《第十一届全国水动力学学术会议文集》：现代张量分析在连续介质力学中的若干应用（复旦大学：谢锡麟）

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 现代张量分析在连续介质力学中的若干应用 谢锡麟 (复旦大学力学与工程科学系,上海,200433,Email:xiexilin@fudan.edu.cn 摘要:本文籽叙述Eucd空间上张量场分析、二维曲面( Riemann流形)上的张量场分 析的相关知识体系要点,以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础等。张 量分析是我国著名力学家周培源先生常用的数学及力学分析方法,亦谨以本位表示为前辈诚 挚的仰慕之情。 关键词:连续介质力学; Euclid空间上张量场分析;二维曲面上张量场分析;涡量与涡动 力学 1引言 一般连续介质力学的理论体系,引入初始物理构形以及当前物理构形,对二者可再分别 引入初始参数构形以及当前参数构形,物理构形与参数构形之间的关系即为一般曲线坐标系 数学上对应为有限维 Euclid空间之间二个开集之间的微分同胚[1-2]。 本研究受国家自然科学基金面上项目(1112069),上海市教委2011年上海高校本科重点教学改革项目的资

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 1 - 现代张量分析在连续介质力学中的若干应用* 谢锡麟 (复旦大学 力学与工程科学系，上海，200433, Email: xiexilin@fudan.edu.cn) 摘要：本文将叙述 Euclid 空间上张量场分析、二维曲面（Riemann 流形）上的张量场分 析的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础等。张 量分析是我国著名力学家周培源先生常用的数学及力学分析方法，亦谨以本位表示为前辈诚 挚的仰慕之情。 关键词：连续介质力学；Euclid 空间上张量场分析；二维曲面上张量场分析；涡量与涡动 力学 1 引言 一般连续介质力学的理论体系，引入初始物理构形以及当前物理构形，对二者可再分别 引入初始参数构形以及当前参数构形，物理构形与参数构形之间的关系即为一般曲线坐标系， 数学上对应为有限维 Euclid 空间之间二个开集之间的微分同胚[1-2]。 * 本研究受国家自然科学基金面上项目（11172069），上海市教委 2011 年上海高校本科重点教学改革项目的资 助

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 内射流边界 外射流边界 n, I 外射流边界 D 内射流边界 5.R(n,s, 1)cosn X(x)Dm×R”3(x1={0→(x(x)+2=x2(x0)5.R(n)smn 图1边界可作有限变形运动的射流其当前物理构形所对应曲线坐标系的选取 为研究边界的有限变形运动对介质运动的影响,我们对于当前物理构形引入显含时间的 曲线坐标系,表现为时空空间中的微分同胚。通过构造适当的曲线坐标系可将物理空间中几 何形态不规则且随时间变化的运动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变 化的参数区域。如图1所示,对于研究出口边界可作有限变形运动的射流场,其当前物理构 形显得极其复杂,但我们可以考虑如图所示的对应于当前物理构形的显含时间的曲线坐标系 使得当前参数构形不仅几何形态规则而且不随时间变化[3]。进一步将连续介质运动的控制方 程按曲线坐标系的局部基展开就可获得定义于参数区域上的控制方程。特别地,可基于非完 整系理论系统获得控制方程在一般单位正交系(非完整系)下的分量方程,也适用于按时均 分解的湍流控制方程。我们亦可将把相关方法推广至张量梯度的多点表示形式 以上所述,一定程度上归纳了现代张量分析在现代连续介质力学中有关应用的基本思想 及方法。本文将叙述巸 uclid空间上张量场分析、二维曲面( Riemann流形)上的张量场分析 的相关知识体系要点,以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础 2 Euclid空间上的张量场分析 ◆曲线坐标系

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 2 - 1 X o  DPar   1 2 H o 2 X 3 X DPhy 外射流边界 内射流边界 R t   , r t   , 外射流边界 内射流边界              1 + 2 3 , , cos X , : , , X , , , , , , sin , r r X Rt x t D xt t xt t X xt t R t t X                                                                        图 1 边界可作有限变形运动的射流其当前物理构形所对应曲线坐标系的选取 为研究边界的有限变形运动对介质运动的影响，我们对于当前物理构形引入显含时间的 曲线坐标系，表现为时空空间中的微分同胚。通过构造适当的曲线坐标系可将物理空间中几 何形态不规则且随时间变化的运动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变 化的参数区域。如图 1 所示，对于研究出口边界可作有限变形运动的射流场，其当前物理构 形显得极其复杂，但我们可以考虑如图所示的对应于当前物理构形的显含时间的曲线坐标系， 使得当前参数构形不仅几何形态规则而且不随时间变化[3]。进一步将连续介质运动的控制方 程按曲线坐标系的局部基展开就可获得定义于参数区域上的控制方程。特别地，可基于非完 整系理论系统获得控制方程在一般单位正交系（非完整系）下的分量方程，也适用于按时均 分解的湍流控制方程。我们亦可将把相关方法推广至张量梯度的多点表示形式。 以上所述，一定程度上归纳了现代张量分析在现代连续介质力学中有关应用的基本思想 及方法。本文将叙述 Euclid 空间上张量场分析、二维曲面（Riemann 流形）上的张量场分析 的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础。 2 Euclid 空间上的张量场分析  曲线坐标系

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 g3(x) Curvilinear-coordiante g3xa X(x)∈C"(D2D,) 81(xa g <Ilocal Co variant-Basis DX(x)=[8,g2](x) 图2三维 Euclid空间中一般曲线坐标系示意图 可基于有限维 Euclid空间中微分同胚的映照理解曲线坐标系X(x)∈C(D,D,)如图 2所示,曲线坐标系的 Jacobian矩阵的每列直接定义的局部协变基向量。按线性代数,即得 对任一局部协变基{g},存在唯一的局部逆变基{g),满足(g,g)2=。以此,按有限 维Ecid空间中的微分学,即可引入m1se1符号的定义:R3()=g 张量函数空间的范数 张量场一般定义如下所述: d(x):R923x中(x)会:(x),8g88(x)∈T(R") 此处,不失一般性以三阶张量为例。我们可以考虑建立张量赋范线性空间,亦即引入张量范 数 ") Φ∈T 对于简单张量,则有:1n⑧5g)=xm-1。籍此,可基于一般赋范线性空间 上的微分学研究张量场以及一般张量映照的相关性质。 张量场可微性 按微分学,可估计因位置发生微小变化,而引起的张量的变化 (x+1)=(x)+:(x)gg8g:(x)+0(1-)er(R") ag k 此处口中(x)=(x)+I中;-中∷+,即为一般定义的张量分量的协变

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 3 - 1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h 1   a g x 2   a g x 3   a g x 1 x 2 x 3 x o     ; p x y Curvilinear coordiante Xx C DD       123   var : ,, local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x 1   d g x 3   d g x 2   d g x 3 x 1 x 图 2 三维 Euclid 空间中一般曲线坐标系示意图 可基于有限维 Euclid 空间中微分同胚的映照理解曲线坐标系     , p X x y x C DD  。如图 2 所示，曲线坐标系的 Jacobian 矩阵的每列直接定义的局部协变基向量。按线性代数， 即得 对任一局部协变基gi ，存在唯一的局部逆变基  j g ，满足  3 , j j i i g g    。以此，按有限 维 Euclid 空间中的微分学，即可引入 Christoffel 符号的定义：   3 , : i s i js j s ji s g g x x g         。  张量函数空间的范数 张量场一般定义如下所述：           3 : m ik j m ji k        x x x xg g g x T      此处，不失一般性以三阶张量为例。我们可以考虑建立张量赋范线性空间，亦即引入张量范 数：   1 1 p p m p i i      T i i      ，   p m T  对于简单张量，则有：   3 m m mm T            。籍此，可基于一般赋范线性空间 上的微分学研究张量场以及一般张量映照的相关性质。  张量场可微性 按微分学，可估计因位置发生微小变化，而引起的张量的变化：           3 m ik j l m lj i k           x h x xg g g x h oh T      此处     i k ik i sk s ik k is j l j ls j lj s ls j l x x x                   ，即为一般定义的张量分量的协变

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 导数。进一步,可有: dgp (x)(b)=[a0;(x)g,⑧g88g(x)][hg(x)]=(8a)(x)H =[hg(x)][ac:(x)g8g;.g8]=H()x) 由此,张量场梯度可以认为是张量场导数的内蕴表达形式。 ◆张量场方向导数 基于张量场可微性,可以定义张量场方向导数: lim (x+2)-中(x) =口Φ;(x)g⑧g⑧8(4):0t a￥(x)∈T(R 由此,可基于形式运算,定义任意张量场的任意场论运算 ◇场论恒等式推导基本要素 一般 Euclid空间中,场论恒等式的推导,可基于以下三方面要素 ①置换符号同 Kroneck符号之间的关系 8k-6 此处e以及6分别代表置换符号以及 Kronecker符号;∈为 Eddington张量的逆变分量。 ) Ricci引理 (E(x)8, 8g, @g(x)=V,e(x)8, @g, @ g(x) a(x)=0(8()8g(x)=Vs()gg(x)=0 亦即, Eddington张量场e(x)g8g,8g4(x)以及度量张量场gn(x)g'g(x)对所有 的方向导数均为零。 ③张量场分量之协变导数作用可以交换次序 V=V 本性质直接反映了 Euclid空间或 Euclid流形的基本几何特性。 ◇非完整系理论基本要素 ①完整系中定义的张量场梯度及其整体表示的不变性 v8中(x)=Vp;(x)ggg8g(x)=Votm(x)g08g8g880(x)

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 4 - 导数。进一步，可有：                    : : ik j l q lj i k q q ik l j q lj i k d x h x g g g g x hg x x H dx hg x x g g g g H x                                        由此，张量场梯度可以认为是张量场导数的内蕴表达形式。  张量场方向导数 基于张量场可微性，可以定义张量场方向导数：           3 0 lim : l ik j m lj i k l xi x xg g g x x T  x                    由此，可基于形式运算，定义任意张量场的任意场论运算：   l l l l g gx x x                     场论恒等式推导基本要素 一般 Euclid 空间中，场论恒等式的推导，可基于以下三方面要素： ① 置换符号同 Kroneck 符号之间的关系 ijk j k k j ijk ipq p q p q ipq         e e 此处 ijk e 以及 k q  分别代表置换符号以及 Kronecker 符号； ijk  为 Eddington 张量的逆变分量。 ② Ricci 引理                 0 0 ijk ijk l l i jk l i jk ij ij l l ij l ij x xg g g x xg g g x x x G x g xg g x g xg g x x x                         亦即，Eddington 张量场     ijk i jk   x g g gx 以及度量张量场    i j ij g xg g x  对所有 的方向导数均为零。 ③ 张量场分量之协变导数作用可以交换次序 pq qp    本性质直接反映了 Euclid 空间或 Euclid 流形的基本几何特性。  非完整系理论基本要素 ① 完整系中定义的张量场梯度及其整体表示的不变性                         : :   ik l j lj i k x xg g g g x xg g g g x                     

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 此处V0(x)= Ceci Cibc(x)vm:(x)表示张量场梯度vaΦ(x)相对于 非完整基 的张量分量。 非完整基中的相关运算定义 形式偏导数:=Cp 形式 Christoffel符号 r(ae(x)=ccia cie(x) r*(x)-Cia cie,(x). a(x) 形式协变导数(亦即张量场梯度相对于非完整基的分量 )(x)+r(a)db()(r) a)(y) -r(ole, 7+r(ele alalie 实际理论分析或数值分析中,完整基为正交基,而非完整基为其单位正交基化。由此 可得在非完整的单位正交基中,形式偏导数、形式 Christoffel符号以及形式协变导数为 Lake,(x)=raye=r(aBr), ti: r(aBa)=-r(aaB) 1 aIn V(0)(ay)(x)=ob(aBy)(x)+r(a)d(mp)+r(p)(y)+r(y)(anB) 湍流研究中,经常需要对相关物理量进行时均分解,并且根据实际问题往往需要对非 Cartesian坐标系中的 Navier- Stokes方程等分量方程进行时间分解,以获得平均量方程以及 脉动量方程等[4]。对此,可以先明确: 平。-(8小)=(平+)-(8(④+)=平。-(8面)+v-(8) 此处,H=平+,Φ=Φ+表示二个任意张量场的时均分解,平和Φ为时间平均量,v 和为瞬时量。以上结论获得,基于o-(8①)=。-(8①)=0。按以上结论,结合非 完整系理论,易于获得一般非完整的单位正交系下的分量方程 ◇张量的二点形式表示及其基本微分学运算

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 5 - 此处                       l j ik i k lj x CC CC x x                表示张量场梯度  x 相对于 非完整基g    的张量分量。 ② 非完整基中的相关运算定义 形式偏导数：   : l   C l   形式 Christoffel 符号：                    :   ij k ij j k ij i C x CCC x x CC x x x                形式协变导数（亦即张量场梯度相对于非完整基的分量）：                                                      x x :                                       实际理论分析或数值分析中，完整基为正交基，而非完整基为其单位正交基化。由此， 可得在非完整的单位正交基中，形式偏导数、形式 Christoffel 符号以及形式协变导数为：     1 : l C l g                     x :          ， ，有： 1 ln g g x                 x x :                       湍流研究中，经常需要对相关物理量进行时均分解，并且根据实际问题往往需要对非 Cartesian 坐标系中的 Navier-Stokes 方程等分量方程进行时间分解，以获得平均量方程以及 脉动量方程等[4]。对此，可以先明确：                                    此处， ，  表示二个任意张量场的时均分解， 和 为时间平均量， 和 为瞬时量。以上结论获得，基于             0 。按以上结论，结合非 完整系理论，易于获得一般非完整的单位正交系下的分量方程。  张量的二点形式表示及其基本微分学运算

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 G2 $-Curve 83 8 x-Curve gI g 图3初始物理构形以及当前物理对应曲线坐标系所诱导的局部基示意图 一般连续介质理论,常引入初始物理构形及其曲线坐标系X=X()ec(: 及当前物理构形及其曲线坐标系X(x)∈Cr2,F|:由此,不同的曲线坐标系则可以诱导独 立的局部基,如{G2(引)及{g,(x)},如图3所示。 对任意张量,如其表达式中构成简单张量的不同向量来源于不同的基,如 d(5,x,)=④B(5,x,1)9(x)8g(x)8G4(5)G(5),则可引入全偏导数的定义 并可得其计算式 (x)=o(5(x1)x门]=6((x0)x)+62(x) ap a().x) Vd(x0),x0)+-(x) (5(x,) g1(x)8g(x,)8G4(5)8G(5) =中(5(x,),x,)8(x1)8g(x,)8G(5)8G2(5) 此处,全协变导数具有表达式 d V,g 式中 V,A=+r-r0,,可称对应当前构形的协变导数

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 6 - o 1 X  2 X  3 X  1  Curve 2  Curve 3  Curve G1 G2 G3 o 1 X 1 x Curve 2 x Curve 3 x Curve  1 g 2 g3 g 2 X 3 X G  A  l g 图 3 初始物理构形以及当前物理对应曲线坐标系所诱导的局部基示意图 一般连续介质理论，常引入初始物理构形及其曲线坐标系   , p X X C VV             ，以 及当前物理构形及其曲线坐标系   , t t p X x x C VV       ；由此，不同的曲线坐标系则可以诱导独 立的局部基，如GA   及g x i  ，如图 3 所示。 对任意张量，如其表达式中构成简单张量的不同向量来源于不同的基，如：      ,, ,,       iA j B jB i A         xt xt g x g x G G ，则可引入全偏导数的定义， 并可得其计算式：                           , , ,, , ,, , , ,, , , , , , , , , L l l l lL L iA iA l jB L jB l i x t xt xt xt xt xt xt xt xx x x xt xt xt xt xt x g xt                                                       , : , , , , , j B A iA j B l jB i A g xt G G xt xt g xt g xt G G            此处，全协变导数具有表达式：   L iA iA iA l jB l jB L jB l x x           ， 式中 : i A iA i sA s iA j B l j B ls j B lj s B l x         ，可称对应当前构形的协变导数；

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 BΦys,可称对应初始构形的协变导数 ◇张量二点形式表示下的非完整系理论 类比于一般非完整系理论,可以将相关思想及方法推广至张量的二点表示形式。首先, 按非完整系定义张量梯度;其次,按坐标变化规则确定非完整系下的分量:然后,推导得非 完整基下的协变导数计算式。 ③d=吗(5,x)(x)③g、(x)8g(x)8G1(5)8G°(5) 0④(0o1(5,x)g(x)8g(x)8g(x)8G(5)8G() 此处,=0中(n(2=yo①p(2+o0v(, 式中a (x, 1),G=CRG, g=Cing 对于完整系为正交基,非完整系为单位正交基情形,则有: ()(j4B)=V(0B Φ(iAB 式中 4) (D) V()d(4B)= aΦ(iAB x(5,x)+r(s)(94B)+r(4y)(sAB) V(L)Φ(ijAB 1cΦiAB VGL ag" (5 x, 1)+T(LSA)D(sjiSB)+r(LSB)O(jIAs) 上述理论应很适合一般连续介质运动的 Lagrange刻画。按郭仲衡著《非线性弹性理论》 [2],基于 Lagrange观点求解连续介质有限变形动力学的基本方法,归纳如下: ①质量守恒:p(5,l)F(5,1)=p(5),此处p(5)为初始密度分布 ②动量守恒:pa(5,)=pfm+r口=pJm+(FT)口, 此处r=1(FF-),T=F1(FF)分别为 I Piola- Kirchhoff第、第二类应力张量

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 7 - : i A iA A iS S iA j B L j B LS j B LB j S L              ，可称对应初始构形的协变导数。  张量二点形式表示下的非完整系理论 类比于一般非完整系理论，可以将相关思想及方法推广至张量的二点表示形式。首先， 按非完整系定义张量梯度；其次，按坐标变化规则确定非完整系下的分量；然后，推导得非 完整基下的协变导数计算式。                                            , , , iA l j B l jB i A iA l j B l jB i A xg x g x g x G G x g x g x g xt G G                    此处，                                L   L iA iA iA l jB l jB jB l x           ， 式中           , L R L t l C C xt R l t x x        ，     : L L R G CG  R ，   t t l l g Cg  。 对于完整系为正交基，非完整系为单位正交基情形，则有：     L l l ijAB l ijAB L ijAB x           式中       , L L LL l l l l G x t x g x          1 , , l l l ijAB l ijAB x t lsi sjAB lsj isAB g x             1 , , L LL ijAB L ijAB x t LSA sjSB LSB ijAS G              上述理论应很适合一般连续介质运动的 Lagrange 刻画。按郭仲衡著《非线性弹性理论》 [2]，基于 Lagrange 观点求解连续介质有限变形动力学的基本方法，归纳如下： ① 质量守恒：   , ,    o    tF t  ，此处   o   为初始密度分布。 ② 动量守恒：    , o o oo o m m           a t f f FT   ， 此处   *  t FF   ，   * T F t FF     分别为 Piola－Kirchhoff 第一、第二类应力张量

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 ③能量守恒:∑=r:F=T:E,此处∑为初始构形中单位体积的内能,E为 Almansi应力 张量 能量守恒结合本构关系,可以确定动量守恒中的 Piola- Kirchhoff第一类、第二类应力 张量的表达形式,可由变形梯度表示。由此,求解连续介质运动的 Lagrange刻画,应该就是 求解运动x=x(5,),因为无论是变形梯度,还是应力都可以由此计算。 对上述过程,我们可以考虑在非完整的单位正交系中展开相关方程。如对于变形梯度, 可具有形式: F2(小(小0(= 此处设初始物理构形以及当前物理构形中局部均为完整的正交基,然后施行非完整的单位正 交化过程。 3二维曲面( Riemann流形)上的张量场分析 Botaxary of the Body x(对)D,3x=x2→x()=1x2(x)=2(x,x)+x2,(x) x'-Cuve 图4二维曲面上标架及其基此构建的半正交三维坐标系示意图 ◆曲面上局部标架 如图4所示,一般三维 Euclid空间中曲面的向量值映照表示如下 2(x):R2=D3x= →X(x2)X2(x)∈R

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 8 - ③ 能量守恒：    : : F TE   ，此处 为初始构形中单位体积的内能， E 为 Almansi 应力 张量。 能量守恒结合本构关系，可以确定动量守恒中的 Piola－Kirchhoff 第一类、第二类应力 张量的表达形式，可由变形梯度表示。由此，求解连续介质运动的 Lagrange 刻画，应该就是 求解运动 x  x t   , ，因为无论是变形梯度，还是应力都可以由此计算。 对上述过程，我们可以考虑在非完整的单位正交系中展开相关方程。如对于变形梯度， 可具有形式：   ,, :   i i A AA A A i ii x x F t g G t g G e i e A F iA e i e A                此处设初始物理构形以及当前物理构形中局部均为完整的正交基，然后施行非完整的单位正 交化过程。 3 二维曲面（Riemann 流形）上的张量场分析 3 X 1 X 2 X o 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 3 g 2 g 2 g 2 g 3 g 3 g 3 g   1 2  x x, Boundary of the Body 1 x Curve  2 x Curve  3 x Curve       1 1 2 2 12 3 12 3 3 X: X , , x x X x D x x x X x x x x nx x x X                   o 1 x 3 x Dx 2 x X  x 图 4 二维曲面上标架及其基此构建的半正交三维坐标系示意图  曲面上局部标架 如图 4 所示，一般三维 Euclid 空间中曲面的向量值映照表示如下：    1 1 2 23 2 3 : X x x Dx x X x x X                                 

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 此处D2为曲面参数域。由此,向量值映照的 Jacobian矩阵,可定义局部基向量(协变基及 逆变基)以及由此构成的切空间: ◆曲面第一、第二基本形式 可定义曲面第一、第二基本不变量 A=[8, Lax (x), a(x)lepSY 「a2x ar a (-x), m(x)le Sym 现以矩阵形式表示。基于线性代数中,同时对角化的结论,亦即: B∈Sm,3G非奇异 G AG=I t IG'BG=[,2 可定义 Guass曲率KG1l2以及平均曲率H≌λ1+ ◇曲面局部标架运动方程 按一般 Euclid空间上的微分学,可有: ()=+rA(x)8(x)+b(x)(x)=TA(x)g2(x)+b(x)n(x) (x)=-(x)g(x)+b(x)n(x) lar(x): =-b (x)8(x)=-b;(x)g,(x) 此处b=g“b2 , g 按张量赋范线性空间上的微分学,基于上述曲面局部标架运动方程,我们可以获得定义 于曲面之上的张量场沿曲面坐标线的偏导数

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 9 - 此处 D 为曲面参数域。由此，向量值映照的 Jacobian 矩阵，可定义局部基向量（协变基及 逆变基）以及由此构成的切空间：         1 1 T |, i ii x i jj i i i X span g x x span g x g g x                m-1 m-1  曲面第一、第二基本形式 可定义曲面第一、第二基本不变量       2 , , ij i i ij i j X X A g x x PSym x x X B b x n x Sym x x                                                  现以矩阵形式表示。基于线性代数中，同时对角化的结论，亦即：   2 1 2 A G AG=I , , s.t. G BG= , T T T PSym G B Sym              非奇异 可定义 Guass 曲率 KG  1 2  以及平均曲率 H  1 2    曲面局部标架运动方程 按一般 Euclid 空间上的微分学，可有：                    , : : : i k k j ji k ji ji k ji i ik i j jk j j i j ji j i g x xg x b xnx xg x b xnx x g x xg x b xnx x n x b xg x b xg x x                      此处 : i ik j k b gb  ， 3 : , i i k jk j g g x            ， 3 , : , k jk i i j g g x            按张量赋范线性空间上的微分学，基于上述曲面局部标架运动方程，我们可以获得定义 于曲面之上的张量场沿曲面坐标线的偏导数：

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 p 80g'+a n@g'+p 3 g, @n](x) (x)g,8g+,(x)8g1+4;828( (x)n⑧g (x)g,⑧ ag 3(x)8n+①,;8(x) 本文未涉及连续介质几何形态为曲面(二维 Riemann流形)的有限变形理论,对此可参 阅文献[5],涉及更为系统的二维 Riemann流形上的张量场分析 4可变形边界局部动力学有关研究的理论基础 利用图4所示的基于曲面的半正交坐标系,我们可开展涡量与涡动力学观点下,自身可 作有限变形的运动的曲面(固体壁面)上的局部动力学行为。相关理论结果,希望建立相关 力学机制同几何特性之间的关系 ◇壁面应力 1==|_+Ael 2b. 流固耦合项非均匀性项几何一速度耦合项 对于常感兴趣的壁面切应力,现其可分解为流固耦合项、壁面自身运动速度的非均匀项以及 壁面几何与壁面速度耦合项。按实际计算流体动力学(CFD),可以获得上述三项的时域信号 对其进行 Fourier变换可获得时域信息;由此可基于 Parseval等式研究此三项的能量对比关 系 ◆壁面涡量法向梯度 参照吴介之等关刚性壁面上涡量法向梯度的分析过程(按《涡动力学引论》中所述)[6], 可以获得边界可作有限变形运动的相关结论。现主要需处理的对象为:(V⑧o)n 利用关系式(可直接计算 (n×S)=b( =H(n-S)+VS 此处S可为任意仿射量,H=b为曲面平均曲率 对于(V⑧m)n,先有:

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 10 -                   3 3 3 3 3 3 3 i j ji l l ji j i i j j ji ji i ll l i j ji j j j j ll l j j i i l i x g g ng g nx x x g g x gg xg g x xx x n g xn g x g n x xx x xg n x                                                                     i i l l j i g n xn g x x x               本文未涉及连续介质几何形态为曲面（二维 Riemann 流形）的有限变形理论，对此可参 阅文献[5]，涉及更为系统的二维 Riemann 流形上的张量场分析. 4 可变形边界局部动力学有关研究的理论基础 利用图 4 所示的基于曲面的半正交坐标系，我们可开展涡量与涡动力学观点下，自身可 作有限变形的运动的曲面（固体壁面）上的局部动力学行为。相关理论结果，希望建立相关 力学机制同几何特性之间的关系。  壁面应力 3 3 3 3 2 + 2 i j i n i i j V VV t p n bV g x xx                                 流固耦合项 非均匀性项 几何－速度耦合项 对于常感兴趣的壁面切应力，现其可分解为流固耦合项、壁面自身运动速度的非均匀项以及 壁面几何与壁面速度耦合项。按实际计算流体动力学（CFD），可以获得上述三项的时域信号， 对其进行 Fourier 变换可获得时域信息；由此可基于 Parseval 等式研究此三项的能量对比关 系。  壁面涡量法向梯度 参照吴介之等关刚性壁面上涡量法向梯度的分析过程（按《涡动力学引论》中所述）[6]， 可以获得边界可作有限变形运动的相关结论。现主要需处理的对象为：    n。 利用关系式（可直接计算）：       l l n n S n n S b nS S H nS S                            此处 S 可为任意仿射量， l H b  l 为曲面平均曲率。 对于     n，先有：