2012年全国现代数学与力学学术会议：基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论研究固定曲面上流动及曲面自身运动（史倩、陈瑜、谢锡麟）

第十三届现代数学和力学学术会议(MMM-XII 暨钱伟长先生诞辰100周年纪念大会 2012年10月6-8日 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 研究固定曲面上流动及曲面自身运动 复旦大学力学与工程科学系 史倩陈瑜谢锡麟 研究背景、研究思路 ·理论研究:限制于一般运动曲面上的连续介质的有限变形理论(连续介质作为二维 Riemann微分流形) 典型运动事例1:膜的轴对称有限变形运动 ·典型运动事例2:固定曲面上圆柱绕流 总结与展望

第十三届现代数学和力学学术会议（MMM-XIII） 暨钱伟长先生诞辰100周年纪念大会 2012年10月6－8日 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 研究固定曲面上流动及曲面自身运动 复旦大学 力学与工程科学系 史倩 陈瑜 谢锡麟 • 研究背景、研究思路 • 理论研究：限制于一般运动曲面上的连续介质的有限变形理论（连续介质作为二维 Riemann微分流形） • 典型运动事例 1：膜的轴对称有限变形运动 • 典型运动事例 2：固定曲面上圆柱绕流 • 总结与展望

海面油污扩散 生物膜 得脂分子 入质中的蛋自 Jun Zhang. Nature 2000 几何形态为曲面的连续介质运动 薄层运动假设(引入面密度) 膜的大变形运动示意 几何形态为曲面( Riemann流形

Jun Zhang. Nature 2000 海面油污扩散 膜的大变形运动示意 几何形态为曲面的连续介质运动 —— 薄层运动假设（引入面密度） —— 几何形态为曲面（Riemann流形） 生物膜

限制于一般运动曲面上的连续介质的有限变形理论一构形构造 初始物理构形V 当前物理构形v 曲面方程:X(x24) 曲面方程:Σ(x2, 运动刻画x=x(52,) 初始参数构形 当前参数构形 变形梯度:F8(2,)g(x,0G(x)∈T(R)stb÷Fab

限制于一般运动曲面上的连续介质的有限变形理论 —— 构形构造 3 X 1 X o 2 X 曲面方程： x t  , o  o 初始物理构形 V t 当前物理构形 V o 1 x 2 x o Vx 初始参数构形  t V x 当前参数构形  运动刻画 x x t      ,  曲面方程： x t  ,  a0 0 b a b         2 3 , , s.t. i j j i o o x F t g x t G x T ab F a b                 变形梯度：

限①当前一初始物理构形中有向线元、面元间的转换 于 dc e dc 2|∑a∑ λ)=F det f. 形 (2,)n(, d 刻般 画运②当前一初始物理构形中有向线元、面元模间的转换 动 按曲 面 dc dc dc ∑0∑ A)F·F ∑a∑ det f. 郭仲衡先生书著中有限 d元 an au on ou 的 连 当前物理构形中有向线元、面元的物质导数 续介质的 d d ax(4)=a(x),此处LeeV(x 变有 形限 ∑0∑ (,)=B 2a∑o∑ 理变 论形 理④当前物理构形中有向线元、面元模的物质导数 平论 III+L 发 Z.D.2)de 展 d d d R3 a∑aΣ ∑ x.(, u =detF.ax a元a an a (=a a/ du

① 当前－初始物理构形中有向线元、面元间的转换     t o d C d C F d d              3 , det , , t t o o t       F n                       ② 当前－初始物理构形中有向线元、面元模间的转换       2 * t o o d C d C d C F F d d d                       3 3 , det , t t o o     F                      ③ 当前物理构形中有向线元、面元的物质导数     t t d C d C L d d        ，此处 L V x t  ,         , , : ,      t t t t t t        I V B                                                             ④ 当前物理构形中有向线元、面元模的物质导数       3 3 3 , det , , t t o o t t        F                                        3 3 3 * : 2 t t t t t t t t d C L L d C d C D d d d                                      限 制 于 一 般 运 动 曲 面 上 的 连 续 介 质 的 有 限 变 形 理 论 —— 变 形 刻 画 （ 按 郭 仲 衡 先 生 书 著 中 有 限 变 形 理 论 做 平 行 发 展 ）

限第二类输运定理 制 输于 运 线输运 1 定般 d (4)d=「*r+j(r)n 理运 面输运J+nlo *ndo+Φ*B.ndo 面上的连 的第一类输运定理 续 个线输运 ∫d=aJaa(4)d2=「d+∫ 质的 有 娘面输运jtd=∫ B ∑叫(4,n)d=lddo+[④d 变形 理 论基于输运方程获得 质量守恒的积分方程aJAh 亓+pbdo=0,O会v R Aris, 1962 A+pl ViV+ g t

限 制 于 一 般 运 动 曲 面 上 的 连 续 介 质 的 有 限 变 形 理 论 —— 输 运 定 理   t t t t C d d d C dl d dl L dl dt dt d                              线输运     * * * t t t d nd nd B n d dt                    面输运      3 , t t t t t D d d d d d d dt dt                             面输运       3 t t t t C C C d d d C dl d dl D dl dt dt d                        线输运     0, t t V d d d dt                          基于输运方程获得 质量守恒的积分方程 第二类输运定理 第一类输运定理 R.Aris, 1962   1 , 0 i i g V x t g t                  

义p7。-垂d=/(n×V)o-面d gk C T×n)o 更dl Vo-重-(Vn)(n。-重) (n·(V⑧重) 限制于一般运动曲面上的连续介质的有限变形理论 公 式 重)+H d do 公式及其应用 ()m(e R. Aris. 1962 ∑ pa=f, +V T pa,=f +bl 本组研究 Fsur:=Ypr×nl=y/Hnd Em-=-r× Vp-phn do F vdl do dv=Fm+Fme+Fm+△Pn+pE

3 X 1 X o 2 X n   n 限制于一般运动曲面上的连续介质的有限变形理论 —— 广义Stokes 公式及其应用 广义Stokes 公式   i j i j i j j i j i j i   n T g g T g g Hn T g g d                                                i j j i j j i n n i j a f T a f b T              R.Aris, 1962 本组研究

限曲面上的场论分析 微分分 Ricci identity VVn配一V=Rt+Rqp重 制于一般运动曲面上的连续介质的有限变形理论 Gauss and Codazzi equations VaVpAS-VPVgAs=(bs -bs bgt)A' 程 bip big bip big= kg(gip gig-gip gic 连连续性方程微分形式 (ay, t)+i2a(az, t)+plViV-HV 3 at 0 般曲面运动的动量方程微分形式 ∑ ∑ ∑ blb *26s0v3 aas gl 9)v+2b +V°Vsv 3 3

限 制 于 一 般 运 动 曲 面 上 的 连 续 介 质 的 有 限 变 形 理 论 —— 微 分 分 量 方 程 一般曲面运动的动量方程微分形式 连续性方程微分形式 曲面上的场论分析

典型运动事例1—膜的有限变形运动 控制方程 运动刻画:x=x(,1)=2∈R2会=2(x,1)=(52) 亦即 Euler参数坐标为 Lagrange参数坐标的恒等映照 O v8 v8 (xr, 1+(r-pH+AP+R38V+26, +v -bb at 02∑ V3-bl'b

      1 , , , 0 i s i s x t x x t g V x t t x x g                               1 2 2 x x t,                  运动刻画： 亦即Euler参数坐标为Lagrange参数坐标的恒等映照。 V x t t  , ,    t t              3 2 3 2 3 , , 2 ij ij j t s l i j l i jl l j t l l s p V g x t g V g b V b b V b t x x                                                    典型运动事例 1 —— 膜的有限变形运动 控制方程     3 2 2 3 3 , , 2 ij ij j s js n x t p H P g V b V b V b b V i j i j j s js t                                             

典型运动事例1一膜的轴对称有限变形运动 密度与振动过程不耦合 在小振动方程中引入密度关于半径的函数 (G.R. Buchanan Journal of Sound and Vibration 2005, Vo1280 407-414) P= Po[l +r(r/a)cos 0 1/aw 1 aw paw r2002 S at2 大变形情形、但不考虑密度变化 (Zheng Zhou-Lian Mathematical Problems in Engineering 2009 ID634362) a2. a2 十 十 0 ay2 1a2N2 12O H1 aNx 1 a2N 1 a-N a-w aw Enh ay2 E2h ay2 Eth ax2 E2h ax2 Gh Oxy \ axay

典型运动事例 1 —— 膜的轴对称有限变形运动 在小振动方程中引入密度关于半径的函数 (G.R. Buchanan Journal of Sound and Vibration 2005, Vol280, 407–414) 大变形情形、但不考虑密度变化 （Zheng Zhou-Lian Mathematical Problems in Engineering 2009, ID 634362） 密度与振动过程不耦合

典型运动事例2-膜的轴对称有限变形运动 控02 (r,) 制 D(n=0-)s 方程 (r)=pn(r;1)=(r;)=-2(,.) oy28n(,x)=() 02∑ r,ttp. at 8 *oe vg V( )-HVi g 参数选择 对于固体,这里表面张力系数类比于在一定弹性拉伸下获得的张力 E·E y=E·E·dp=P, 厚度在这过程中自动消去 参考:E=1.0Mp=1.0×10kg/m3E≈59L≈01m =104(s-2 L 初始条件:(7.0)=4×(1-r2R2)R=50 工况选择A=0.5,1,2.5,5,7.5,10,12.5,15

典型运动事例 2 —— 膜的轴对称有限变形运动 参 数 选 择 工况选择 A=0.5, 1 ,2.5 ,5 ,7.5 ,10 ,12.5 ,15 控 制 方 程           3 2 2 2 , , , , , 1 , tt r z r t n r t p r t H r t t z r t                              3 2 2 , , , , , , r tt r p g r t z r t z r t r t t r                        3 2 2 , , 0 , , p g r t r t t                        1 , , 0 r n r t g V g V r t H V t r g                                                        p z  对于固体，这里表面张力系数类比于在一定弹性拉伸下获得的张力       E       v E Mpa 1.0    1.0 10 / 3 3 kg m   5%   2 2 初始条件： z r A r R ( ,0) 1 /    厚度在这过程中自动消去 R  50 v E        参考:   4 2 2 10 s  L    L m  0.1 