Gauss曲率与平均曲率的意义 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11 Gauss曲率的几何意义 此处考虑三维空间中的二维曲面(x,x2)的某一点P的弯曲程度.在P点附近的曲面 上任取一邻域,记作∑6.如果曲面∑(x,x2)是一个平面,显然该邻域∑6中所有点的法向量 n(x3,x2)都指向同一方向;曲面越弯曲,则邻域∑。中各点的法向量的指向就越分散.这些法向 量分散的程度也就反应了曲面在该点处的弯曲程度 为了定量表示邻域∑内各点法向量的分散程度,可作如下映照:将邻域∑6内每一点的法 向量之起始端移动到同一点(比如原点O),则邻域∑6内曲面上的每一点都对应于单位球面(记 作S1)上的一个点,这个映照称为 Gauss映照,如图1所示.而这些法向量的分散程度也就可以 用单位球面上的点组成的区域相对于球心的立体角表达.对于单位球面,立体角在数值上也就等 于该区域的面积 平行移动 平行移动 Figure1: Gauss映照示意 因此,可以定义曲面在点P附近的弯曲程度为 K= lim
张量分析讲稿谢锡麟 Gauss 曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 Gauss 曲率的几何意义 此处考虑三维空间中的二维曲面 Σ(x 1 Σ, x2 Σ) 的某一点 P 的弯曲程度. 在 P 点附近的曲面 上任取一邻域, 记作 Σδ. 如果曲面 Σ(x 1 Σ, x2 Σ) 是一个平面, 显然该邻域 Σδ 中所有点的法向量 n(x 1 Σ, x2 Σ) 都指向同一方向; 曲面越弯曲, 则邻域 Σδ 中各点的法向量的指向就越分散. 这些法向 量分散的程度也就反应了曲面在该点处的弯曲程度. 为了定量表示邻域 Σδ 内各点法向量的分散程度, 可作如下映照: 将邻域 Σδ 内每一点的法 向量之起始端移动到同一点 (比如原点 O), 则邻域 Σδ 内曲面上的每一点都对应于单位球面 (记 作 S1) 上的一个点, 这个映照称为 Gauss 映照, 如图1所示. 而这些法向量的分散程度也就可以 用单位球面上的点组成的区域相对于球心的立体角表达. 对于单位球面, 立体角在数值上也就等 于该区域的面积. n(xΣ) Σδ x y z O n(xΣ) 樅㹼ぶ蒔 樅㹼ぶ蒔 x 1 Σ x 2 Σ O DxΣ Figure 1: Gauss 映照示意 因此, 可以定义曲面在点 P 附近的弯曲程度为 K = lim |Σδ|→0 |ΣS1 | |Σδ| , 1
Gauss曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 式中,|∑6为曲面上点P某一邻域的面积,|∑s1为该邻域按Gaus映照到单位球面上之区域的 面积 单位球面可以由映照n=n(x3,n)来表示.设曲面上P点某邻域∑对应曲面坐标 (x3,x2)的范围为Dx,则有 m×m( ∑| 0∑0 art ax? (as, a)do 如果设曲面坐标(x3,n)的取值范围Dg的面积为|Dx,根据积分中值定理有 Eal+0 o/s, lim Ds laxy azlpy <al. 23 )do K= lim 12Si (s, s)do anan axl ax2 (Q) 68r-o Deslant az2(Q) aay azg(Q) 0∑0∑ aaz(Q) 式中,点Q为邻域∑中的某一点.因为当|∑|→0时,必然有Q→P,所以有 180|210、0E 设点P的切向量和法向量分别为91,g2,n,则有 ∑0 m1xax)=9×9=(91x9)n=dt(9192n) 而 9: det 9192 de 9192 9119120 det g 00 所以 0∑0∑ (P)=|g1×92lR3 3 根据曲面第二基本形式的定义,有 a x arzL()=(-bug')x(=b2 g )ga=pbib (9'xg )a (b11b22-b12b21)19'x92lp3 det B
张量分析讲稿谢锡麟 Gauss 曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 式中, |Σδ| 为曲面上点 P 某一邻域的面积, |ΣS1 | 为该邻域按 Gauss 映照到单位球面上之区域的 面积. 单位球面可以由映照 n = n(x 1 Σ, x2 Σ) 来表示. 设曲面上 P 点某邻域 Σδ 对应曲面坐标 (x 1 Σ, x2 Σ) 的范围为 DxΣ , 则有 |ΣS1 | = ∫ DxΣ ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ R3 (x 1 Σ, x2 Σ)dσ, |Σδ| = ∫ DxΣ ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ R3 (x 1 Σ, x2 Σ)dσ. 如果设曲面坐标 (x 1 Σ, x2 Σ) 的取值范围 DxΣ 的面积为 |DxΣ |, 根据积分中值定理有 K = lim |Σδ|→0 |ΣS1 | |Σδ| = lim |Σδ|→0 ∫ DxΣ ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ R3 (x 1 Σ, x2 Σ)dσ ∫ DxΣ ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ R3 (x 1 Σ, x2 Σ)dσ = lim |Σδ|→0 |DxΣ | ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ R3 (Q) |DxΣ | ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ R3 (Q) = lim |Σδ|→0 ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ R3 (Q) ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ R3 (Q) , 式中, 点 Q 为邻域 Σδ 中的某一点. 因为当 |Σδ| → 0 时, 必然有 Q → P, 所以有 K = lim |Σδ|→0 |ΣS1 | |Σδ| = ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ R3 (P) ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ R3 (P) . 设点 P 的切向量和法向量分别为 g1 , g2 , n, 则有 ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ R3 (P) =|g1 × g2 |R3 = (g1 × g2 ) · n = det ( g1 g2 n ) . 而 |g1 × g2 | 2 R3 = det ( g1 g2 n ) det ( g1 g2 n ) = det( g T 1 g T 2 n T ( g1 g2 n ) ) = det g11 g12 0 g21 g22 0 0 0 1 = det G, 所以 ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ R3 (P) = |g1 × g2 |R3 = √ det G. 根据曲面第二基本形式的定义, 有 ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ R3 (P) = (−b1ig i ) × (−b2jg j ) R3 = b1ib2j (g i × g j ) R3 =(b11b22 − b12b21) g 1 × g 2 R3 = det B √ det G . 2
Gauss曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 综上,有 K= lim Esil- detb=k E60|∑6detG 即为 Gauss曲率. 12平均曲率的力学意义 平均曲率对曲面的弯曲程度的刻画似乎比Gaus曲率更为“宽泛”,如下节的计算表明,柱 面的 Guass曲率为零而平均曲率不为零.另一方面,平均曲率直接联系于几何形态为曲面的连续 介质的力学行为,包括溥膜的表面张力,薄膜作有限变形运动时薄膜面密度(厚度)等 2应用事例 21二维 Monge型曲面的 Gauss曲率及平均曲率 设R3中的二维 Monge型曲面具有以下的向量值映照表示 (x,y):Dy3)→E(x,y) ∈R3, f(, y) 有 fr fy 所以有 gi =(DE)DE=I2+(Df)D/s/1+f ffy f1+f2 法向量为 fr fy 91×92 1++f2 计算曲面第二基本量,即 bij=(a3 1+f2+f2 Vry foul 另可得 +f2-frfy =(0)=1++f(-1,1+f ①本书第五部分将给出相关结论
张量分析讲稿谢锡麟 Gauss 曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 综上, 有 K = lim |Σδ|→0 |ΣS1 | |Σδ| = det B det G = KG, 即为 Gauss 曲率. 1.2 平均曲率的力学意义 平均曲率对曲面的弯曲程度的刻画似乎比 Gauss 曲率更为 “宽泛”, 如下节的计算表明, 柱 面的 Guass 曲率为零而平均曲率不为零. 另一方面, 平均曲率直接联系于几何形态为曲面的连续 介质的力学行为, 包括薄膜的表面张力, 薄膜作有限变形运动时薄膜面密度 (厚度) 等➀. 2 应用事例 2.1 二维 Monge 型曲面的 Gauss 曲率及平均曲率 设 R 3 中的二维 Monge 型曲面具有以下的向量值映照表示: Σ(x, y) : Dxy ∋ ( x y ) 7→ Σ(x, y) = x y f(x, y) ∈ R 3 , 有 DΣ(x, y) = 1 0 0 1 fx fy = ( g1 g2 ) (x, y) = ( I2 Df(x, y) ) . 所以有 ( gij) = (DΣ) TDΣ = I2 + (Df) TDf = ( 1 + f 2 x fxfy fxfy 1 + f 2 y ) , 法向量为 n = 1 |g1 × g2 |R3 g1 × g2 = 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y −fx −fy 1 . 计算曲面第二基本量, 即 bij , ( ∂gi ∂xi , n ) R3 = 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y ( fxx fxy fxy fyy) (x, y), 另可得 ( g ij) = ( gij)−1 = 1 1 + f 2 x + f 2 y ( 1 + f 2 y −fxfy −fxfy 1 + f 2 x ) , ➀ 本书第五部分将给出相关结论. 3
Gauss曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 故可有 +f2-fafy/frr fry (1+f+f (-ff1+ (1+f)frz-fafy fry (1+fu)fry-frfy (1+f2+1)3(1+)y-fx(1+f)fm-fff 综上,可有 det (1+f H=bs=(+ ) fzx+(1+ /1Jyy-2y2yzy (1+f2+f2) 对于柱面,其向量值映照表示为 2(a, y): Dry 3 f(r) 此情形下,有 fy=0, fry=fyy=0 因此可得柱面的曲率计算式为 frr (1+f2 对于平均曲率的计算,也可根据如下关系式获得 式中{x22=1为曲面∑的一般参数.现已有 10 + (x,y) 1+f2 1 fr fy f2+f 直接求其逆矩阵,即 +f2 f2+fy f2+f2 1+f2+f2 1+ 1++1++1+f+f far f2+f2 +f1++
张量分析讲稿谢锡麟 Gauss 曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 故可有 ( b i j ) = ( g ik) (bkj) = 1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 ( 1 + f 2 y −fxfy −fxfy 1 + f 2 x ) (fxx fxy fxy fyy) = 1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 ( (1 + f 2 y )fxx − fxfyfxy (1 + f 2 y )fxy − fxfyfyy (1 + f 2 x )fxy − fxfyfxx (1 + f 2 x )fyy − fxfyfxy) . 综上, 可有 KG = det ( bij) det ( gij) = fxxfyy − f 2 xy (1 + f 2 x + f 2 y ) 2 , H = b s s = (1 + f 2 y )fxx + (1 + f 2 x )fyy − 2fxfyfxy (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 . 对于柱面, 其向量值映照表示为 Σ(x, y) : Dxy ∋ ( x y ) 7→ Σ(x, y) = x y f(x) ∈ R 3 . 此情形下, 有 fy = 0, fxy = fyy = 0, 因此可得柱面的曲率计算式为 KG = 0, H = fxx (1 + f 2 x ) 3 2 . 对于平均曲率的计算, 也可根据如下关系式获得. −b s s = Σ ∇ · n = g 1 · ∂n ∂x1 (x) + g 2 · ∂n ∂x2 (x), 式中 {x i} 2 i=1 为曲面 Σ 的一般参数. 现已有 ( g1 g2 n ) (x, y) = 1 0 −√ fx 1 + f 2 x + f 2 y 0 1 − fy √ 1 + f 2 x + f 2 y fx fy 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y , 直接求其逆矩阵, 即 ( g1 g2 n )−1 = 1 + f 2 y 1 + f 2 x + f 2 y −fxfy 1 + f 2 x + f 2 y fx 1 + f 2 x + f 2 y −fxfy 1 + f 2 x + f 2 y 1 + f 2 x 1 + f 2 x + f 2 y fy 1 + f 2 x + f 2 y √ −fx 1 + f 2 x + f 2 y −fy √ 1 + f 2 x + f 2 y 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y , 4
Gauss曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 则有 1+ 1+层+后1+层+√1+B+月 fry +f2 1++f1++、1+f+ 层+后1+层+后√1+B+ 所以 +f2 fry 9=计++,=1++1+ ∫x fy 1+B+/元可计算得 + f (1+fa)frr-fa r (x,y) 1++f (1++/(1+B)mM=, frfxr fyfry f2+fy V/1++f (1+f)fry-frfyfyy fy V++1 (1++)3|(1+f)m-J fafry +fy fyy 1++f2 以有 an 1+ f])fxr-frfyfry (1+f2+f2) (,y)=、(1+f)m-f到f=-b an (1+f2+f3)2 由此可得平均曲率 H - bs(1+2)far+(1+f2)fyy-2frfyfxy (1+f+f2)3
张量分析讲稿谢锡麟 Gauss 曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 则有 ( g 1 g 2 n ) = ( g1 g2 n )−T = 1 + f 2 y 1 + f 2 x + f 2 y −fxfy 1 + f 2 x + f 2 y √ −fx 1 + f 2 x + f 2 y −fxfy 1 + f 2 x + f 2 y 1 + f 2 x 1 + f 2 x + f 2 y −fy √ 1 + f 2 x + f 2 y fx 1 + f 2 x + f 2 y fy 1 + f 2 x + f 2 y 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y , 所以 g 1 = 1 1 + f 2 x + f 2 y 1 + f 2 y −fxfy fx , g 2 = 1 1 + f 2 x + f 2 y −fxfy 1 + f 2 x fy . 由 n = 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y −fx −fy 1 可计算得 ∂n ∂x (x, y) = ∂ ∂x √ −fx 1 + f 2 x + f 2 y ∂ ∂x −fy √ 1 + f 2 x + f 2 y ∂ ∂x 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y = −1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 (1 + f 2 y )fxx − fxfyfxy (1 + f 2 x )fxy − fxfyfxx fxfxx + fyfxy , ∂n ∂y (x, y) = ∂ ∂y √ −fx 1 + f 2 x + f 2 y ∂ ∂y −fy √ 1 + f 2 x + f 2 y ∂ ∂y 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y = −1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 (1 + f 2 y )fxy − fxfyfyy (1 + f 2 x )fyy − fxfyfxy fxfxy + fyfyy , 所以有 g 1 · ∂n ∂x (x, y) = − (1 + f 2 y )fxx − fxfyfxy (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 = −b 1 1 , g 2 · ∂n ∂y (x, y) = − (1 + f 2 x )fyy − fxfyfxy (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 = −b 1 1 . 由此可得平均曲率 H = −b s s = (1 + f 2 y )fxx + (1 + f 2 x )fyy − 2fxfyfxy (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 . 5
Gauss曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 3建立路径 · Guass曲率刻画了曲面的“弯曲程度”,对此刻画有“ Gauss映照”,可以基于向量值映照的 积分学获得相关结论 ·按现有认识,平均曲率似乎多在力学或物理过程中显现其作用,表现为力学与数学的“耦合 机制
张量分析讲稿谢锡麟 Gauss 曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 3 建立路径 • Guass 曲率刻画了曲面的 “弯曲程度”, 对此刻画有 “Gauss 映照”, 可以基于向量值映照的 积分学获得相关结论. • 按现有认识, 平均曲率似乎多在力学或物理过程中显现其作用, 表现为力学与数学的 “耦合 机制”. 6
