ∇ × Φ 和 Φ × ∇ 分别称为张量场 Φ(x) ∈ T 3 (R 3 ) 的左旋度和右旋度. 可见, 旋度运算不会带来 张量阶数的改变. 对于任意阶的张量, 其左/右旋度可以利用张量偏导数的概念定义如下: T r (R 3 ) ∋ Φ 7→ ∇ × Φ , g l × ∂Φ ∂xl Φ × ∇ , ∂Φ ∂xl × g l ∈ T r (R 3 ). 2 应用事例 3 建立路径 • 通过张量赋范以建立张量赋范线性空间, 由此可一般赋范线性空间中的微分学严格定义张 量场可微性. 基于极限分析严格获得张量场微分的表达式, 以此引入张量分量的协变导数. • 基于张量场的可微性获得张量场整体沿坐标线的偏导数并获得极限表达式. 基于张量场整 体沿坐标线的偏导数定义梯度算子, 藉此可定义各种微分算子. 8