前 虽说写这本书的念头是近几年才有的,但本书体系的形成却 经历了差不多30年。 作者在这领域早期受到A.E, Green和W. Zerna的《理论 弹性》(1954)和S.Gob的《张量运算》(1956)的启蒙.Gopb 教授是属于 Schouten学派的。尽管有些作者还没有意识到,“芯 字母”和“带撇指标”在指标记法中却早已决定性地显示出它们的 优越性 1960年,C. Truesdell&R,A. Toupin的《经典场论》问世 作者的导师W. Urbanowski教授对作者说,指标固然好,但抽象 记法更佳。老师的思想感染了学生。作者在波兰发表的22篇论 文全是本着这个精神写的 I963年作者回国在北大任教.当时国际学术界使用张量方 法的尚属少数。但作者的信念是:张量的普及只是时间问题。作 者讲授的“非线性弹性理论固然非用张量不可。对基础课“弹性 力学”,作者也尝试了用笛氏张量记法讲授。从未受过这方面训练 的学生感到困难.教学效果如何作者也无把握,感到压力很大, 作者釆取了发补充讲义和加强辅导等措施设法将课坚持到底。学 期终了,克服了重重困难的学生终于尝到了甜头,反映说:“这种 方法就是好!”学生的肯定是对教师的最大支持和鼓励,增强了作 者在教学上沿这路子走下去的信心,但是,“十年动乱”使作者的 想法成了泡影,只留下了一本用张量书写的“非线性弹性理论“讲 义 雨过天晴。翻开杂志一看,果然不出所料,几乎每篇理论性文 章无一不在不同程度上用了张量的工具。1978年,作者参与了 全国力学规划”中的“理性力学和力学中的数学方法”部分的工
作。原来的想法死灰复燃了。遂修改了留下的讲义,出版成书《非 线性弹性理论》 过去主要是固体和流体力学工作者应用张量分析,而且仅是 三维欧氏空间的张量分析。这是很自然的,因为物体仅在三维的 物理空间运动, 正当我们“内战”正酣的时候,国际上兴起了一门“新几何力 学”,突破口在 Hamilton力学。它需要在构形空间,相空间或增 广相空间中进行张量分析,从中发据每个系统的最本质的数学结 构——自然辛结构.这些空间已经不是我们生活所在的物理空 间,而是高一层的抽象空间,维数可以是任意的.当讨论连续体 时,维数还是无穷的,这就要求人们跳出狭窄的三维物理空间,转 人抽象的n维,甚至无穷维空间,对于约束系统来说则是流形, 般情况下,系统或多或少是受到约束的.这样,张量分析就从古 典阶段进人近代阶段—流形上的张量分析,流形的维数可以是 任意的,坐标系一般只是局部的,与之相伴又产生了一系列的新概 念,接受这些概念需要在观念上来一个大转弯1979年起作者有 机会到外面走一走,所接触到的新朋旧友,许多都谈到这个新阶 段 本书的原始意图是一本人门读物,但人门也有现代化问题 古典张量分析的书已出版甚多,大同小异,多一本少一本已无关大 局.作者把前面谈及的几个阶段的思想有机地加以融合,经反复 酝酸下,最后决定把这本书写成一本现代化的古典张量分析的人 门书.从整体上是古典的,因为本书未迸人流形和无限维领域.但 从局部上,每一概念的叙述和定理的证明却尽可能是现代化的, 维的空间,作为多重线性函数的张量定义,抽象记法的突出,置换 行列式及外代数的普遍使用等等使得全书的叙述和证明成为一个 有机的整体,克服了古典分析中的一些逻辑上的不彻底性,第IX 章集中介绍一些主要的近代概念,旨在为读者架起一座较易通向 近代张量分析的桥架,第X章举出非完整力学系统作为第IX章 概念应用的生动例子,读者从这个例子将会预感到近代分析的生
命力 由于 Stokes定理涉及流形的许多概念,本书没有介绍这个极 为重要的定理,这是一个不得已的美中不足 仑书的各部分内容包含了作者各阶段的研究心得.从79年 起作者在国内外曾多次讲授过,书稿几经修改.学生的问题和建 议使本书得以不断完善。这里作者想特别提到他的研究生慕小武 和高普云同志 科学出版社《应用数学和力学丛书》主编钱伟长教授有意将本 书列人丛书。种种原因,迟迟未能完稿。正是他的一再督促使作 者下决心趁暑假完成这项工作 正在本书完稿之际,噩耗传来,8月23日波兰学派的创始人 之一,W. Nowacki教授与世长辞了.W. Urbanski教授则在 作者博士论文答辩后两个月就逝世了.这两位记忆犹新的波兰恩 师的学术思想,严谨作风和谆谆教导影响着作者的整个学术生涯 请允许作者在这里一表怀念他们之意 郭仲衡 (Guo Z hong-heng) 1986年9月 于北京大学
《应用数学和力学丛书》编委会 主编钱伟长谈镐生 副主编叶开沅郭仲衡 编委(按姓氏笔划为序) 王仁刘人怀米兆祥朱照宣江福汝 陈大鹏陈至达吴学谋李家春杨桂通 苏煜城周恒欧阳鬯郏哲敏岳曾元 唐立民黄敦黄克智晏名文蔡树棠 樊大钓潘立宙砗大为戴天民燕世强
录 前宫 绪论……………… 第I章准备 §1维欧氏空间的笛氏张量记法…… 52若千符号……… 3置换-…………………………… 第Ⅱ章张量代数 1拘量空间和基…………… 52内积空间,度量张量和对偶基……………13 §3张量和张量积…… 17 54基的转换和标准正交基………………………23 §5缩并与点乘…………………………27 §6对称和反称…………………………30 57置换算子,对称化和反称化… 33 58外形式和外积 甲垂市b。 38 §9 义 Kronecker符号,Rici符号和矩阵的行列式…48 §10定向,容积元和 hodge对偶性 。d 55 第Ⅲ章仿射量………………………………………65 §1二阶张量和线性变换………… ……65 52仿射量的积和转置 68 53仿射量的行列式 甲··甲非 s4正则和退化…… 55主不变量和矩 76 56特征方程,特征值和特征方向…………………82 §7 Cayley- Hamilton定理………… 84
§8对称仿射量………………… 86 59反称仿射量 510正交仿射量… 95 S1]仿射量的主向… ……105 §12仿射量的分解 ……………106 第ⅣⅤ章张量函数及分析 ●4平·申 甲甲 110 §1各向同性张量函数……………………………………110 §2对称仿射量的各向同性标量值函数… 114 §3对称仿射量的各向同性仿射量值函数………15 54仿射量的线性各向同性标量值函数 …120 55对称仿射量的线性各向同性仿射量值函数 56仿射量的线性各向同性仿射量值函数………122 57张量函数的微分和导数… 125 58 Leibniz法则和链式法则 136 第章绝对微分学………………………………………140 §1仿射空间和欧氏空间………………………………140 52平行性和同态扩张………… 、,申 ………142 53仿射坐标系,興则基和笛氏坐标系… …145 §4·张量场 47 §5曲线及其速度向量… ……148 56张量场的绝对微分和梯度………………149 §7曲线坐标系和自然局部基 ……………153 58协变导数,联络系数和 Christoffel符号 158 §9非完整系 ……………………164 §10正交坐标系和物理标架……… l6 511不变性微分算予……………………………176 §12自然平行性的后果 78 §13积分和散度定理 180 第VI章弹性的一般理论 184 §i形变几何学……… 18
运动学 n。pedd 187 §3质量…………………………191 §4动力学分析……………………………193 55能量守恒律和动能定理… …198 56弹性的本构关系和问题的建立 200 第Ⅴ章经典弹性力擊…… …205 形变的分析……………………205 52协调方程… 207 §3动力学分析 …………………209 §4广义 Hooke定律… 210 55数学问题的建立 …212 56扭转问题 第VI章E曲线和曲面上的张量分析……220 曲线… …………………220 §2 Frenet标架和曲线的曲率 222 §3曲面及其上的张量代数……………226 §4曲面的绝对微分学 …228 §5 Weingarten- Gauss公式…………………230 §6 Riemann- Christoffel张量和Rici恒等式………232 §7 Gauss- Codazzi方程…………234 第ⅨX章张量分析的若千近代概念…………………237 §1切空间,余切空间和微分形式 237 §2向量场的ie括弧积和Lie代数 甲 247 §3区域映射和导映射…………………250 §4流,单参群和无穷小生成元 261 §5Lie导数… 265 §6里积和外微分… …280 57 Frobenius定理… …289 第X章非完整力学系统 …302 全书参考书目 …………309
绪 论 作为一门数学学科,起初称作“绝对微分学”的张量分析的发 展差不多已有一百年历史了。张量的概念源于描述弹性体的应力 状态。但弹性力学,或更一般地连续介质力学真正拿起这个武器 还是近二、三十年的事(参阅理性力学先驱的经典文献:C. Trues dell, The mechanical foundations of elasticity and fluid dynamics Journal of Rational Mechanics and Analysis, 1(1952),Pp. 125 300).从那时起,张量分析在力学理论工作者中普及,已成为 个不可阻挡的趋势。力学的近代理论性文献都不同程度地运用这 个工具.在应用张量分析方面,理论物理走在力学的前面。远在 本世纪初, Einstein成功地提出广义相对论,在相当程度上归功于 这个有力的数学工具。今天,熟悉这个工具已是应用料学工作者 的当务之急,本书正是为他们而写的 提起张量运算,人们自然地就联想到一连串的“指标运算”,它 在省去和号的 Einstein约定下,神秘地把冗长的公式变得简洁和 紧凑,并突出了现象的几何和物理特点。这是一大优点。但使张 量分析获得成功的实质是在于它的不变性,即不随坐标系的选择 而变化的性质。在处理具体问题时,我们总得引进坐标系,例如 直角坐标系或其他曲线坐标系。众所周知,同一物理法则在不同 坐标系里具有完全不同的形式,例如可以描述许多物理现象的 Laplace方程在直角坐标系里是叫++=0,在厨柱 0x2ay20: 坐标系里是 af 十 0,而在球坐标 r arae 0920x2 系里则更为复杂。我们说,这些方程不具有(与坐标系无关的)不
变性.原因是:一个坐标系好比一种“面纱”,它蒙在上面使我f 看不清物理事实的本质。张量分析的目的在于寻求一种摆脱具体 坐标系影晌的描述几何和物理规律的手段及其运算法则 乾脆抛弃坐标系是一个办法,就是所谓“抽象记法”.只运用 标量和向量的一些力学分支,所谓“向量力学”,就属于这种方法, 它的筒洁形式曾有过很大吸引力,意大利学者们曾试图将抽象记 法推广到比向量更复杂的二阶张量的场合.他们引进了一大套难 以记忆和掌握的运算法则,因此该方法未能普及。另一种办法就 是“指标记法”,它辩证地既用坐标系而又摆脱坐标系的影响。它 的简单的“指标游戏法则易于掌握和记忆,使它蠃得了广泛的承 认。但指标记法也有弱点。除了在指标过多时显得累赘外,这方 法在逻辑上有许多不透彻之处,而且每一步,严格地说,都应有烦 琐的不变性证明,为了克服这些弱点,近代的倾向又重新回到“抽 象记法”或叫“不变性方法“,但这并非历史的简单重现,而是圾 收其他数学分支的思想,克服自身的初期弱点而完成的一个质的 飞跃,它使理论具有一个完整体系而趋于更成熟.近代张量运算 的另一个重要特点是在微分流形上进行分析,它是近代微分几何 的基本工具,为研究近代自然科学理论展现出新的和广阔的前景 由于本书的预定对象和篇幅的限制,我们在这里不准备进行 这种最一般的讨论。但我们也不重复现有坊间书籍的古老做法, 而是争取在不用过多的数学基础知识的前提下,使叙述尽可能简 单而现代化,从而构成一个完整的理论体系同时又易于为初学者 所接受 我们生活及周围自然现象发生所在的场所是三维欧氏空间 体书是为讨论在这空间里的自然现象提供工具,并举力学的若干 方面作为应用范例。但我们仍从建立一般的n维空间理论入手, 而把三维空间作为特殊情形包括进去,这样,理论上可以筒洁和 透彻些,也为进一步深造打下基础 本书采用的公式编号和引用法则如下。公式在本节范围内一 律用一个数依次编号。在本章内引用时,前面添一个表示节号的
数,如(5,8).在章外引用时,再在前面添一个表示章号的罗马数 字,如(I.4.2)表示第I章54的公式(2) 作者不准备列举浩瀚的参考文献,而只在书末给出写稿中主 要参考的文献(专用于第X章)和书目(适用于全书)