复旦大学：《现代连续介质力学理论及实践》教学研究_教学研究与实践阶段性总结（谢锡麟）.pdf_大学文库

“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用谢锡麟复旦大学力学与工程科学系,上海200433 摘要:本文将力学之数学及专业基础知识体系分别归结为微积分和现代张量分析以及基于其上的连续介质力学;借鉴具有一流水平的国内外教程或专著,给出了上述基础知识体系的基本构成。提出以知识点以及知识要素组织知识体系,并分析了微积分知识体系的辐射性发展特征;提出隶属不同知识体系的知识点其所属知识要素可能是同一数学结构或形式,称之为数学通识。我们把数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法;叙述了数学知识体系同力学知识体系间的关系。本文引述微积分、张量分析、微分几何、连续介质力学等知识体系中的有关知识以阐述上述观点;所涉及的微积分中 Stokes公式的统一性证明,张量分析中张量梯度的可微性观点以及微分几何中Le导数的场观点定义及结论等均为我们自己认识。关键词:知识体系;知识点;知识要素;数学通识;微积分;张量分析;微分几何;连续介质力学中图分类号:G6420 The roles of To radically reform To Thoroughly Overhaul in the Set Up of the Fundamental Mathematical and mechanical Knowledge Systems of the mechanics XIE Xi-Iin Department of Mechanics Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433 ABSTRACT: In this paper, the fundamental mathematical and mechanical knowledge systems of the mechanics are concluded as calculus and modern tensor analysis with continuum mechanics based on it. As referred to the related national and international textbooks and monographs with the first levels, the fundamental constitutions of the above mentioned knowledge systems are presented It is put forward that the knowledge points with the corresponding knowledge elements are suitable to recognize one knowledge system, and the radical development property of the knowledge system of calculus is expressed. The concept termed as" Mathematical generality"is put forward that are 本教学研究与实践受囯家自然科学基金面上项目(10872051),高等学校博士学科点专项科研基金(新教师基金 20070246139)以及复旦大学教务处有关课程建设项目资助通讯作者麟,副教授;研究方向:理性力学观点下的连续介质力学理论,力学中的数学方法并将上述理论应用于开放流场空间动力学行为等研究;xiexin@Fudan.edu.cn 第1页共20页

第 1 页共 20 页 “正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用* 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系，上海 200433 摘要：本文将力学之数学及专业基础知识体系分别归结为微积分和现代张量分析以及基于其上的连续介质力学；借鉴具有一流水平的国内外教程或专著，给出了上述基础知识体系的基本构成。提出以知识点以及知识要素组织知识体系，并分析了微积分知识体系的辐射性发展特征；提出隶属不同知识体系的知识点其所属知识要素可能是同一数学结构或形式，称之为数学通识。我们把数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法；叙述了数学知识体系同力学知识体系间的关系。本文引述微积分、张量分析、微分几何、连续介质力学等知识体系中的有关知识以阐述上述观点；所涉及的微积分中 Stokes 公式的统一性证明，张量分析中张量梯度的可微性观点以及微分几何中Lie导数的场观点定义及结论等均为我们自己认识。关键词：知识体系；知识点；知识要素；数学通识；微积分；张量分析；微分几何；连续介质力学中图分类号：G642.0 The Roles of “To Radically Reform & To Thoroughly Overhaul” in the Set Up of the Fundamental Mathematical and Mechanical Knowledge Systems of the Mechanics XIE Xi-lin Department of Mechanics & Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433 ABSTRACT: In this paper, the fundamental mathematical and mechanical knowledge systems of the mechanics are concluded as calculus and modern tensor analysis with continuum mechanics based on it. As referred to the related national and international textbooks and monographs with the first levels, the fundamental constitutions of the above mentioned knowledge systems are presented. It is put forward that the knowledge points with the corresponding knowledge elements are suitable to recognize one knowledge system, and the radical development property of the knowledge system of calculus is expressed. The concept termed as “Mathematical Generality” is put forward that are * 本教学研究与实践受国家自然科学基金面上项目（10872051），高等学校博士学科点专项科研基金（新教师基金 20070246139）以及复旦大学教务处有关课程建设项目资助。通讯作者：谢锡麟，副教授；研究方向：理性力学观点下的连续介质力学理论，力学中的数学方法并将上述理论应用于开放流场空间动力学行为等研究；xiexilin@fudan.edu.cn

just some mathematical structures or forms as the so-called knowledge elements of some knowledge points with respect even to different knowledge systems. Mathematics is taken as the systematic ideas and methods to recognize the natural and unnatural worlds in the present paper, and the relationships between mathematical knowledge system and mechanical knowledge system are represented to some extents. Some cases originated from the knowledge systems of calculus, tensor analysis, differential geometry and continuum mechanics are adopted to expound the arguments that are raised in the present paper. The related proof of the Stokes formula in calculus in the unified form, the interpretation of the tensor field's gradient in tensor analysis in the point of view of differential and the definitions of the Lie-derivative in differential geometry viewed from filed ent with the related results are our own cognitions Key words: Knowledge system; Knowledge point; Knowledge element; Mathematical generality Calculus; Tensor analysis; Differential geometry; Continuum mechanics 17世纪,牛顿力学体系的建立标志着自然科学的兴起;18-19世纪,连续介质力学的诞生使力学发展成为一门内容丰富并且获得广泛应用的基础科学。马克思曾指出“力学是大工业的真正的科学基础”。随着科学技术的发展,现代力学的研究范畴从传统的刚性机械运动延拓至可变形的复杂介质运动,从纯机械世界延拓至机械与物理、化学、生物学等过程的相互作用,甚至渗透至经济、管理、医学等领域。我国著名科学家钱学森先生在207年对中国力学学会成立五十周年之际的贺词中指出:“力学有两方面的服务对象:一是为工程技术服务, 另一是为发展自然科学服务,两者是相辅相成,相互促进的” 力学学科的上述特征,使得力学知识体系别具特色,她既需要庞大而坚实的数学支撑, 又需要联系丰富而多样的自然现象。进而,力学知识体系不仅对研究者提升自身工作层次而且对人才培养等方面都具有极其重要的意义本文拟从力学之数学及专业基础知识体系,微积分知识体系的辐射性发展特征,知识体系架构(知识点及知识要素),数学通识,数学知识体系同力学知识体系的关系等方面叙述我们持续性追求具有现代化及一流化特征的力学知识体系所获得的阶段性认识。力学之数学及专业基础知识体系按通行的理论与应用力学专业(以下简称力学专业)的课程设置,力学知识体系可以分摘引自《中国力学学科发展战略研究报告(2011-2020年)》有关文稿「摘引自我国著名流体力学家、中国力学学会第八届理事会理事长、复旦力学校友李家春院士,我国著名流体力学家、天津大学周恒院士对复旦大学力学与工程科学系进行学术访问时的演讲稿。第2页共20页

第 2 页共 20 页 just some mathematical structures or forms as the so-called knowledge elements of some knowledge points with respect even to different knowledge systems. Mathematics is taken as the systematic ideas and methods to recognize the natural and unnatural worlds in the present paper, and the relationships between mathematical knowledge system and mechanical knowledge system are represented to some extents. Some cases originated from the knowledge systems of calculus, tensor analysis, differential geometry and continuum mechanics are adopted to expound the arguments that are raised in the present paper. The related proof of the Stokes formula in calculus in the unified form, the interpretation of the tensor field’s gradient in tensor analysis in the point of view of differential and the definitions of the Lie-derivative in differential geometry viewed from filed argument with the related results are our own cognitions. Key Words: Knowledge system; Knowledge point; Knowledge element; Mathematical generality; Calculus; Tensor analysis; Differential geometry; Continuum mechanics 17 世纪，牛顿力学体系的建立标志着自然科学的兴起；18－19 世纪，连续介质力学的诞生使力学发展成为一门内容丰富并且获得广泛应用的基础科学* 。马克思曾指出“力学是大工业的真正的科学基础”。随着科学技术的发展，现代力学的研究范畴从传统的刚性机械运动延拓至可变形的复杂介质运动，从纯机械世界延拓至机械与物理、化学、生物学等过程的相互作用，甚至渗透至经济、管理、医学等领域† 。我国著名科学家钱学森先生在 2007 年对中国力学学会成立五十周年之际的贺词中指出：“力学有两方面的服务对象：一是为工程技术服务，另一是为发展自然科学服务，两者是相辅相成，相互促进的”。力学学科的上述特征，使得力学知识体系别具特色，她既需要庞大而坚实的数学支撑，又需要联系丰富而多样的自然现象。进而，力学知识体系不仅对研究者提升自身工作层次而且对人才培养等方面都具有极其重要的意义。本文拟从力学之数学及专业基础知识体系，微积分知识体系的辐射性发展特征，知识体系架构（知识点及知识要素），数学通识，数学知识体系同力学知识体系的关系等方面叙述我们持续性追求具有现代化及一流化特征的力学知识体系所获得的阶段性认识。 1. 力学之数学及专业基础知识体系按通行的理论与应用力学专业（以下简称力学专业）的课程设置，力学知识体系可以分 * 摘引自《中国力学学科发展战略研究报告（2011－2020 年）》有关文稿。 † 摘引自我国著名流体力学家、中国力学学会第八届理事会理事长、复旦力学校友李家春院士，我国著名流体力学家、天津大学周恒院士对复旦大学力学与工程科学系进行学术访问时的演讲稿

为数学以及专业知识体系二部分。数学知识体系,主要包括:微积分及线性代数(核心基础 →①复变函数+复分析;②常微分方程+偏微分方程;③概率论+数理统计;④微分几何实分析+泛函分析等。专业知识体系,主要包括:理论力学及材料力学(核心基础)→①弹性力学+塑性力学;②流体力学+空气动力学;③振动力学;④控制力学等。鉴于微积分在整个数学知识体系中的核心地位,本文将微积分作为力学之数学基础知识体系。基于对国内外具有一流水平的教程或专著的调研[-6,我们通过图1表示微分学和积分学所能包含的主要内容。 R上微分学 [a,b]上 Riemann积分上Jdan可测集上 Riemann积分 Rm上微分学 (R中微分流形上微分学 R上 Lebesgue测度及 Lebesgue积分 (R中微分流形上积分学) 般赋范线性空间上微分学一般集类上测度及积分图1微分学及积分学知识体系框架 Fig. I The frames of the knowledge systems with respect to differential (left)and integral (right) 相对于当前国内力学专业的必修内容,具有国内外一流水平的微积分教学表现为如下特征:①将微分学由有限维 Euclid空间沿拓至一般赋范线性空间;②将积分学由 Riemann积分沿拓至 Jordan测度、 Lebesgue测度意义下的积分;③将微积分研究对象由可单个参数化的几何形态沿拓至需多个参数化的几何形态,亦即建立微分流形上的微积分“。需指出,国内现行微积分课程设置一般为一年或一年半制(一般对应于非数学以及数学专业),故我们可以设计系列课程(包括选修课)以完成上述知识体系的讲述[7]随着,我们对自然及非自然世界认识的深入,按上述特征提升我们的微积分知识体系具有深远的意义。鉴于力学的主要研究隶属连续介质力学并因此而独立于物理学,故本文将现代张量分析 8]以及基于其上的连续介质力学[9-11作为力学之专业基础知识体系。参见《2011年理论与应用力学专业教育教学复旦大学研讨会一学术信息整理》,谢锡麟、傅渊、杜俊、陈瑜整理;与会代表间交流,未公开发表对于相关知识体系,本文参考文献部分仅列出笔者日常最常用的学习与参阅的教程或专著;尚有很多优秀著作未能列举, VAZorich著“ Mathematical Analysis”的卷2,对范线性空间上的微分学给予了极其优越的叙述,相关理论的建立可以完全类比与有限维 uclid空间上的微分学,张筑生著《数学分析新讲》第2册,对有限维 Euclid空间上的微分学给予了极好叙述,且能非常好地衔接与一般赋范线性空间上的微分学 5对于力学而言,可能我们既需要有限维 Euclid空间上的测度论也需要一般赋范线性空间上的测度论,对此周民强编著《实变函数论》(北京大学出版社2009)以及夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌编著《实变函数论与泛函分析》(上册)(高等教育出版社2010)分别有很好的叙述 VAZorich著" Mathematical Analysis”的卷1及卷2,对微分流形的基本定义有极好的叙述,指出对于图(chat)的定义可以既基于微分同胚也可以基于秩定理第3页共20页

第 3 页共 20 页为数学以及专业知识体系二部分。数学知识体系，主要包括：微积分及线性代数（核心基础） →①复变函数+复分析；②常微分方程+偏微分方程；③概率论+数理统计；④微分几何；⑤ 实分析+泛函分析等。专业知识体系，主要包括：理论力学及材料力学（核心基础）→①弹性力学+塑性力学；②流体力学+空气动力学；③振动力学；④控制力学等* 。鉴于微积分在整个数学知识体系中的核心地位，本文将微积分作为力学之数学基础知识体系。基于对国内外具有一流水平的教程或专著的调研[1-6]† ，我们通过图 1 表示微分学和积分学所能包含的主要内容。 1 上微分学   m m   上微分学中微分流形上微分学一般赋范线性空间上微分学   a,b 上Riemann积分 m  上可测集上积分 Jordan Riemann m m  Lebesgue Lebesgue  上测度及积分（中微分流形上积分学）一般集类上测度及积分图 1 微分学及积分学知识体系框架 Fig.1 The frames of the knowledge systems with respect to differential (left) and integral (right). 相对于当前国内力学专业的必修内容，具有国内外一流水平的微积分教学表现为如下特征：①将微分学由有限维 Euclid 空间沿拓至一般赋范线性空间‡ ；②将积分学由 Riemann 积分沿拓至 Jordan 测度、Lebesgue 测度意义下的积分§ ；③将微积分研究对象由可单个参数化的几何形态沿拓至需多个参数化的几何形态，亦即建立微分流形上的微积分**。需指出，国内现行微积分课程设置一般为一年或一年半制（一般对应于非数学以及数学专业），故我们可以设计系列课程（包括选修课）以完成上述知识体系的讲述[7]。随着，我们对自然及非自然世界认识的深入，按上述特征提升我们的微积分知识体系具有深远的意义。鉴于力学的主要研究隶属连续介质力学并因此而独立于物理学，故本文将现代张量分析 [8]以及基于其上的连续介质力学[9-11]作为力学之专业基础知识体系。 * 参见《2011 年理论与应用力学专业教育教学复旦大学研讨会－学术信息整理》，谢锡麟、傅渊、杜俊、陈瑜整理；与会代表间交流，未公开发表。 † 对于相关知识体系，本文参考文献部分仅列出笔者日常最常用的学习与参阅的教程或专著；尚有很多优秀著作未能列举。 ‡ V.A.Zorich 著“Mathematical Analysis”的卷 2，对一般赋范线性空间上的微分学给予了极其优越的叙述，相关理论的建立可以完全类比与有限维 Euclid 空间上的微分学。张筑生著《数学分析新讲》第 2 册，对有限维 Euclid 空间上的微分学给予了极好叙述，且能非常好地衔接与一般赋范线性空间上的微分学。 § 对于力学而言，可能我们既需要有限维 Euclid 空间上的测度论也需要一般赋范线性空间上的测度论，对此周民强编著《实变函数论》（北京大学出版社 2009）以及夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌编著《实变函数论与泛函分析》（上册）（高等教育出版社 2010）分别有很好的叙述。 ** V.A.Zorich 著“Mathematical Analysis”的卷 1 及卷 2，对微分流形的基本定义有极好的叙述，指出对于图（chart）的定义可以既基于微分同胚也可以基于秩定理

Euclid空间中的张量分析与微分几何国每中的析分已性力学塑性力学连续介质力学一般理论 (物质系统:Ecd流形,非 Euclid流形) 流体力学倥气动力学图2现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系 Fig. 2 The frame of the knowledge systems with respect to 连续介质力学可谓力学学科的基石。类比于单参数向量值映照对于质点以及刚体力学研究的基础性作用,作为多重线性函数的张量对于研究连续介质的有限变形等力学行为也是极为适合的数学工具。以微积分的思想及方法研究单参数向量值映照或者多重线性函数,构成了向量分析或者张量分析的主要内容。对于现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系,如图2所示,我们注重以下特征∵:①对于 Euclid空间上的张量分析,主要表现为将张量定义为多重线性函数,籍此基于简单张量获得张量的表达形式,张量分量间的转换关系等; 引入外积运算,以此研究二阶张量的各种代数性质等;基于一般赋范线性空间上的微分学, 硏究张量场映照微分学以此开展一般曲线坐标系下张量场场论,研究一般张量映照[1l2]。② 对于非 Euclid空间( Riemann流形)上的张量分析,主要表现为引入微分流形上微积分的基本思想及方法;基于相对不同曲线坐标系下的分量间的转换关系定义张量, Riemann度量 Riemann联络( Christoffel符号)以及协变微分等。从思想和方法上而言,非 Euclid空间上的张量分析应涵盖 Euclid空间上的张量分析。③按理性力学的观点研究连续介质力学,首先基于连续介质的几何形态区分 Euclid微分流形以及非 Euclid微分流形,然后充分基于力学物理、现代张量分析以及现代微分几何等的思想及方法研究发生于连续介质之上的力学、物理,甚至化学、生理过程等。对于各门知识体系,我们先将其归类成若干“知识点”( knowledge point),而每个知识点又由若干“知识要素”( knowledge element)组成。知识点为认识或处理相关问题所需的定按本文作者相关教学研究与实践的现有程度,仅实现特征①;对特征②、③涉及的非 Euclid微分流形上的张量分析以及基于其上的连续介质力学尚在进一步研究与实践中。此方面的研究可隶属“力学的几何化”。“力学几何化”的思想及方法在 V.ARnold的系列著作中有着系统且深入的阐述,包括《经典力学的数学方法》、“ Ordinary Differential Equations Differential Equations”,“ Topological Methods in Hydrodyanmics”等 (俄)米先柯,(俄)福明柯著(张爱和译)《微分几何与拓扑学简明教程》应对相关知识体系的建立提供很好的借鉴李开泰,黄艾香著《张量分析及其应用》(科学出版社2004)涉及张量分析在流体机械等方面的应用第4页共20页

第 4 页共 20 页 Euclid Euclid 空间中的张量分析与微分几何非空间中的张量分析与微分几何 Euclid Euclid 连续介质力学一般理论（物质系统：流形，非流形）流体力学弹性力学空气动力学塑性力学生物力学图 2 现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系 Fig.2 The frame of the knowledge systems with respect to modern tensor analysis with continuum mechanics based on it 连续介质力学可谓力学学科的基石。类比于单参数向量值映照对于质点以及刚体力学研究的基础性作用，作为多重线性函数的张量对于研究连续介质的有限变形等力学行为也是极为适合的数学工具。以微积分的思想及方法研究单参数向量值映照或者多重线性函数，构成了向量分析或者张量分析的主要内容。对于现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系，如图 2 所示，我们注重以下特征* ：①对于 Euclid 空间上的张量分析，主要表现为将张量定义为多重线性函数，籍此基于简单张量获得张量的表达形式，张量分量间的转换关系等；引入外积运算，以此研究二阶张量的各种代数性质等；基于一般赋范线性空间上的微分学，研究张量场映照微分学以此开展一般曲线坐标系下张量场场论，研究一般张量映照[12]。② 对于非 Euclid 空间（Riemann 流形）上的张量分析，主要表现为引入微分流形上微积分的基本思想及方法；基于相对不同曲线坐标系下的分量间的转换关系定义张量，Riemann 度量、 Riemann 联络（Christoffel 符号）以及协变微分等† 。从思想和方法上而言，非 Euclid 空间上的张量分析应涵盖 Euclid 空间上的张量分析。③按理性力学的观点研究连续介质力学，首先基于连续介质的几何形态区分 Euclid 微分流形以及非 Euclid 微分流形，然后充分基于力学、物理、现代张量分析以及现代微分几何等的思想及方法研究发生于连续介质之上的力学、物理，甚至化学、生理过程等‡ 。对于各门知识体系，我们先将其归类成若干“知识点”（knowledge point），而每个知识点又由若干“知识要素”（knowledge element）组成。知识点为认识或处理相关问题所需的定 * 按本文作者相关教学研究与实践的现有程度，仅实现特征①；对特征②、③涉及的非 Euclid 微分流形上的张量分析以及基于其上的连续介质力学尚在进一步研究与实践中。此方面的研究可隶属“力学的几何化”。“力学几何化”的思想及方法在 V.I.Arnold 的系列著作中有着系统且深入的阐述，包括《经典力学的数学方法》、“Ordinary Differential Equations”，“Partial Differential Equations”，“Topological Methods in Hydrodyanmics”等。 † (俄)米先柯, (俄)福明柯著(张爱和译)《微分几何与拓扑学简明教程》应对相关知识体系的建立提供很好的借鉴. ‡ 李开泰，黄艾香著《张量分析及其应用》(科学出版社 2004)涉及张量分析在流体机械等方面的应用

第 5 页共 20 页义、结论以及相关研究思想及方法的知识集合，具有一定独立性或功用性；知识要素即为上述知识集合的核心内容。以“知识点+知识要素”组织知识体系，有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征。 2. 微分学知识体系的辐射性发展特征众所周知，微积分的核心基础为极限，理解对某种“逼近行为”的刻画。进一步，微积分中的极限可以归纳为三类：点列极限，包含级数定义；映照极限，包含可微性定义；部分和极限，主要用于各类积分定义。从广度而言，微积分知识体系主要包括微分学、积分学以及级数；从深度而言，可以分类为一维 Euclid 空间 1  、有限维 Euclid 空间 m  以及一般赋范线性空间上的微分学。 “逼近行为” 刻画点列极限映照极限部分和极限函数极限函数导数定积分反函数定理向量值映照极限 Jordan可测集上积分向量值映照可微性隐映照、逆映照定理 1  上微积分 m 赋范线性空间之间映照极限  上微积分一般赋范线性空间上微积分赋范线性空间之间映照可微性赋范线性空间上隐映照、逆映照定理一般集类上测度论图 3 微积分知识体系的辐射式发展特征 Fig.3 The sketch of the radical development property of the knowledge system of calculus 对于一维 Euclid 空间上的微积分，我们可以归纳函数极限，函数导数，定积分，反函数定理等知识点。然而，这些知识点的归纳仍然适用于有限维 Euclid 空间，甚至一般赋范线性空间上的微积分知识体系，如图 3 所示。特别对于微分学而言，各层次上的知识体系具有高度的相似性，表现为知识点基本一致，且理论发展的基本思想及方法基本一致。对此我们在教学中，充分反映“温故而知新”的认知效果，注重基于已有的知识发展新的知识

第 6 页共 20 页 2.1 辐射性发展事例：映照可微性映照可微性的实质为由于自变量变化而引起的因变量的变化可由线性映照近似，且误差为一阶无穷小量；“导数”以及“微分”则按映照的类型具有相应的表现形式。上述映照的可微性刻画需要自变量空间及值域空间均为赋范线性空间。将按此统一认识列举力学中涉及的主要映照类型如下： §1. 有限维 Euclid 之间的向量值映照：  :   m n fx x fx     ，其可微性定义为         m df fx h fx x h oh dx     ，此处     , df m n x L dx    引入 m  上范数：   m    , m   ，则有：      m  n f x h f x Df x h o h        ，此处     n m i f Df x x x              * 。 §2. 张量场映照：           3 : m ik j m lj i k        x x x xg g g x T      ，此处以 m  上三阶张量为例，其可微性定义为：    +      m d xh x x h oh dx       ，此处      3 , d m m xL T dx     。引入   3 m T  上范数：   3 m ijk      T    ijk ，则有：                    3 =: m ik j l lj i k ik j p q m pj i k q x h x xg g g x h oh x g g g g x hg x x H T                               ，此处       d x h xH dx     ， :   q H hg x  q 为物理空间中的位移。可见，张量分析中张量场的梯度实质为张量场的“导数”† 。 §3. 泛函：        ,,     p C f x F f Lxf x f x d        ，其可微性定义为：        C p    dF Ff h Ff f h oh df     ，此处     , dF p f LC df    。 * 可参见张筑生著《数学分析新讲》第 2 册。 † 按本文作者所知，尚未见张量分析有关教程或专著以此方法引入张量场梯度（其分量形式自然涉及协变导数的定义）。基于多次教学实践，本文认为就 Euclid 空间上的张量分析以张量场可微性引入张量场梯度显得较为严格；作为一般赋范线性空间上微分学的具体实践，也易于获得张量场高阶导数等具体形式。另一方面，基于张量场的可微性，即可获得张量场方向导数（包含偏导数）的表达式，籍此可通过引入形式偏导数获得张量场的各种场论微分运算

利用微分同方向导数间的关系:(()=DF()mF(+2)FODR∵,可基于微积分获得变分临界点所需满足的 Lagrange- Euler方程: (xf(x),V(x)人aL dx love of (x,f(x),Vf(x)=0 22辐射性发展事例:隐映照定理及逆映照定理有限维 Euclid空间中的隐映照定理及逆映照定理(微分同胚局部存在性定理)可谓有限维 Euclid空间上微分学中最为困难和最为重要的结论。上述定理,无论在数学领域还是力学领域都有诸多重要的应用,例如前者为约束表示,后者为 Legendre变换提供了理论基础我们可基于有限维 Euclid空间中有界闭集上的压缩映照定理(不动点定理)构造性地证明上述定理'。然而,完备的赋范线性空间( Banach空间)中依然成立有有界闭集上的压缩映照定理。故对于一般赋范线性空间之间的映照,当值域空间为 Banach空间时仍成立有隐映照定理和逆映照定理,且分析的思想和方法几乎完全一致于有限维 Euclid空间上的分析。例如,对于张量Φ∈T(R"),∈T'(R"),满足约束方程f(,甲)=0∈T("),此处认为约束方程具有足够的正则性,如果,存在∈T(),∈T(R"),满足: ∫(④0,0)=0 2.Dn/(,y)∈L(T()r(R")为可逆有界线性算子则有,约束方程在(④。甲)点附近确定了映照:平=g(4)∈T"(R"),且有 D/(,g(①)+Dn/(,g()Dg()=0∈L(7(R"),r(R") 3.知识体系架构:知识点及知识要素对于一门知识体系,我们建议先以知识点为单位归纳知识体系,然后对每一知识点再归结为若干知识要素,藉此清晰化和条理化知识体系;在教学中,我们可以知识点安排教学进度。以下列举我们在相关教学研究与实践中的若干事例相关教程中泛函变分的具体计算基本采用方向导数的形式;但指明此做法的依据为泛函微分等于相应的方向导数有助于正本清源。按一般赋范线性空间上的微分学,任何赋范线性空间之间映照的微分都等于相应的方向导数,且高阶微分的计算也表现为多次方向导数的计算 ′多有著作基于隐映照定理或逆映照定理推出逆映照定理或隐映照定理;然而,可基于压缩映照定理独立地证明隐映照定理和逆映照定理,具体的技术性处理,张筑生著《数学分析新讲》(第2册)以及 V..Zorich著“ Mathematical Analysis”(Vol2) 都有极其清晰的叙述,且基本思想及方法基本一致第7页共20页

第 7 页共 20 页利用微分同方向导数间的关系：         0 h lim dF Ff h Ff f h DF f df          * ，可基于微积分获得变分临界点所需满足的 Lagrange－Euler 方程：   ,, ,, 0       dL L xf x f x xf x f x dx f f              。 2.2 辐射性发展事例：隐映照定理及逆映照定理有限维 Euclid 空间中的隐映照定理及逆映照定理（微分同胚局部存在性定理）可谓有限维 Euclid 空间上微分学中最为困难和最为重要的结论。上述定理，无论在数学领域还是力学领域都有诸多重要的应用，例如前者为约束表示，后者为 Legendre 变换提供了理论基础。我们可基于有限维 Euclid 空间中有界闭集上的压缩映照定理（不动点定理）构造性地证明上述定理† 。然而，完备的赋范线性空间（Banach 空间）中依然成立有有界闭集上的压缩映照定理。故对于一般赋范线性空间之间的映照，当值域空间为 Banach 空间时仍成立有隐映照定理和逆映照定理，且分析的思想和方法几乎完全一致于有限维 Euclid 空间上的分析。例如，对于张量   r m  T  ，   s m  T  ，满足约束方程  , 0    t m f T     ，此处认为约束方程具有足够的正则性。如果，存在 0   r m  T  ， 0   s m  T  ，满足： 1.   0 0 f   , 0 2.   0 0 , ,     sm tm D f LT T      为可逆有界线性算子则有，约束方程在  0 0  , 点附近确定了映照：     s m    g T  ，且有：  , , 0,             rm tm D f g D f g Dg L T T            。 3. 知识体系架构：知识点及知识要素对于一门知识体系，我们建议先以知识点为单位归纳知识体系，然后对每一知识点再归结为若干知识要素，藉此清晰化和条理化知识体系；在教学中，我们可以知识点安排教学进度。以下列举我们在相关教学研究与实践中的若干事例。 * 相关教程中泛函变分的具体计算基本采用方向导数的形式；但指明此做法的依据为泛函微分等于相应的方向导数有助于正本清源。按一般赋范线性空间上的微分学，任何赋范线性空间之间映照的微分都等于相应的方向导数，且高阶微分的计算也表现为多次方向导数的计算。 † 多有著作基于隐映照定理或逆映照定理推出逆映照定理或隐映照定理；然而，可基于压缩映照定理独立地证明隐映照定理和逆映照定理，具体的技术性处理，张筑生著《数学分析新讲》（第 2 册）以及 V.A.Zorich 著“Mathematical Analysis”（Vol.2）都有极其清晰的叙述，且基本思想及方法基本一致

3.1知识点事例:微积分中“无限小增量公式” 对于函数局部性质的研究,微积分中所提供的主要方法为无限小增量公式 (+24(x=)1+(x-x 亦即在x点附近利用高阶多项式进行逼近。对此知识点,我们归纳如下的知识要素:①直接基于无限小增量公式,获得基本初等函数的多项式逼近,如:1=1+x+(x).四复合函数极隈定理,如基于,1的逼近,可得=1+(-x)+0(x").⊙由(x)逼近式, 经“逐项求导”获得(x)的逼近式,经“逐项求积”获得的逼近式∫(),基于 Landau 符号实践“抓住主要矛盾、忽略次要矛盾”如0(2x+(x)=0(x),2∈R'等作为应用事例,我们可有如下分析 ncos.x=ln1-2,+0(x)|=-x+0(x)-1x2+ox2) +O +o(x3) 2+o(x)+o(r)=-x+o(x) 2 般而言,基于上述四个要素,我们能系统化地获得复杂函数的无限小增量公式 32知识点事例:张量分析中“三维 Euclid空间中张量场场论恒等式推导” 连续介质力学中,我们常需要推导各种形式的张量场场论恒等式。对此,我们归纳如下的知识要素:① Eddington张量同度量张量之间的关系:e,∈m=6164-0613,此处∈为 Eddington张量的协变分量, Kronecker符号为度量张量的混合型分量。此关系式亦可称为置换符号同 Kroneck符号间的关系。②Rici引理:度量张量、 Eddington张量对所有坐标曲线的偏导数为零,亦即v(x),Vg0(x)等均为零。微分几何中,Rici引理对应现联络或共变微分同 Riemann度量相容。③ Euclid空间基本性质:张量分量的协变导数可以交换次序, 亦即ⅴV=VV。微分几何中, Euclid性(空间的平坦性)对应 Riemann- Christoffel张量本知识点事例,基于张筑生著《数学分析新讲》(第2册)有关内容进行归纳;第④点由本文补充。 ↑此关系式由本文归纳,将基本初等函数的多项式逼近结合复合函数极限定理,常常得到此关系式的左方形式;基于此关系就能得以简化。需指岀,有教程在具体问题处理过程中岀现左方形式,但未提及必要的说明本知识点事例,基于郭仲衡著《张量(理论和应用)》有关内容进行归纳;本文未有补充内容 5此处i为哑标,遵循 Einstein求和约定, 第8页共20页

第 8 页共 20 页 3.1 知识点事例：微积分中“无限小增量公式”* 对于函数局部性质的研究，微积分中所提供的主要方法为无限小增量公式：      00 0   1 n k n k k fx c c x x o x x             亦即在 0 x 点附近利用高阶多项式进行逼近。对此知识点，我们归纳如下的知识要素：①直接基于无限小增量公式，获得基本初等函数的多项式逼近。如：   1 1 1 1 n k n k x o x x      。②复合函数极限定理。如基于 1 1 x 的逼近，可得    3 3 3 1 1 1 1+ n k n k x o x x      。③由 f   x 逼近式，经“逐项求导”获得   df x dx 的逼近式，经“逐项求积”获得的逼近式 f   x dx  。④基于 Landau 符号实践“抓住主要矛盾、忽略次要矛盾”。如     , pp p o x ox ox      † 等。作为应用事例，我们可有如下分析： 2 2 22 2 2 33 3 3 2 2 34 3 1 ln cos ln 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 xx x x x ox ox ox o ox x x ox ox ox                                       一般而言，基于上述四个要素，我们能系统化地获得复杂函数的无限小增量公式。 3.2 知识点事例：张量分析中“三维 Euclid 空间中张量场场论恒等式推导”‡ 连续介质力学中，我们常需要推导各种形式的张量场场论恒等式。对此，我们归纳如下的知识要素：①Eddington 张量同度量张量之间的关系： ijk j k k j ipq p q p q        § ，此处 ijk  为 Eddington 张量的协变分量，Kronecker 符号 j p  为度量张量的混合型分量。此关系式亦可称为置换符号同 Kroneck 符号间的关系。②Ricci 引理：度量张量、Eddington 张量对所有坐标曲线的偏导数为零，亦即   ijk l   x ，l ij g x  等均为零。微分几何中，Ricci 引理对应现联络或共变微分同 Riemann 度量相容。③Euclid 空间基本性质：张量分量的协变导数可以交换次序，亦即    pq qp 。微分几何中，Euclid 性（空间的平坦性）对应 Riemann－Christoffel 张量 * 本知识点事例，基于张筑生著《数学分析新讲》（第 2 册）有关内容进行归纳；第④点由本文补充。 † 此关系式由本文归纳，将基本初等函数的多项式逼近结合复合函数极限定理，常常得到此关系式的左方形式；基于此关系就能得以简化。需指出，有教程在具体问题处理过程中出现左方形式，但未提及必要的说明。 ‡ 本知识点事例，基于郭仲衡著《张量（理论和应用）》有关内容进行归纳；本文未有补充内容。 § 此处 i 为哑标，遵循 Einstein 求和约定