《第十一届全国水动力学学术会议文集》：现代张量分析在连续介质力学中的若干应用（复旦大学：谢锡麟）.pdf_大学文库

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 2 - 1 X o  DPar   1 2 H o 2 X 3 X DPhy 外射流边界内射流边界 R t   , r t   , 外射流边界内射流边界              1 + 2 3 , , cos X , : , , X , , , , , , sin , r r X Rt x t D xt t xt t X xt t R t t X                                                                        图 1 边界可作有限变形运动的射流其当前物理构形所对应曲线坐标系的选取为研究边界的有限变形运动对介质运动的影响，我们对于当前物理构形引入显含时间的曲线坐标系，表现为时空空间中的微分同胚。通过构造适当的曲线坐标系可将物理空间中几何形态不规则且随时间变化的运动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变化的参数区域。如图 1 所示，对于研究出口边界可作有限变形运动的射流场，其当前物理构形显得极其复杂，但我们可以考虑如图所示的对应于当前物理构形的显含时间的曲线坐标系，使得当前参数构形不仅几何形态规则而且不随时间变化[3]。进一步将连续介质运动的控制方程按曲线坐标系的局部基展开就可获得定义于参数区域上的控制方程。特别地，可基于非完整系理论系统获得控制方程在一般单位正交系（非完整系）下的分量方程，也适用于按时均分解的湍流控制方程。我们亦可将把相关方法推广至张量梯度的多点表示形式。以上所述，一定程度上归纳了现代张量分析在现代连续介质力学中有关应用的基本思想及方法。本文将叙述 Euclid 空间上张量场分析、二维曲面（Riemann 流形）上的张量场分析的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础。 2 Euclid 空间上的张量场分析  曲线坐标系

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 3 - 1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h 1   a g x 2   a g x 3   a g x 1 x 2 x 3 x o     ; p x y Curvilinear coordiante Xx C DD       123   var : ,, local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x 1   d g x 3   d g x 2   d g x 3 x 1 x 图 2 三维 Euclid 空间中一般曲线坐标系示意图可基于有限维 Euclid 空间中微分同胚的映照理解曲线坐标系     , p X x y x C DD  。如图 2 所示，曲线坐标系的 Jacobian 矩阵的每列直接定义的局部协变基向量。按线性代数，即得对任一局部协变基gi ，存在唯一的局部逆变基  j g ，满足  3 , j j i i g g    。以此，按有限维 Euclid 空间中的微分学，即可引入 Christoffel 符号的定义：   3 , : i s i js j s ji s g g x x g         。  张量函数空间的范数张量场一般定义如下所述：           3 : m ik j m ji k        x x x xg g g x T      此处，不失一般性以三阶张量为例。我们可以考虑建立张量赋范线性空间，亦即引入张量范数：   1 1 p p m p i i      T i i      ，   p m T  对于简单张量，则有：   3 m m mm T            。籍此，可基于一般赋范线性空间上的微分学研究张量场以及一般张量映照的相关性质。  张量场可微性按微分学，可估计因位置发生微小变化，而引起的张量的变化：           3 m ik j l m lj i k           x h x xg g g x h oh T      此处     i k ik i sk s ik k is j l j ls j lj s ls j l x x x                   ，即为一般定义的张量分量的协变

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 4 - 导数。进一步，可有：                    : : ik j l q lj i k q q ik l j q lj i k d x h x g g g g x hg x x H dx hg x x g g g g H x                                        由此，张量场梯度可以认为是张量场导数的内蕴表达形式。  张量场方向导数基于张量场可微性，可以定义张量场方向导数：           3 0 lim : l ik j m lj i k l xi x xg g g x x T  x                    由此，可基于形式运算，定义任意张量场的任意场论运算：   l l l l g gx x x                     场论恒等式推导基本要素一般 Euclid 空间中，场论恒等式的推导，可基于以下三方面要素： ① 置换符号同 Kroneck 符号之间的关系 ijk j k k j ijk ipq p q p q ipq         e e 此处 ijk e 以及 k q  分别代表置换符号以及 Kronecker 符号； ijk  为 Eddington 张量的逆变分量。 ② Ricci 引理                 0 0 ijk ijk l l i jk l i jk ij ij l l ij l ij x xg g g x xg g g x x x G x g xg g x g xg g x x x                         亦即，Eddington 张量场     ijk i jk   x g g gx 以及度量张量场    i j ij g xg g x  对所有的方向导数均为零。 ③ 张量场分量之协变导数作用可以交换次序 pq qp    本性质直接反映了 Euclid 空间或 Euclid 流形的基本几何特性。  非完整系理论基本要素 ① 完整系中定义的张量场梯度及其整体表示的不变性                         : :   ik l j lj i k x xg g g g x xg g g g x                     

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 5 - 此处                       l j ik i k lj x CC CC x x                表示张量场梯度  x 相对于非完整基g    的张量分量。 ② 非完整基中的相关运算定义形式偏导数：   : l   C l   形式 Christoffel 符号：                    :   ij k ij j k ij i C x CCC x x CC x x x                形式协变导数（亦即张量场梯度相对于非完整基的分量）：                                                      x x :                                       实际理论分析或数值分析中，完整基为正交基，而非完整基为其单位正交基化。由此，可得在非完整的单位正交基中，形式偏导数、形式 Christoffel 符号以及形式协变导数为：     1 : l C l g                     x :          ，，有： 1 ln g g x                 x x :                       湍流研究中，经常需要对相关物理量进行时均分解，并且根据实际问题往往需要对非 Cartesian 坐标系中的 Navier-Stokes 方程等分量方程进行时间分解，以获得平均量方程以及脉动量方程等[4]。对此，可以先明确：                                    此处， ，  表示二个任意张量场的时均分解， 和 为时间平均量， 和 为瞬时量。以上结论获得，基于             0 。按以上结论，结合非完整系理论，易于获得一般非完整的单位正交系下的分量方程。  张量的二点形式表示及其基本微分学运算

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 7 - : i A iA A iS S iA j B L j B LS j B LB j S L              ，可称对应初始构形的协变导数。  张量二点形式表示下的非完整系理论类比于一般非完整系理论，可以将相关思想及方法推广至张量的二点表示形式。首先，按非完整系定义张量梯度；其次，按坐标变化规则确定非完整系下的分量；然后，推导得非完整基下的协变导数计算式。                                            , , , iA l j B l jB i A iA l j B l jB i A xg x g x g x G G x g x g x g xt G G                    此处，                                L   L iA iA iA l jB l jB jB l x           ，式中           , L R L t l C C xt R l t x x        ，     : L L R G CG  R ，   t t l l g Cg  。对于完整系为正交基，非完整系为单位正交基情形，则有：     L l l ijAB l ijAB L ijAB x           式中       , L L LL l l l l G x t x g x          1 , , l l l ijAB l ijAB x t lsi sjAB lsj isAB g x             1 , , L LL ijAB L ijAB x t LSA sjSB LSB ijAS G              上述理论应很适合一般连续介质运动的 Lagrange 刻画。按郭仲衡著《非线性弹性理论》 [2]，基于 Lagrange 观点求解连续介质有限变形动力学的基本方法，归纳如下： ① 质量守恒：   , ,    o    tF t  ，此处   o   为初始密度分布。 ② 动量守恒：    , o o oo o m m           a t f f FT   ，此处   *  t FF   ，   * T F t FF     分别为 Piola－Kirchhoff 第一、第二类应力张量

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 10 -                   3 3 3 3 3 3 3 i j ji l l ji j i i j j ji ji i ll l i j ji j j j j ll l j j i i l i x g g ng g nx x x g g x gg xg g x xx x n g xn g x g n x xx x xg n x                                                                     i i l l j i g n xn g x x x               本文未涉及连续介质几何形态为曲面（二维 Riemann 流形）的有限变形理论，对此可参阅文献[5]，涉及更为系统的二维 Riemann 流形上的张量场分析. 4 可变形边界局部动力学有关研究的理论基础利用图 4 所示的基于曲面的半正交坐标系，我们可开展涡量与涡动力学观点下，自身可作有限变形的运动的曲面（固体壁面）上的局部动力学行为。相关理论结果，希望建立相关力学机制同几何特性之间的关系。  壁面应力 3 3 3 3 2 + 2 i j i n i i j V VV t p n bV g x xx                                 流固耦合项非均匀性项几何－速度耦合项对于常感兴趣的壁面切应力，现其可分解为流固耦合项、壁面自身运动速度的非均匀项以及壁面几何与壁面速度耦合项。按实际计算流体动力学（CFD），可以获得上述三项的时域信号，对其进行 Fourier 变换可获得时域信息；由此可基于 Parseval 等式研究此三项的能量对比关系。  壁面涡量法向梯度参照吴介之等关刚性壁面上涡量法向梯度的分析过程（按《涡动力学引论》中所述）[6]，可以获得边界可作有限变形运动的相关结论。现主要需处理的对象为：    n。利用关系式（可直接计算）：       l l n n S n n S b nS S H nS S                            此处 S 可为任意仿射量， l H b  l 为曲面平均曲率。对于     n，先有：