曲面上标架运动方程 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11曲面上标架运动方程 我们约定,小写英文字母指标的求和范围为1至m,小写希腊字母指标的求和范围为1至 研究协变基向量沿坐标线的变化率,有 (ax)= lin (ax),9k (ax), g 此处引入曲面上的 Christoffel符号,定义为 T {Tkk=1称为曲面的第一类 Christoffel号,{THk=1为曲面的第二类 Christoffel 符号 因此对于切向量,有 ti Tgk + bi 同样地,研究法向量沿坐标线的变化率,有 O(x)全imm(x+2)-n() an arj(aE), n
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 曲面上标架运动方程 我们约定, 小写英文字母指标的求和范围为 1 至 m, 小写希腊字母指标的求和范围为 1 至 m + 1. 研究协变基向量沿坐标线的变化率，有 ∂gi ∂xj Σ (xΣ) , lim λ→0∈R gi (xΣ + λij ) − gi (xΣ) λ = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 g k + ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 gk + ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n. 此处引入曲面上的 Christoffel 符号, 定义为 Γij,k = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 , Γk ij = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 . {Γij,k} m i,j,k=1 称为曲面的第一类 Christoffel 符号, {Γ k ij} m i,j,k=1 为曲面的第二类 Christoffel 符号. 因此对于切向量, 有 ∂gi ∂xj Σ (xΣ) = Γij,kg k + bijn = Γ k ijgk + bijn. 同样地, 研究法向量沿坐标线的变化率, 有 ∂n ∂xj Σ (xΣ) , lim λ→0∈R n(xΣ + λij ) − n(xΣ) λ = ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 g k + ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n = ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 gk + ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n, 1
曲面上标架运动方程 谢锡麟 式中 ),n (n,n)m+1=0 art ∑),9k Rm+I (ax), g (ax),g 因此对于法向量有 6i9k 综上,协变基标架的标架运动方程为 (as) bin= lij k9"+ bin; an 同理可得,逆变基标架的标架运动方程为 (x)=-l9g3+b s)=-bjkg 性质1.1(曲面上 Christoffel号的基本性质).与 Euclid空间中的 Christoffel符号 类似,曲面上的 Christoffel号也具有如下性质 1.第一类 Christoffel符号同度量张量之间的关系 块_9 a ax3 arj 2.第二类 Christoffel符号同度量张量之间的关系 r会g 1a、g 3.对于高维曲面有 证明通过直接计算,可证明曲面上的 Christoffel符号的基本性质 1.此关系的证明完全类似于体积上对应结论的处理.主要基于结构 q 9 (ay)=Tli.i+l 然后,利用指标轮换即得证
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 式中 ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 = 1 2 ∂ ∂xj Σ (n, n)Rm+1 = 0; ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 = ∂ ∂xj Σ (n, gk )Rm+1 − ( n, ∂gk ∂xj Σ (xΣ) ) Rm+1 = −bjk; ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 = ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), gktgt ) Rm+1 = −g ktbjt = −b k j . 因此对于法向量有 ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 综上, 协变基标架的标架运动方程为 ∂gi ∂xj Σ (xΣ) = Γ k ijgk + bijn = Γij,kg k + bijn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 同理可得, 逆变基标架的标架运动方程为 ∂g i ∂xj Σ (xΣ) = −Γ i jkg k + b i jn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 性质 1.1 (曲面上 Christoffel 符号的基本性质). 与 Euclid 空间中的 Christoffel 符号 类似, 曲面上的 Christoffel 符号也具有如下性质. 1. 第一类 Christoffel 符号同度量张量之间的关系: Γij,k = 1 2 ( ∂gik ∂xj Σ + ∂gjk ∂xi Σ − ∂gij ∂xk Σ ) (xΣ); 2. 第二类 Christoffel 符号同度量张量之间的关系: Γ i ij , g ikΓij,k = 1 √g ∂ √g ∂xj Σ (xΣ); 3. 对于高维曲面有 g klΓ i kl = − 1 √g ∂ ∂xk Σ ( √ ggik). 证明 通过直接计算, 可证明曲面上的 Christoffel 符号的基本性质. 1. 此关系的证明完全类似于体积上对应结论的处理. 主要基于结构 ∂gij ∂xl Σ = ∂ ∂xl Σ ( gi , gj ) Rm+1 (xΣ) = ( ∂gi ∂xl Σ , gj ) Rm+1 (xΣ) + ( gi , ∂gj ∂xl Σ ) Rm+1 (xΣ) = Γli,j + Γlj,i 然后, 利用指标轮换即得证. 2
曲面上标架运动方程 谢锡麟 2.利用上述结论,以及曲面度量行列式的引理,有 as ary axs (ay) 3.考虑 =,=7(=+-m) kl is agus 1 i s h agul alack ag agel ax 2 对上式右端第一项,有 ag ag 9 对右端第二项,有 1 ag 1a√9 ∑ g a2 所以 h二 a√91a vgdrslv3g's 12曲面局部参数化 由曲面的一般参数表 ∑(xy) 有∑(y)各个分量的无限小增量公式 x(x+△x)=x(G3)+Dx“(3)△m3+1(△m3)Hx(是3)△m3+0(△m3l =x(2)+△听x)+xa (xy)△x2△x3+o°(△xym)
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 2. 利用上述结论, 以及曲面度量行列式的引理, 有 Γ i ij = g ikΓij,k = g ik 1 2 ( ∂gik ∂xj Σ + ∂gjk ∂xi Σ − ∂gij ∂xk Σ ) (xΣ) = 1 2 g ik ∂gik ∂xj Σ (xΣ) = 1 2 1 g ∂g ∂xj Σ (xΣ) = 1 √g ∂ √g ∂xj Σ (xΣ). 3. 考虑 g klΓ i kl = g klg isΓkl,s = g klg is 1 2 ( ∂gks ∂xl Σ + ∂gls ∂xk Σ − ∂gkl ∂xs Σ ) = 1 2 g klg is ( ∂gks ∂xl Σ + ∂gls ∂xk Σ ) − 1 2 g isg kl ∂gkl ∂xs Σ = g klg is ∂gks ∂xl Σ − 1 2 g isg kl ∂gkl ∂xs Σ . 对上式右端第一项, 有 g klg is ∂gks ∂xl Σ = g kl [ ∂ ∂xl Σ (g isgks) − ∂gis ∂xl Σ gks] = −δ l s ∂gis ∂xl Σ = − ∂gis ∂xs Σ ; 对右端第二项, 有 − 1 2 g isg kl ∂gkl ∂xs Σ = − 1 2 g is 1 g ∂g ∂xs Σ = −g is 1 √g ∂ √g ∂xs Σ . 所以 g klΓ i kl = − ∂gis ∂xs Σ − g is 1 √g ∂ √g ∂xs Σ = − 1 √g ∂ ∂xs Σ ( √ ggis). 1.2 曲面局部参数化 由曲面的一般参数表示 R m ⊃ Dx ∋ xΣ = x 1 Σ . . . x m Σ 7→ Σ(xΣ) = X1 . . . Xm+1 ∈ R m+1 , 可有 Σ(xΣ) 各个分量的无限小增量公式: Xα ( ◦ xΣ + ∆xΣ) = Xα ( ◦ xΣ) + DXα ( ◦ xΣ)∆xΣ + 1 2 (∆xΣ) THXα ( ◦ xΣ)∆xΣ + o α (|∆xΣ| 2 Rm) = Xα ( ◦ xΣ) + ∆x i Σ ∂Xα ∂xi Σ ( ◦ xΣ) + 1 2 ∂ 2Xα ∂xi Σ ∂xj Σ ( ◦ xΣ)∆x i Σ∆x j Σ + o α (|∆xΣ| 2 Rm), 3
曲面上标架运动方程 谢锡麟 故有 ∑(x+△xy)=∑(xx) axi ax E)i =X(a2)+△n39a2)+1△n2△n201(2)+o(1△mm =X(2)+△19a2)+2△n4(r1()+m(用ma) +O(△xym) △xk x)△x△x)g(是 +b(x)△rx△an(xx)+o(△s臣m) 由于{9k(x)}1非正交,故由上述形式不便获得曲面的局部形态.考虑到彐S(x)∈Rmxm 非奇异,满足 (Es)s s(r)s 定义 s 则{G}m1为切空间Tx∑的单位正交基故引入另一参数坐标ys=S-x.由于参数间的变化 为线性变换,yy同xy有全局意义的微分同胚存在,因此可有 (yx)(x(yy)=∑(Syx) 于是 (1…9n)3)2DSy)=D(xss=(g1…gn)()s 其中9=1(0x)为单位正交基对应()()=Lm∈Rxm 另有 ()4( (),n()=-(9(到x),(x) (3)(8s)=- (ys)ay> )(y)=-(D2)()Di( 式中n(yx)=m(xx(y).考虑到 Dn(yx)=Dn(as)Dar(yx)= Dn(as)S
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 故有 Σ( ◦ xΣ + ∆xΣ) = Σ( ◦ xΣ) + ∆x i Σ ∂Xα ∂xi Σ ( ◦ xΣ)iα + 1 2 ∆x i Σ∆x j Σ ∂ 2Xα ∂xi Σ ∂xj Σ ( ◦ xΣ)iα + o α (|∆xΣ| 2 Rm)iα = Σ( ◦ xΣ) + ∆x i Σgi ( ◦ xΣ) + 1 2 ∆x i Σ∆x j Σ ∂gj ∂xi Σ ( ◦ xΣ) + o(|∆xΣ| 2 Rm) = Σ( ◦ xΣ) + ∆x i Σgi ( ◦ xΣ) + 1 2 ∆x i Σ∆x j Σ ( Γ k ij ( ◦ xΣ)gk ( ◦ xΣ) + bij ( ◦ xΣ)n( ◦ xΣ) ) + o(|∆xΣ| 2 Rm) = Σ( ◦ xΣ) + ( ∆x k Σ + 1 2 Γ k ij ( ◦ xΣ)∆x i Σ∆x j Σ ) gk ( ◦ xΣ) + 1 2 bij ( ◦ xΣ)∆x i Σ∆x j Σn( ◦ xΣ) + o(|∆xΣ| 2 Rm). 由于 {gk ( ◦ xΣ)} m k=1 非正交, 故由上述形式不便获得曲面的局部形态. 考虑到 ∃S( ◦ xΣ) ∈ R m×m 非奇异, 满足 S T ( gij) ( ◦ xΣ)S = Im, S T ( bij) ( ◦ xΣ)S = λ1 . . . λm , 定义 ( gˆ1 · · · gˆm ) , ( g1 · · · gm ) S, 则 {gˆ} m i=1 为切空间 TxΣ 的单位正交基. 故引入另一参数坐标 yΣ = S −1xΣ. 由于参数间的变化 为线性变换, yΣ 同 xΣ 有全局意义的微分同胚存在, 因此可有 Σˆ (yΣ) , Σ(xΣ(yΣ)) = Σ(SyΣ). 于是 ( gˆ1 · · · gˆm ) (yΣ) , DΣˆ (yΣ) = DΣ(xΣ)S = ( g1 · · · gm ) (xΣ)S, 其中 {gˆi} m i=1( ◦ yΣ) 为单位正交基, 对应 ( gˆij) ( ◦ yΣ) = Im ∈ R m×m. 另有 ˆbij ( ◦ yΣ) , ( ∂gˆj ∂yi Σ ( ◦ yΣ), nˆ( ◦ yΣ) ) Rm+1 = − ( gˆj ( ◦ yΣ), ∂nˆ ∂yi Σ ( ◦ yΣ) ) Rm+1 , ( ˆbij) ( ◦ yΣ) = − gˆ T 1 . . . gˆ T m ( ◦ yΣ) ( ∂nˆ ∂y1 Σ · · · ∂nˆ ∂ym Σ ) ( ◦ yΣ) = −(DΣˆ ) T( ◦ yΣ)Dnˆ( ◦ yΣ), 式中 nˆ(yΣ) = n(xΣ(yΣ)). 考虑到 Dnˆ(yΣ) = Dn(xΣ)DxΣ(yΣ) = Dn(xΣ)S, 4
曲面上标架运动方程 谢锡麟 故有 ()32=-s(Dx)(a)Dn(as=S()G)S 综上,可有 03+△y)=86)+(△+21△△) (a) y =S()+A+(△y+903)+2(△户n() +o(△yxlm) 现以{9(x)}1U{n()}作为Rm+1的单位正交基,{xx+为对应的 Cartesian坐 标,则局部有 x=△+0(△yslm),k=1,…,m, A1(△y3)2+…+Mm(△) 2[A(2+…+M(]+0△ys) m(xm)2+o(△xslm) 亦即,在二阶精度下,曲面有局部 Monge型表示 X ∈R Xm+ A1(x2)2+…+Mm(Xm 受上述分析启发,引入曲面∑(x)∈Rmn+1的另一参数{yx}1,满足 )∈R 式中S(xy)∈Rmxm非奇异,成立 S(xx)(9)(x)S( 亦即S(a)为将(o)(a)和()(a)同时对角化的非奇异阵当S(m)是足够光滑,可 有参数变换yx(xx)为一定区域上的微分同胚.曲面二组参数所确定的局部基,如图1所示.由 0∑ 92(yx) (ys) an0∑ ark grEy)
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 故有 ( ˆbij) ( ◦ yΣ) = −S T(DΣ) T( ◦ xΣ)Dn( ◦ xΣ)S = S T ( bij) ( ◦ xΣ)S = λ1 . . . λm . 综上, 可有 Σˆ ( ◦ yΣ + ∆yΣ) = Σˆ ( ◦ yΣ) + ( ∆y k Σ + 1 2 Γˆk ij ( ◦ yΣ)∆y i Σ∆y j Σ ) gˆk ( ◦ yΣ) + 1 2 (∆yΣ) T ( ˆbij) ( ◦ yΣ)∆yΣnˆ( ◦ yΣ) + o(|∆yΣ| 2 Rm) = Σˆ ( ◦ yΣ) + [ ∆y k Σ + o k (|∆yΣ|Rm+1 ) ] gˆk ( ◦ yΣ) + 1 2 λk(∆y k Σ) 2nˆ( ◦ yΣ) + o(|∆yΣ| 2 Rm). 现以 {gˆk ( ◦ yΣ)} m k=1 ∪ {nˆ( ◦ yΣ)} 作为 R m+1 的单位正交基, {Xˆ k} m+1 k=1 为对应的 Cartesian 坐 标, 则局部有 Xˆ k = ∆y k Σ + o k (|∆yΣ|Rm), k = 1, · · · , m, Xˆ m+1 = 1 2 [ λ1(∆y 1 Σ) 2 + · · · + λm(∆y m Σ ) 2 ] = 1 2 [ λ1(Xˆ 1 ) 2 + · · · + λm(Xˆ m) 2 ] + o(|∆yΣ| 2 Rm) = 1 2 [ λ1(Xˆ 1 ) 2 + · · · + λm(Xˆ m) 2 ] + o(|∆Xˆ Σ| 2 Rm). 亦即, 在二阶精度下, 曲面有局部 Monge 型表示 R m ∋ Xˆ 1 . . . Xˆ m 7→ Xˆ 1 . . . Xˆ m Xˆ m+1 (Xˆ 1 , · · · , Xˆ m) = Xˆ 1 . . . Xˆ m 1 2 [ λ1(Xˆ 1 ) 2 + · · · + λm(Xˆ m) 2 ] ∈ R m+1 . 受上述分析启发, 引入曲面 Σ(x) ∈ R m+1 的另一参数 {y i Σ} m i=1, 满足 DyΣ(xΣ) = S −1 (xΣ) ∈ R m×m, 式中 S(xΣ) ∈ R m×m 非奇异, 成立 S T(xΣ) ( gij) (xΣ)S(xΣ) = Im, S T(xΣ) ( bij) (xΣ)S(xΣ) = λ1 . . . λm . 亦即 S(xΣ) 为将 ( gij) (xΣ) 和 ( bij) (xΣ) 同时对角化的非奇异阵. 当 S(xΣ) 是足够光滑, 可 有参数变换 yΣ(xΣ) 为一定区域上的微分同胚. 曲面二组参数所确定的局部基, 如图1所示. 由 gˆi (yΣ) , ∂Σˆ ∂yi Σ (yΣ) = ∂xk Σ ∂yi Σ ∂Σ ∂xk Σ (xΣ) = ∂xk Σ ∂yi Σ gk (xΣ), 5
曲面上标架运动方程 谢锡麟 e小(y) Xm+ Xm+l xx-线 线 工y r x-线 y-线 Figure1:曲面局部参数化示意 即有 yx)=(g 9 因此,根据 (s)()/)S()=Lm 有{91(y)=:eyx)}1为T∑的单位正交基.亦即,E(yx)所诱导的切平面的局部协变基 为单位正交基.考虑 40)2()-(.mny) ax yx)9k(x),a(y (yx)2(y)((x) (us)o(sbu(Ey) 即有 )(ys)=(Dm2)(s)()(a)D() ST(ys)(buk)(=s)S(as)
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 O X1 Xm Xm+1 TxΣ Σ x i Σ-楫 gi (xΣ) x j Σ-楫 gj (xΣ) Σ(xΣ) O X1 Xm Xm+1 TyΣ Σ y i Σ-楫 ei(yΣ) y j ej (yΣ) Σ-楫 Σˆ (yΣ) x 1 Σ x i Σ xm Σ O x i Σ-楫 x j Σ-楫 xΣ = x 1 Σ . . . xm Σ DxΣ y 1 Σ y i Σ ym Σ O y i Σ-楫 y j Σ-楫 yΣ = y 1 Σ . . . ym Σ DyΣ Σ Σˆ y Figure 1: 曲面局部参数化示意 即有 ( gˆ1 · · · gˆm ) (yΣ) = ( g1 · · · gm ) (xΣ)DxΣ(yΣ) = ( g1 · · · gm ) S(xΣ). 因此, 根据 S T(xΣ) ( gij) (xΣ)S(xΣ) = Im 有 {gˆi (yΣ) =: ei(yΣ)} m i=1 为 TyΣ 的单位正交基. 亦即, Σˆ (yΣ) 所诱导的切平面的局部协变基 为单位正交基. 考虑 ˆbij (yΣ) , ( ∂gˆj ∂yi Σ (yΣ), nˆ ) Rm+1 = − ( gj (yΣ), ∂nˆ ∂yi Σ (yΣ) ) Rm+1 = − ( ∂xk Σ ∂yj Σ (yΣ)gk (xΣ), ∂xi Σ ∂yi Σ (yΣ) ∂n ∂xl Σ (xΣ) ) Rm+1 = ∂xk Σ ∂yj Σ (yΣ) ∂xi Σ ∂yi Σ (yΣ) ( ∂gk ∂xl Σ (xΣ), n ) Rm+1 = ∂xk Σ ∂yj Σ (yΣ) ∂xi Σ ∂yi Σ (yΣ)blk(xΣ), 即有 ( ˆbij) (yΣ) = (DxΣ) T(yΣ) ( blk) (xΣ)DxΣ(yΣ) = S T(yΣ) ( blk) (xΣ)S(xΣ) = λ1 . . . λm . 6
曲面上标架运动方程 谢锡麟 综上,有 S(+△y)=S(2)+[△+(△+)])+2)△) +o(△ylgm+1) 现以{91(yx)=:e(v)}1U{mi(y)}作为Rm+1的单位正交基,{Yk}x2+1为对应的 Cartesian 坐标,则局部有 Yk=△y+0(△ siRM+1),k=1,…,m, 2[A()(y2+…+Mm(sm)]+△ys) 2应用事例 3建立路径
张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 综上, 有 Σˆ (yΣ + ∆yΣ) = Σˆ (yΣ) + [ ∆y k Σ + o k (|∆yΣ|Rm+1 ) ] gˆk (yΣ) + 1 2 λk(yΣ)(∆y k Σ) 2nˆ(yΣ) + o(|∆yΣ|Rm+1 ). 现以 {gˆi (yΣ) =: ei(yΣ)} m i=1 ∪ {nˆ(yΣ)} 作为 R m+1 的单位正交基, {Yˆ k} m+1 k=1 为对应的 Cartesian 坐标, 则局部有 Yˆ k = ∆y k Σ + o k (|∆yΣ|Rm+1 ), k = 1, · · · , m, Yˆ m+1 = 1 2 [ λ1(yΣ)(Yˆ 1 ) 2 + · · · + λm(yΣ)(Yˆ m) 2 ] + o(|∆yΣ| 2 Rm+1 ). 2 应用事例 3 建立路径 • • 7