曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 1.1 Riemann- Christoffel张量 定义1.1( Riemann- Christoffel张量). Rieman- Christoffel张量是四阶张量,其分量定义为 rijpg bipbjg- bibi 性质1.1( Riemann- Christoffel张量的基本性质). 1.指标升降关系:FF=Bb19-的 2.R R .q=-Ri9P, R: '9=R. 证明按 Riemann- Christoffel张量的定义和指标升降关系,可有 R' P9=9 gp Rsjtg=99P(bstbjq-bsgbjt)= Pbj -09bg R. q=b'Pbiq-b9 9=-(,69-6Pbjq R. 9=bPbjq-b9bq=-(0969-bPbj9)=-R Fq=bb-的 另外,对于二维曲面成立下述定理表述的关系 定理1.2(二维曲面上的 Riemann- Christoffel张量同度量张量之间的关系) Rijpg= bipbjg -bipbig kg(gipgjg-gip gig)
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 Riemann-Christoffel 张量 定义 1.1 (Riemann-Christoffel 张量). Riemann-Christoffel 张量是四阶张量, 其分量定义为 Rijpq = bipbjq − bjpbiq. 性质 1.1 (Riemann-Christoffel 张量的基本性质). 1. 指标升降关系: Ri · · j p · q = b ipbjq − b p j b i q ; 2. Ri · · j p · q = −R· j i · p · q, Ri · · j p · q = −Ri · · j · q p ; 3. Ri · · j p · q = R p · · q i ·j . 证明 按 Riemann-Christoffel 张量的定义和指标升降关系, 可有 1. R i · · j p · · q = g isg ptRsjtq = g isg pt(bstbjq − bsqbjt) = b ipbjq − b p j b i q . 2. R i · · j p · q =b ipbjq − b p j b i q = −(b p j b i q − b ipbjq) = −R · j i · p · q; R i · · j p · q =b ipbjq − b p j b i q = −(b p j b i q − b ipbjq) = −R i · · j · q p . 3. R i · · j p · q = b ipbjq − b p j b i q = b pibqj − b i q b p j = R p · · q i ·j . 另外, 对于二维曲面成立下述定理表述的关系. 定理 1.2 (二维曲面上的 Riemann-Christoffel 张量同度量张量之间的关系). Rijpq = bipbjq − bjpbiq = KG(gipgjq − gjpgiq). 1
曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 证明根据 Gauss曲率Kc的定义,有 det 亦即有 在二维的情况下,上式即为 K 91112 b21b2 即有 p-剑 亦即 定义12(ici张量).Rici张量是二阶张量,其分量定义为 Rij=R,isj=rij 定义1.3(数量曲率).数量曲率是一个标量,定义为 R=R= trR 定理1.3.对于二维曲面,有 Ri R K 证明首先有 Rii= risi= kGs 而 Kc(632-9s92)9n KG(4-2)gij=Ko 1.2 Ricci等式与 Codazzi方程 现在,研究曲面上的向量场A(cx)=A(x)9(xx)∈T∑.考虑该张量场在某坐标线上的 变化率 aA an)=am(49)(x)=m(xg)9+A(ra9+hn) A O2p(5)+rps 45)92+A"bpsn=Vpa'91+Abpsn
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 证明 根据 Gauss 曲率 KG 的定义, 有 KG = det ( g ikbkj) = det ( bij) det ( gij), 亦即有 KG det ( gij) = det ( bij) . 在二维的情况下, 上式即为 KG g11 g12 g21 g22 = b11 b12 b21 b22 . 即有 KG gip giq gjp gjq = bip biq bjp bjq . 亦即 KG(gipgjq − gjpgiq) = bipbjq − bjpbiq. 定义 1.2 (Ricci 张量). Ricci 张量是二阶张量, 其分量定义为 Rij = R s · isj = R · i s · js. 定义 1.3 (数量曲率). 数量曲率是一个标量, 定义为 R = R i ·i = trR. 定理 1.3. 对于二维曲面, 有 Rij = 1 2 Rgij = KGgij . 证明 首先有 Rij = R s · isj = KG(δ s s gij − gisδ s j ) = KGgij , 而 1 2 Rgij = 1 2 R s · · s gij = 1 2 R s · · · ts t · gij = 1 2 KG(δ s s δ t t − gtsg st)gij = 1 2 KG(4 − 2)gij = KGgij . 1.2 Ricci 等式与 Codazzi 方程 现在, 研究曲面上的向量场 A(xΣ) = Ai (xΣ)gi (xΣ) ∈ T Σ. 考虑该张量场在某坐标线上的 变化率: ∂A ∂xp Σ (xΣ) = ∂ ∂xp Σ (A s gs )(xΣ) = ∂As ∂xp Σ (xΣ)gs + A s (Γ t psgt + bpsn) = ( ∂At ∂xp Σ (xΣ) + Γ t psA s ) gt + A s bpsn = ∇pA t gt + A s bpsn. 2
曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 此表达式利用了针对曲面张量分量的曲面协变导数,对任意曲面上仿射量场日=6:;91⑧9(向 量场同理),其定义如下 (aE)+Tise.]-Tie 所以 Bxyoxp(ar)=a oVp4(91+p4(rg.+bhn)+a(4)n+4y(9 0 O2(VpA )(as)+IgvpA 9s+(Vp A )gn+ a-g(Abps)m Sbpsbg9t an(p4)(a)+FVp4一4小9,+p4+ar(4)n 按有限维 Euclid上的微分学,一定有关系式 02A (as 按gs项的系数平衡,有 Bxg(VpA)(as)+IgsVpA'-A' bptbg auF(DqA)(as)+Ip vgAt-A' bgtop 在上式两端加上-rVtA,将有 VOVPAS-bptbaA= VPvqAs-bgtbpA VOVPAS-VPVQA=(bptbas -bgtb)A 根据 Riemann- Christoffel张量的定义,有 VqVpA- VEGa°= R. A 称为 Gauss方程. 下面考虑曲面上仿射量场更(xx)=(x)91(x)g(xx),则有 O(a)=ar2()9189+③ ④ 39(ax)8gy2+重/g188(m) ddpe (cy)g;⑧g .g⑧ bn()+层时一功必小97+8n+吗n8 =Vp,91893+重y918n+bnn89
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 此表达式利用了针对曲面张量分量的曲面协变导数, 对任意曲面上仿射量场 Θ = Θi · · j gi ⊗ g j (向 量场同理), 其定义如下: ∇lΘ i · j , ∂Θi · j ∂xl Σ (xΣ) + Γ i lsΘ s · j − Γ s ljΘ i · s, 所以 ∂ 2A ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = ∂ ∂xq Σ (∇pA t )(xΣ)gt + ∇pA t (Γ s qtgs + bqtn) + ∂ ∂xq Σ (A s bps)n + A s bps(−b t q )gt = [ ∂ ∂xq Σ (∇pA s )(xΣ) + Γ s qt∇pA t ] gs + (∇pA t )bqtn + ∂ ∂xq Σ (A s bps)n − A s bpsb t qgt = [ ∂ ∂xq Σ (∇pA s )(x) + Γ s qt∇pA t − A t bptb s q ] gs + [ bqt∇pA t + ∂ ∂xq Σ ( A t bpt) ] n. 按有限维 Euclid 上的微分学, 一定有关系式 ∂ 2A ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = ∂ 2A ∂xp Σ ∂xq Σ (xΣ). 按 gs 项的系数平衡, 有 ∂ ∂xq Σ (∇pA s )(xΣ) + Γ s qt∇pA t − A t bptb s q = ∂ ∂xp Σ (∇qA s )(xΣ) + Γ s pt∇qA t − A t bqtb s p . 在上式两端加上 −Γ t qp∇tAs , 将有 ∇q∇pA s − bptb s qA t = ∇p∇qA s − bqtb s pA t , 即 ∇q∇pA s − ∇p∇qA s = (bptb s q − bqtb s p )A t . 根据 Riemann-Christoffel 张量的定义, 有 ∇q∇pA s − ∇p∇qA s = R s · tqpA t , 称为 Gauss 方程. 下面考虑曲面上仿射量场 Φ(xΣ) = Φ i ·j (xΣ)gi (xΣ) ⊗ g j (xΣ), 则有 ∂Φ ∂xp Σ (xΣ) = ∂Φi ·j ∂xp Σ (xΣ)gi ⊗ g j + Φ i ·j ∂gi ∂xp Σ (xΣ) ⊗ g j + Φ i ·jgi ⊗ ∂g j ∂xp Σ (x) = ∂Φi ·j ∂xp Σ (xΣ)gi ⊗ g j + Φ i ·j ( Γ k pigk + bpin ) ⊗ g j + Φ i ·jgi ⊗ ( −Γ j pkg k + b j pn ) = [ ∂Φi ·j ∂xp Σ (xΣ) + Γ i pkΦ k · j − Γ k pjΦ i ·k ] gi ⊗ g j + Φ i ·j b j pgi ⊗ n + Φ i ·j bpin ⊗ g j = ∇pΦ i ·jgi ⊗ g j + Φ i ·j b j pgi ⊗ n + Φ i ·j bpin ⊗ g j . 3
曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 进一步计算,可有 a2更 (0)+V时,一一一买498gy +[Vpa +V(0)9:n+[bgivpe j+vq( bpi)n? +p.(6pig +bpbqi n on 按张量赋范线性空间上微分学,可有 a2 02① 按g;⑧g1的系数平衡,有 ax(p2)+nVp-V,一的,一h a()+PV2-FmV更,一更,一, 在上式两端加上rV。更y,将有 VVp+中.1一,=VpV;一,1b-少,bb 根据 Riemann- Christoffel张量的定义,有 VV一VnV中=Rm时+如 上式为 Gauss方程的推广,称为 Ricci恒等式 按n⑧g的系数平衡有 bgi vp vo(, bpi)=bpi vg j+ Vp(,bqi) 因为 bgi vp + val bpi)=bgi vp+bpi vas (V,bpi), 所以平衡方程变为 称为 Codazzi方程 再按g;⑧n的系数平衡,有 bVn+Vq(…,)=bVg (,y) 由于 ba Pop j+Vq(p bp)=bpOp.j+pvq,+.V p 此时平衡方程同样变为 Codazzi方程 V
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 进一步计算, 可有 ∂ 2Φ ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = [ ∂ ∂xq Σ (∇pΦ i ·j ) + Γ i sq∇pΦ s · j − Γ s qj∇pΦ i ·s − Φ i ·sb s p bqj − Φ s · j bpsb i q ] gi ⊗ g j + [ b j q∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j b j p ) ] gi ⊗ n + [ bqi∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j bpi) ] n ⊗ g j + Φ i ·j (bpib j q + b j p bqi)n ⊗ n. 按张量赋范线性空间上微分学, 可有 ∂ 2Φ ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = ∂ 2Φ ∂xp Σ ∂xq Σ (xΣ). 按 gi ⊗ g j 的系数平衡, 有 ∂ ∂xq Σ (∇pΦ i ·j )+Γ i sq∇pΦ s · j − Γ s qj∇pΦ i ·s − Φ i · · s b s p bqj − Φ s · j bpsb i q = ∂ ∂xp Σ (∇qΦ i ·j ) + Γ i sp∇qΦ s · j − Γ s pj∇qΦ i ·s − Φ i ·sb s q bpj − Φ s · j bqsb i p . 在上式两端加上 Γ s qp∇sΦ i ·j , 将有 ∇q∇pΦ i ·j + Φ i ·sb s p bqj − Φ s · j bpsb i q = ∇p∇qΦ i ·j − Φ i ·sb s q bpj − Φ s · j bqsb i p . 根据 Riemann-Christoffel 张量的定义, 有 ∇q∇pΦ i ·j − ∇p∇qΦ i ·j = R i · · · · tqpΦ t · j + R · j t · · · qpΦ i ·t . 上式为 Gauss 方程的推广, 称为 Ricci 恒等式. 按 n ⊗ g j 的系数平衡有 bqi∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j bpi) = bpi∇qΦ i ·j + ∇p(Φ i ·j bqi). 因为 bqi∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j bpi) = bqi∇pΦ i ·j + bpi∇qΦ i ·j + Φ i ·j (∇qbpi), 所以平衡方程变为 ∇qbpi = ∇pbqi, 称为 Codazzi 方程. 再按 gi ⊗ n 的系数平衡, 有 b j q∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j b j p ) = b j p∇qΦ i ·j + ∇p(Φ i ·j b j q ). 由于 b j q∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j b j p ) = b j q∇pΦ i ·j + b j p∇qΦ i ·j + Φ i ·j∇qb j p , 此时平衡方程同样变为 Codazzi 方程 ∇qbpi = ∇pbqi. 4
曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 按n⑧n的系数平衡,有 +bl 上式是恒成立的 进一步,考虑下面的曲面上仿射量场型(xx)=3918n∈2(R3),则有 a2(x)= (x)9,8n+30(x)n+更,m(x2) (x)91n+小,3(91+bn)8n-重3h918g =|a(x2)+m23918n+①8nn一499 Vp重.391②n+3bnn8n-重,3bhn91⑧g 进一步计算 aagozp(ax)=-[va (e abpi)+bgi vp. 3]910g'-g' a(bpibgi+ bps gi)nog' +ax(p23(2)+3一的1号一2m918n gi Vp 3+ Org( . 3bpi)as)nn, 其基于微分学的恒等式为 02更 02更 8zoxpas)=axpo(Ez 按g;⑧91的系数平衡,有 (④.3bn)+bVp重3=Vp(p,3by)+ bpj vo 将得到 Codazzi方程 按g;8n的系数平衡,有 a(V13)(xy)+,3一,3n1-到!3y写 0 (V.3)(x)+,3-3b一要3by ax 在上式两端加上一rsVs23,即可得到 Gauss方程 VqVp: 3-VpVq:3= R'jgp ! 按n⑧g的系数平衡,将得到恒等式 bpibgi)=-d3(bqibpj+ baipi)
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 按 n ⊗ n 的系数平衡, 有 Φ i ·j (bpib j q + b j p bqi) = Φ i ·j (bqib j p + b j q bpi). 上式是恒成立的. 进一步, 考虑下面的曲面上仿射量场 Φ(xΣ) = Φ i ·3gi ⊗ n ∈ T 2 (R 3 ), 则有 ∂Φ ∂xp Σ (xΣ) = ∂Φi ·3 ∂xp Σ (xΣ)gi ⊗ n + Φ i ·3 ∂gi ∂xp Σ (xΣ) ⊗ n + Φ i ·3gi ⊗ ∂n ∂xp Σ (xΣ) = ∂Φi ·3 ∂xp Σ (xΣ)gi ⊗ n + Φ i ·3(Γ j pigj + bpin) ⊗ n − Φ i ·3bpjgi ⊗ g j = [ ∂Φi ·3 ∂xp Σ (xΣ) + Γ i pjΦ j · 3 ] gi ⊗ n + Φ i ·3bpin ⊗ n − Φ i ·3bpjgi ⊗ g j = ∇pΦ i ·3gi ⊗ n + Φ i ·3bpin ⊗ n − Φ i ·3bpjgi ⊗ g j . 进一步计算 ∂ 2Φ ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = − [ ∇q(Φ i ·3bpj ) + bqj∇pΦ i ·3 ] gi ⊗ g j − Φ i ·3(bpibqj + bpj bqi)n ⊗ g j + [ ∂ ∂xq Σ (∇pΦ i ·3)(xΣ) + Γ i qsΦ s · 3 − Φ i ·3bpj b j q − Φ j · 3bpj b i q ] gi ⊗ n + [ bqi∇pΦ i ·3 + ∂ ∂xq Σ (Φ i ·3bpi)(xΣ) ] n ⊗ n, 其基于微分学的恒等式为 ∂ 2Φ ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = ∂ 2Φ ∂xp Σ ∂xq Σ (xΣ). 按 gi ⊗ g j 的系数平衡, 有 ∇q(Φ i ·3bpj ) + bqj∇pΦ i ·3 = ∇p(Φ i ·3bqj ) + bpj∇qΦ i ·3, 将得到 Codazzi 方程 ∇qbpj = ∇pbqj . 按 gi ⊗ n 的系数平衡, 有 ∂ ∂xq Σ (∇pΦ i ·3)(xΣ)+Γ i qsΦ s · 3 − Φ i ·3bpj b j q − Φ j · 3bpj b i q = ∂ ∂xp Σ (∇qΦ i ·3)(xΣ) + Γ i psΦ s · 3 − Φ i ·3bqj b j p − Φ j · 3bqj b i p . 在上式两端加上 −Γ s pq∇sΦ i ·3, 即可得到 Gauss 方程 ∇q∇pΦ i ·3 − ∇p∇qΦ i ·3 = R i jqpΦ j · 3; 按 n ⊗ g j 的系数平衡, 将得到恒等式 −Φ i ·3(bpibqj + bpj bqi) = −Φ i ·3(bqibpj + bqj bpi); 5
曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 按n⑧m的系数平衡,有 bqi vp 3+oq(s bpi) (as)=bpi vq (:bgi)(az) 计算 ag 4p:3 (s) 故平衡条件为 (as)+ Ipibg +Gibe 在上式两端加上-rsba,即可得到 Codazzi方程 Volpi= pagi 上述分析揭示了体积上以及曲面上协变导数的本质差异——体积上的协变导数可以交换次 序,而曲面上的协变导数的次序交换需联系于 Riemann- Christoffel张量 2应用事例 2.1Levi- Civita梯度算子 相对于曲面梯度算子,可以形式上定义 Levi-Civita梯度算子=g ⅴ≡(gVa)@(g1③92+型91③n+ng+3n8n) 会qoV(918gy+3918n+n893+到n8n) V(gog)89+V面3(go91)8n+V配(gn)gy +V西3(g2n)an 不同于曲面梯度算子,Levi- Civita梯度算子仅对张量分量相对于切空间的指标有效,如上式中的 指标讠和j.一般而言,对同一曲面上张量场,其Ievi- Civita梯度算子仅是其曲面梯度算子的 部分 我们用ⅴ代表曲面梯度算子,用ⅴ代表曲面Levi- Civita梯度算子.值得指出,曲面梯度算 子基于微分学,故有明确的极限定义及极限值;而Ievi- Civita算子是按曲面上Levi- Civita联络 引入的形式上的定义.一般而言,Levi- Civita算子只是曲面梯度算子的一部内容 3建立路径 ·由于现研究的曲面位于 Euclid空间,故可以按极限观点定义曲面上张量场(可以既有切空 间上分量也可以有法向分量)沿曲面上坐标线上的一阶,二阶甚至高阶偏导数/变化率,并 且按极限分析(基于 Landau符号)获得对于的极限值.按一般赋范线性空间中的微分学, 现情形①张量场整体沿坐标线的偏导数可以交换次序 ①设定张量场具有足够的光滑性/正则性
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 按 n ⊗ n 的系数平衡, 有 bqi∇pΦ i ·3 + ∂ ∂xq Σ (Φ i ·3bpi)(xΣ) = bpi∇qΦ i ·3 + ∂ ∂xp Σ (Φ i ·3bqi)(xΣ). 计算 bqi∇pΦ i ·3 + ∂ ∂xq Σ (Φ i ·3bpi)(xΣ) = ∂Φi ·3 ∂xp Σ (xΣ)bqi + ∂Φi ·3 ∂xq Σ (xΣ)bpi + Γ i psΦ s · 3bqi + Φ i ·3 ∂bpi ∂xq Σ (xΣ), 故平衡条件为 ∂bpi ∂xq Σ (xΣ) + Γ s pibqs = ∂bqi ∂xp Σ (xΣ) + Γ s qibps. 在上式两端加上 −Γ s pqbsi, 即可得到 Codazzi 方程 ∇qbpi = ∇pbqi. 上述分析揭示了体积上以及曲面上协变导数的本质差异——体积上的协变导数可以交换次 序, 而曲面上的协变导数的次序交换需联系于 Riemann-Christoffel 张量. 2 应用事例 2.1 Levi-Civita 梯度算子 相对于曲面梯度算子, 可以形式上定义 Levi-Civita 梯度算子 C ∇ ≡ g l∇ ∂ ∂xl Σ : C ∇ } Φ ≡ ( g l∇ ∂ ∂xl Σ ) } (Φ i ·jgi ⊗ g j + Φ i ·3gi ⊗ n + Φ 3 ·jn ⊗ g j + Φ 3 ·3n ⊗ n) , g l } ∇ ∂ ∂xl Σ (Φ i ·jgi ⊗ g j + Φ i ·3gi ⊗ n + Φ 3 ·jn ⊗ g j + Φ 3 ·3n ⊗ n) = ∇lΦ i ·j (g l } gi ) ⊗ g j + ∇lΦ i ·3 (g l } gi ) ⊗ n + ∇lΦ 3 ·j (g l } n) ⊗ g j + ∇lΦ 3 ·3 (g l } n) ⊗ n. 不同于曲面梯度算子, Levi-Civita 梯度算子仅对张量分量相对于切空间的指标有效, 如上式中的 指标 i 和 j. 一般而言, 对同一曲面上张量场, 其 Levi-Civita 梯度算子仅是其曲面梯度算子的一 部分. 我们用 Σ ∇ 代表曲面梯度算子, 用 C ∇ 代表曲面 Levi-Civita 梯度算子. 值得指出, 曲面梯度算 子基于微分学, 故有明确的极限定义及极限值; 而 Levi-Civita 算子是按曲面上 Levi-Civita 联络 引入的形式上的定义. 一般而言, Levi-Civita 算子只是曲面梯度算子的一部内容. 3 建立路径 • 由于现研究的曲面位于 Euclid 空间, 故可以按极限观点定义曲面上张量场 (可以既有切空 间上分量也可以有法向分量) 沿曲面上坐标线上的一阶, 二阶甚至高阶偏导数/变化率, 并 且按极限分析 (基于 Landau 符号) 获得对于的极限值. 按一般赋范线性空间中的微分学, 现情形➀张量场整体沿坐标线的偏导数可以交换次序. ➀ 设定张量场具有足够的光滑性/正则性. 6
曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 ·由于张量场整体沿坐标线的二阶偏导数可以交换次序,故对于的二个极限值需要一致,由 此引出 Ricci等式以及 Codazzi方程. Riemann- Christoffel张量的引入可以是为了整理 Ricci等式对应的结果 按作者现有认识,区分曲面梯度算子与Lev- Civita算子隶属力学与数学之间的关系;基于 这样的区分作者建立固定曲面上二位流动的涡量动力学理论,主要由Lev- Civita算子建 立主要的关系式
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 • 由于张量场整体沿坐标线的二阶偏导数可以交换次序, 故对于的二个极限值需要一致, 由 此引出 Ricci 等式以及 Codazzi 方程. Riemann-Christoffel 张量的引入可以是为了整理 Ricci 等式对应的结果. • 按作者现有认识, 区分曲面梯度算子与 Levi-Civita 算子隶属力学与数学之间的关系; 基于 这样的区分作者建立固定曲面上二位流动的涡量动力学理论, 主要由 Levi-Civita 算子建 立主要的关系式. 7
