体积形态连续介质有限变形理论一输运方程 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11相关变形刻画 性质1.1(当前物理构型中有向线元、面元模的物质导数同其之间的关系式) (入)=(7 2./OX。z (, p)=(0-n. Dn) ox( 此处D全 L+L 称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形率张量;r和n分别表示有向 线元的指向以及有向面元的单位法向量 性质1.2(当前物理构型中有向线元、面元以及体元的物质导数同其之间的关系式) dX d入 0入×a(x.a=B/O Ox aX x ax(p 0入a 3. aXax aX OX OX ax aX·n,|(x)=0 处B全θI一口⑧V称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的面变形梯度 12输运方程 121第一类输运定理 将第四类变形刻画(性质1.1)结合微积分中第一类线积分以及面积分的计算式,可得第一类 输运定理
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论—输运方程 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 相关变形刻画 性质 1.1 (当前物理构型中有向线元、面元模的物质导数同其之间的关系式). 1. ˙ d t X dλ R3 (λ) = (τ · D · τ ) d t X dλ R3 (λ); 2. ˙ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 (λ, µ) = (θ − n · D · n) ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 (λ, µ). 此处 D , L + L ∗ 2 称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形率张量; τ 和 n 分别表示有向 线元的指向以及有向面元的单位法向量. 性质 1.2 (当前物理构型中有向线元、面元以及体元的物质导数同其之间的关系式). 1. ˙ d t X dλ (λ) = L · d t X dλ (λ); 2. ˙ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ) = B · ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ); 3. ˙ ∂ t X ∂λ , ∂ t X ∂µ , ∂ t X ∂γ (λ, µ, γ) = θ ∂ t X ∂λ , ∂ t X ∂µ , ∂ t X ∂γ (λ, µ, γ). 此处 B , θI − ⊗ V 称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的面变形梯度. 1.2 输运方程 1.2.1 第一类输运定理 将第四类变形刻画 (性质1.1) 结合微积分中第一类线积分以及面积分的计算式, 可得第一类 输运定理. 1
体积形态连续介质有限变形理论·输运方程 谢锡麟 1.物质线第一类输运定理 d d a入|(x)d T 2.物质面第一类输运定理 dt 更d (A, u)do 更d+.更6da-1.更(m·D·mdo (xt)+口·(V重)d (a0,(山 122第二类输运定理 将第三类变形刻画(性质1.2)结合微积分中第二类线积分以及面积分的计算式,可得第二类 输运定理.以下⑥表示任何合法的张量代数运算. 物质线第二类输运定理 /垂r=温/试 中T+1(L,T) dttogdl-d d (入)更dλ 重d+1,(x·L*)⊙l 2.物质面第二类输运定理 d d aX 中⊙ 更回nda+/更回(B·n)da n⊙od=d (A,p)⊙重d n回更da+/.(n:B-)@更da;
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -输运方程 谢锡麟 1. 物质线第一类输运定理 d dt ∫ t C Φdl = d dt ∫ b a Φ d t X dλ R3 (λ)dλ = ∫ t C Φ˙ dl + ∫ t C Φ (τ · D · τ )dl; 2. 物质面第一类输运定理 d dt ∫ t Σ Φdσ = d dt ∫ Dλµ Φ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 (λ, µ)dσ = ∫ t Σ Φ˙ dσ + ∫ t Σ Φθdσ − ∫ t Σ Φ(n · D · n)dσ = ∫ t Σ [ ∂Φ ∂t (x, t) + · (V ⊗ Φ) ] dσ − ∫ t Σ ∂X ∂t (x, t) · ( ⊗ Φ)dσ − ∫ t Σ Φ(n · D · n)dσ. 1.2.2 第二类输运定理 将第三类变形刻画 (性质1.2) 结合微积分中第二类线积分以及面积分的计算式, 可得第二类 输运定理. 以下 } 表示任何合法的张量代数运算. 1. 物质线第二类输运定理 d dt ∫ t C Φ } τdl = d dt ∫ b a Φ } d t X dλ (λ)dλ = ∫ t C Φ˙ } τdl + ∫ t C Φ } (L · τ )dl, d dt ∫ t C τ } Φdl = d dt ∫ b a d t X dλ (λ) } Φdλ = ∫ t C τ } Φ˙ dl + ∫ t C (τ · L ∗ ) } Φdl; 2. 物质面第二类输运定理 d dt ∫ t Σ Φ } ndσ = d dt ∫ Dλµ Φ } ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ)dσ = ∫ t Σ Φ˙ } ndσ + ∫ t Σ Φ } (B · n)dσ, d dt ∫ t Σ n } Φdσ = d dt ∫ Dλµ ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ) } Φdσ = ∫ t Σ n } Φ˙ dσ + ∫ t Σ (n · B∗ ) } Φdσ; 2
体积形态连续介质有限变形理论输运方程 谢锡麟 3.物质体输运定理 d 更dr≈q axaxaX (入,,7)d d000 中dr+1,6pd (x,t)+口·(V)d X (x,t)·(口⑧更)dr aX r+,a(vnx-a(:):(口 式中不失一般性地认为体积转换项始终为正,并且最后等式的获得利用了Gaus- Ostrogradski 2应用事例 3建立路径 ·为计算物质系统(物质线,物质面以及物质体)上张量场的第一类或第二类积分,首先按微 积分中曲线积分,曲面积分以及体积分的计算方法将积分转化至参数域,由于参数域不随 时间变化,故对于时间的导数可以直接移至积分内(对参数域上的被积张量进行求导),结 合变形刻画可以将所有情形的参数域上的积分再转化至当前构型中物质系统上的积分,由 此可建立所有形式的输运定理 本讲稿获得输运定理的思想与方法基于微积分并利用严格形式的变形刻画,故分析过程及 结论完全严格.很多文献采用体积元的方法推导体积上输运定理,实际为物质导数的极限 分析.这样的方法“貌似”物理意义清晰,但却难以推广至物质面,物质线上的输运问题
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -输运方程 谢锡麟 3. 物质体输运定理 d dt ∫ t V Φdτ = d dt ∫ Dλµγ Φ ∂ t X ∂λ , ∂ t X ∂µ , ∂ t X ∂γ R3 (λ, µ, γ)dτ = ∫ t V Φ˙ dτ + ∫ t V θ Φdτ = ∫ t V [ ∂Φ ∂t (x, t) + · (V ⊗ Φ) ] dτ − ∫ t V ∂X ∂t (x, t) · ( ⊗ Φ)dτ = ∫ t V ∂Φ ∂t (x, t)dτ + ∮ ∂ t V Φ(V · n)dτ − ∫ t V ∂X ∂t (x, t) · ( ⊗ Φ)dτ. 式中不失一般性地认为体积转换项始终为正, 并且最后等式的获得利用了 Gauss-Ostrogradskii 公式. 2 应用事例 3 建立路径 • 为计算物质系统 (物质线, 物质面以及物质体) 上张量场的第一类或第二类积分, 首先按微 积分中曲线积分, 曲面积分以及体积分的计算方法将积分转化至参数域, 由于参数域不随 时间变化, 故对于时间的导数可以直接移至积分内 (对参数域上的被积张量进行求导), 结 合变形刻画可以将所有情形的参数域上的积分再转化至当前构型中物质系统上的积分, 由 此可建立所有形式的输运定理. • 本讲稿获得输运定理的思想与方法基于微积分并利用严格形式的变形刻画, 故分析过程及 结论完全严格. 很多文献采用体积元的方法推导体积上输运定理, 实际为物质导数的极限 分析. 这样的方法 “ 貌似” 物理意义清晰, 但却难以推广至物质面, 物质线上的输运问题. 3