第5卷第3期 ol.5 NO. 3 2012年2月 中国科技论文在线精品论文 Highlights of seieneepaper Online February 2012 真实开放流场空间动力学行为 分析的基本思想及方法 谢锡麟,麻伟巍2 (1.复旦大学力学与工程科学系,上海200433 2.东华大学理学院,上海201620) 摘要:鉴于 Navier-Stokes方程( Navier-Stokes equation,NSE)在景学研究上的巨大困难,以及真实开放流 场所具有的丰富多彩的空间动力学行为,提出开放流场空间动力学行为分析的一种基本思想及方法。总体研 究思想为:引入同NSE具有一定联系且实验上可测的“实验可测量”,基于实验研究以获得对NSE自身空 间动力学行为的认识。目前,一定程度上找手到的实验可测量包括:1)空问相位嘉图,主要将空间上可有 限间的二点的速度脉动间互谐相位联系于流动稳定性理论;2)全局空间动量/能量关系式,主要在频域空 间中建立空间上可有限间隔的二点的速度脉动关系式,此关系式可作为NSE的一种表现形式。通过对轴对 称剪切流、变密度圆射流、平面对称剪切流,以及单圆柱尾迹等经典开放流场的空同动力学行为分析,定性 归纳了若干真实开放流场的动力学行为 关健词:流体力学; Navier-Stokes方程;真实开放流场;实验可测量;空间动力学行为分析 中国分类号:0351文献标识码:A文章编号:16742850(2012)02025010 The primary ideas and methodologies of spatial dynamics analysis of real open flows XIE Xilin, MA Weiwei (l. Department of Mechanics and Engineering Science Fudan university, Shanghai 200433, Chin 2. College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China) Abstract: Due to the huge difficulties in the mathematical study of navier-Stokes equation(NSE)and the abundant spatial dynamics of real open flows, a kind of ideas and methodologies of spatial dynamics analysis of the real open flows is put forward. The primary research idea is to introduce the so called"experimentally measurable quantities"that not only have some relations to the nse but also could be measured in experiments, therefore the properties of the nse could be recognized through the experiments. Nowadays some quantities that could be considered as the experimentally measurable quantities include: 1) spatial phase pattern that relates the phase of the cross-spectrum of the velocity fluctuations with respect to two finite spatial separated points in the flow fields with the theory of hydrostability 2)the global momentu energy relation that sets up the relation in the spectral space of the velocity fluctuations with respect to two finite spatial separated points in the flow fields, this kind of relations could be considered as a kind of representations of NSe. Some experimental conclusions are concluded in this paper based on the spatial dynamics analysis carried out to axisymmetric shear flows, variable density circular jets, planar-symmetrio shear flows and the wakes of a circular cylinders and so on. Key words: fluid mechanics; Navier-Stokes equation; real open flows; experimentally measurable uantity; spatial dynamics analys 基金项目:高等学校博士学科点专项科研基金(新教师基金)(20070246139);国家自然科学基金(面上项目)(10872051) 作者简介:谢麟(1974-),男,副教,主要研究方向:力学中的数学方法、现代连续介质力、涡量与祸动力学 E-mailrxiexilin@fudan.edu.cn
谢麟等:真实开放流场空间动力学行为分析的基本思想及方法 0引言 数学上而言,NSE可谓现代偏微分方程领域最为困难的问题之一。三维空间中NSE解的存在性 正则性等基本问题—Clay数学研究所七大悬赏问题之一—至今仍未能得到解决。这些问题在数学 上对应:初始时刻足够光滑的解是否依某种范数发生有限时间 blow-up(有限时间奇异性)一这也 就是著名的 Leray猜想 物理上而言,开放流场的空间演化一般表现为有序向无序状态的演变,其内蕴机理可称为湍流生 成机制。开放流场中往往存有不同尺度的旋涡结构,它们的空间演化及其相互作用(动力学行为)主 导了流场的空间演化。实验以及计算流体力学( computational fluid dynamics,CFD)都表明:NSE具 有丰富的动力学行为,具有非线性的诸多基本特征,如:旋涡结构的分叉现象( Bifurcation)、有序 至混沌转换的突发性现象( singularity/ Blow-up)、蝴蠊效应( Chaos)、湍流生成的多尺度特征 ( Multi-scale)等 从当前偏微分方程以及动力系统领域而言,NSE的研究具有巨大的困难。这种困难,一方面来源 于NSE本身,即上述它本身具有诸多非线性的基本特征;另一方面,可能源于数学上研究同流动真实 行为间的联系仍不够紧密,使得数学上对问题的提法以及研究目标可能都不甚合理。笔者认识,具体 可作以下几方面的归结: 1)尺度与正则性。真实流场中各种几何或时间尺度上的运动,往往以旋涡作为载体,应该对应于 不同的正则性;而正则性则应同范数紧密相连。因此,以一种特定的范数刻画NSE的正则性应该是不 合适的,因为一种范数仅对应一种正则性 2)物理上有界吸引子与数学上全局吸引子。时空上均能充分发展的开放流场,文献以及笔者的实 验都充分表明,流场具有鲜明的空间区域特征。因此,以一种范数刻画整个流场亦是不合适的;因为 范数往往表现为某种形式的全空间意义的积分,自然抹煞了各空间区域自身的特征。 3)解与边界。对于开放流场而言,其边界条件可能本身就是“解”的一部分,而不是在初始时刻 就能被确定。 Houston大学 HUSSAn等提出的时空稳定性理论意义下的开放流场“动力学开放” 或“动力学封闭”的概念就基于开放流场对外界背景扰动的两种截然不同的反映。并列双圆柱绕 流等开放流场中的双稳态( bi-stable)现象亦非常鲜明生动地反映了随时间演化流场“自发地”大规 模的形态变化,这自然包括具有不同流动特征的区域间边界的变化。开放流场其解和边界的因果关系 似乎能类比于“先有鸡还是先有蛋”这样的迷 4)全局与局部。NSE方程直接是局部动量平衡的刻画,而真实开放流场所反映的丰富多彩的动力 学行为,包括各种类型、尺度的旋涡结构的自身演化及其相互作用等,往往是流场在一定空间和时间 尺度上的行为。在力学实验上,常常观测到的是全局动力学行为;而数学上获得全局动力学行为的刻 画却异常困难。 数学上研究常以其高度的概括性为特征,但需要充分接触真实流动使得研究结果能更好地揭示物 理本质。力学上的研究虽然面对客观,但往往缺乏数学结论所具有的高度概括性;特别基于实验的研 究,往往面对现象而无法深入地探讨机制。客观而言,既然NSE蕴涵丰富的动力学行为,则必然有数 学上机制与其对应 鉴于上述数学和力学方面研究的利弊,文章提出空间动力学行为分析的基本思想及方法。总体研 究思想为:借鉴现代偏微分方程和动力系统理论的思想和方法,寻求和发展实验分析的手段,并通过 对经典开放流场的研究而探索NSE空间动力学行为的数学机制—这样的数学机制是真实流动特征的 本质刻画,因此无论对于流体力学的理论发展还是实际应用都应该具有重要的意义 1实验可测 总体研究方法,如图1所示
算5卷第3期 2012年2月 中国科技论文在线情品论文 此处引入的“实验可测量”—不仅为NSE某类性质的 数学表示,数学上具有同NSE清晰的联系,也具有鲜明的力 学或物理意义;而且,该量在实验上也是可以被测量的。如 数学 粘性流体力学中的耗散函数、多谱分析中的 self-bispectrum同sE自身数学特性相联系的“实验可测量” 都可从NSE中推出,分别表征了粘性对能量时间变化率的贡 献和非线性对某一频率空间增长率的贡献;这些量在实验上 也都是可以测量的。需指出,这两个量都是NSE局部性质的 真实开放流场 刻画。然而,NSE诸多引人注目的动力学行为其内蕴机 1实验可测量示意图 制——真实开放流场对应NSE的空间动力学行为—往往隶Fg1 Sketch of the“ experimentally 属于NSE的全局性质。NSE是局部动量平衡的刻画,故其内 measurable quantities 蕴的全局行为的数学刻画本身就显得难以捉摸 尽管如此,寻找刻画NSE全局性质的实验可测量,并通过实验研究实验可测量而间接获得对NSE 全局性质的认识,始终是本项研究的基本研究思路。 基于实验可测量——具有同NSE明确的数学关系又是实验上的可测量;并通过实验研究这些量以 间接揭示和理解NSE的动力学行为—称此研究为空间动力学行为分析( spatial dynamics analysis)。 通过实验分析可以很大程度上逃逸于数学研究上“先天”的困难和束缚;所提供的结果是真实流场流 动特性的客观反应,这也能为数学上的研究提供有价值的思路和启发。 按目前的认识,现实验分析所依赖的实验可测量包括:1)空间相位斑图( spatial phase pattern); 2)全局动量/能量关系式( global momentum/ energy relation),以下分别加以叙述 2空间相位斑图 2.1基本理论及方法 按流动稳定性理论中扰动空间发展模式,设想速度脉动v(r,t)具有形式如下 v(r,t)=∑B,()eo ∑B(冂)eh"emp=∑B,(r)ehn"e"e 其中,子=-1;Re口为取实部;ω为实频率;a∈C3为频率为ω的扰动波的复波数向量;B(T)表示频 率为a的扰动波的振幅。将r点速度脉动进行时间 Fourier变化,则频率a对应的 Fourier变化系数为 Fy(r):=B, (re-ma.r, 则r点对应的系数为 F(r):=B2(7)e]be, 由此可有 ArgLF, (r)F,(ro)]:=Relay.(r-ro) Re[cy]x·(x-x)十Re[c]·(y-y)+Re[a]·(z-z) 其中,Rea]x表示波数向量实部对应x轴的分量,其他类同。上式为互谱相位的空间演化(空间相位 斑图)提供了理论基础。 经研究,对于空间相位斑图,可以得到以下结论 1)不同主控旋涡结构往往对应较为清晰的空间相位斑图。目前,所发现的较为典型的空间相位斑 图可分为“双曲线型”和“水平直线段型列0,分别对应等波速和等波数2种色散关系
谢麟等:真实开放流场空间动力学行为分析的基本思想及方法 2)实验分析中所提供的空间相位斑图都具有足够的系综平均,故所得结论较为可信。笔者发现: 大尺度结构主控的开放流场往往具有“出乎意外”的空间相位关联,亦即许多频率(包括能量不占优 的成分)对应的互谱具有确定的空间相位演化。这在一定程度上也说明上述速度脉动的空间演化形 式的合理性 2.2典型研究事例 22.1平面对称剪切流 如图2所示,在平面对称剪切流研究中,主导大尺度旋涡结构为螺旋涡结构情形的自谱、互谱及 相位空间演化,总体上相似于轴对称剪切流实验中发现的螺旋涡结构;空间相位斑图表现为双曲线型 特征。图2中平面对称剪切流中心层平均流速U1=2.5m/s,中心层二侧平均流速U2=1.25m/s. 16018020220240260280300 频率/Hz 00406081001201401601820022024026028030 频率/Hz x合 100120140160180200220240260280300 频率/Hz 注:X为流向坐标;D为各层宽度(下同) 图2中心面上的空间演化 Fig. 2 Spatial evolutions of the self-spectrum aucl cross-sepctrum on the spatial middle plane a一自谱;b-互谐;c-互谐相位(空间相位斑图) a-self-spectrum; b-Cross-spectrumi c-Phase of the cross-spectrum(spatial phase pattern) 进一步可基于相关频率(以此表征扰动波)空间相位的线性演化特征,定量确定实波数和实波速 如图3及表1所示。结论显示:双曲线型空间相位斑图的确对应等波速的色散特征。 22.2单圆柱绕流 如图4所示,低 Reynolds数单圆柱尾迹中,空间相位斑图呈现水平线型特征。据笔者所知,此形 态的空间相位斑图尚未见文献报道
第5卷第3期 2012年2月 中国科技论文在线精品论文 2.50ms2=1.25m 4 -10 4.55 图3平面对称剪切流中心面上主导频率相位的空间演化 Fig 3 Spatial evolutions of the primary frequencies phase on the spatial middle plane of the planar-symmetric shear flow 衰1平面对称剪切流中心面上主导频率相位空间演化的定量刻画 Tab. 1 Quantitative descriptions of the spatial evolutions of the primary frequencies phase on the spatial middle plane of the plana f1=100.34 1.405 10.831 2~3.75 f3=49.07 0.68 5.184 0.832 f=56.15 5.812 2~3 2fa=98.14 10. 2~3.75 2f=112.30 11.803 0.837 注:a1(0和c(0分别表示对应频率为∫的流向波数实部以及流向波速实部 0600800100012001400160018002000 频率/Hz 图4单圆柱尾迹 Reynolds数约140工况下,中心面上空间相位斑图 Fig 4 In the working condition of the wake of a circularcylinder reynolds number is about 140: the spatial phase pattern on the spatial middle plane 进一步可基于相关频率空间相位的线性演化特征,定量确定实波数和实波速,如图5及表2所示。 结果显示:脱落频率f同其一阶亚谐波f/2具有高度的波数一致性。两者相位的空间演化 Args(f)和 ArgS(fn/2)在相当宽广的流向区域X/D=20~86保持线性型演化,理论上可说明: 对于以f和f/2为表征频率的扰动的空间演化可用空间模式加以刻画。有趣的是,从功率谱反映, f/2所对应的能量要远小于f所对应的能量
Februa 谢麟等:真实开放流场空间动力学行为分析的基本思想及方法 255 CASE: Singlecylinder-lll MSP-SLP 50505050 5的 2f 4f 注:f为脱落频率 图5单圆柱尾迹中心面上主导频率相位的空间演化 ig. 5 Spatial evolutions of the primary frequencies phase on the spatial middle plane of the wake of a circular cylinde 表2单圆柱尾迹中心面上主导频率相位空间演化的定量刻画 Tab2 Quantitative descriptions of the spatial evolutions of the primary frequencies phase on the spatial middle plane of the wake of a circular cylinde 频率/Hz ,o/U X/D 20~109 f/2=14879 0.069 1.177 0.368 Cornell*学 WILLIAMSON有关低 Reynolds数尾迹的系统研究并没有涉及本文所获得的流场 的空间相位演化 3全局动量及能量关系式 3.1基本理论及方法 不可压缩流动的速度脉动形式的NSE为 要+vV8D+U,V8v+v,V8v一十是w,vv= 其中,V(r,t),U(r,t)分别为速度脉动和平均速度。将流场中位置向量为r点的速度脉动和压力脉动, 按时间展开为 Fourier系数,则有 v(r,t)=A,(r)ei"y=>A,,)etim, P(r, t)=P,(r)eiy 则速度脉动NSE在时间 Fourier空间的形式为 au 2 oPs+re aran 对应地,不可压缩流动的连续性方程在时间 Fourier空间的形式为 0
第5卷第3期 2012年2月 中国科技论文在线精品论文 全局动量关系式的基本思想为设想在点r和r间成立如下关系式 Am()=L(r,r)Am(r)+∑∑Q(r,)Ap(r)A2(r) 其中,L(r,r)和Q(r,r)分别定义为r和r间的线性传递函数和非线性传递函数。对于全局动量 关系式,现有如下认识。 1)已证明,当Ⅰ(r,υ)和(r,r)取特定的形式(由相应的偏微分方程确定),上述一般形 式的全局动量关系式即为脉动形式的NSE在时间 Fourier空间中的形式。在实验中,基于r和r点速 度脉动的 Fourier系数Ay.(r)和Ay(r),可确定传递函数I(r,r)和(r,).实验所测量的数 据自然对应真实流场对应的NSE的解,此处的解自然也对应于真实的初边值条件,故上述过程可认为 基于实验求解NSE,对比与CLD称为“实验流体动力学”( experimental fluid dynamics,EFD 2)基于速度脉动NSE在时间 Fourier空间的形式,全局动量关系式中的非线性项应仅为平方非线 性项,即为∑∑QGr,n)A()A4(D),而不出现3次或更高阶非线性项。 基于上述一般形式的全局动量关系式,可获得一般形式的全局能量关系式 I Arm 2(r)=I L,m I(r, ro). A,m I(ro)+ ∑2Re(∑Lxm(r,)Q(r,n)·[A-(r)Ap(D)A(r)}+ ∑∑Q(r,)可(r,D[A,()A2()A,(r0)A:(r :sm(r,n)+∑s(r,r)+∑Sm奥(r,n), 其中,Sm(r,r),S(r,)和S,,(r,r)分别为线性机制、线性非线性机制和非线性机制 对于线性非线性机制可以进一步研究其分布,即 S4m, g (r, To: Wa, g)=2Ref 2 Ly.m (r, ro)Q4. *(r, ro).(A,m(ro)Ae,, (ro)A. (roJ) 以及非线性机制对应的分布为 7, m t, r,ro)=2 Q4. k(r, ro)Q (r, ro[A. p (ro)AB (ro )A. (ro )A (ro)] 基于分布,可以研究NSE的非线性项v·V⑧v,在时间 Fourier空间中反映为频率对{(a,c)|ah+ a=a}在线性非线性机制以及非线性机制中的具体作用。 具体实验分析中,现也仅应用全局能力关系式,并且相关各项均采用系综平均 对于全局能量关系式,现有如下认识間。 1)理论上,当前位置和参考位置(对应的位置向量分别为r和r0),测量上并不需要时间同步, 亦即r点测量的速度脉动的 Fourier系数,对所有频率同时偏差e,不影响全局能量关系式。笔者已 提出的物理有界吸引子( physical territory attractor,PTA)定义为:流场中某一区域,其内任意点测 量所得的速度脉动或压力脉动等,波形一致仅有相位差。由此,基于时间序列的非线性分析,主要包 括相空间(相轨迹)重构、相关维数、相关熵、 Lyapunov指数(谱)等为PTA的不变量—对同 PTA保持不变。现全局能量关系式也为PTA的不变量。由此,也一定程度说明PTA的意义(需指 出,鉴于实际流场的复杂性,笔者在实验分析中仍需保持当前位置和参考位置测量的时间同步性)
谢麟等:真实开放流场空间动力学行为分析的基本思想及方法 2)类似于速度脉动的全局动量关系式的获得,基于脉动压力控制方程,可以获得一般形式的全局 压力关系式 3)目前,基于全局能量关系式的分析,主要获得:对于某一频率f对应的线性机制Sn(r,ro) 线性非线性机制SAm(r,7)和非线性机制Sm,.,(r,r)的取值,同时获得线性-非线性分布 Sp(r,r;a,a)和非线性分布所对应的分布Sm典,(r,mo).无论对于机制,还是分布,目前仅能 基于实验获得具体流场的行为,尚需着力进行从理论上获得机制及分布的某些确定性的行为。 3.2典型研究事例 3.2.1一维全局能量关系式分析事例 按目前研究,一维全局能量关系所定义的3类机制:1)线性机制SL(f;2)线性非线性机制 S(;3)非线性机制S(f,如图6所示,其间具有以下典型对比关系。 U1=4m/s,R=1.22,X/D=4.25 f2=f/2 ? so(f 00200300400500600 频率/z 频率/Hz =9m/s,S=0.3,XD5.38 400500 频率/Hz 频率/Hz 6一维全局能量关系式的典型对比关系 Fig 6 Typical comparative relations of one dimensional global energy relations 轴对称剪切流中涡环配对归并过程的能量传递机制; b一变密度圆射流中射流柱发生自激励振荡情形的能量共振机制 a-Mechanism of energy transfer in the pairing- merging process of vortex rings of axisymmetric shear flows b-Mechanism of energy resonance in self-excited oscillation process of variable density round jets
第5卷第3期 2012年2月 中国科技论文在线精品论文 1)旋涡配对归并过程对应的能量传递机制:S(f1)≈S(2),此处,f和∫2分别为归并前和 归并后频率;当7和r分别位于卷起和配对一归并区域。 2)自激励振荡对应的能量共振机制:SL(fG)+s(f)≈S(f6),且S(f),|SL(fG)|, Sa(f)|》S(f),此处,f为自激励振荡频率;当n和r均位于自激励振荡区域。 3.22二维全局能量关系式分析事例 图7为二维全局能量关系式的2个分析事例,对应 Brown-Roshko旋涡第1次及第2次归并时期 现全局能量关系式为 S(fn)=SI(灬n)+2Re$(fm)]+2Res(f)]+ 2R[(n)]+s(fn)+$(m), 其中,SBI(∫灬)为线性机制;2Res()],2ReEs(f)]为线性非线性机制;2ReS(fn)], s(f),$(∫m)均为非线性机制 @E0山= 864202468 10 12 2Re[S L (r) 口2Re[sl(f) 2Re[S L(r,)3-16 s(r) s(r s() 频率/Hz 频率/Hz 0.6 bo- 2Re[S"L(o)) -D- 2Re[s (r1 2Re[sL(r 1 ysi(r) Sep(r 频率/Hz 频率/Hz 图7平面对称剪切流的二维全局能量关系式分析 Fig. 7 Analysis of the two dimensional global energy relations of the planar-symmetric shear flow a- Browrrroshko旋涡的算一次归并;b- Brown roshko旋涡的算二次归并 The lst pairing and merging of Brown-Roshko vortices; b-The 2nd pairing and merging of Brown-Roshko vortices
February 2012 谢端等:真实开放流场空间动力学行为分析的基本思想及方法 259 由以上分析可知:对于第一阶亚谐波fm,2个非线性机制及其两者间的耦合作用有相抵的特征: 2R$(m)≈Sr(fm)+S(fm).轴对称剪切流自激励振荡频率具有类似的动力学行为。这 种“共振”的特征,拟进行进一步研究。对于第二阶亚谐波fm4上述特征不明显。 4结论 通过对轴对称剪切流、变密度圆射流、平面对称剪切流,以及单圆柱尾迹510等经典开 放流场的空间动力学行为分析,文章归纳了若干真实开放流场的动力学行为 1)有序的空间相位斑图具有以下2种形式:①双曲线型,对应波速匹配;②直线段型,对应波 数匹配 2)一维全局能量关系所定义的三类机制具有以下典型对比关系:①旋涡配对归并过程对应的能量 传递机制:S(f1)≈S(f2),此处f1和f2分别为归并前和归并后频率;当n和r分别位于卷起和 配对一归并区域;②自激励振荡对应的能量共振机制:S(G)+S(f)≈S(G),且S(fG), SL(fG)|,|Sa(G)|》S(f),此处∫o为自激励振荡频率;当和r均位于自激励振荡区域。 3)全局能量关系式中三类机制的对比关系同空间相位斑图间的关系:①有序斑图对应线性和线性 一非线性机制;②无序斑图对应非线性机制;③随空间发展,非线性机制最终占优且对应于空间相位 关联的消失。 [参考文獻]( References) [1] XIE X L, MA WW, ZHOU H L Bifurcation, transition and attractors of real open flows]. Journal of Mechanical Engineering Science, 2006, 220(3): 345-356. [2] BROZE G, HUSSAIN F. Transitions to chaos in a forced jet intermittency, tangent bifurcations and hysteresis J. Fluid mech,1996,331:37-71. [3]NARAYANAN S, HUSSAIN F. Measurements of spatiotemporal dynamics in a forced plane mixing layer[J]. J. Fluid Mech.,1996,320;71-115. [4]柴靖,麻伟巍,谢锡舞.开放剪切流空间全局动力学与空间相位森图间的关系[.力学季刊,2005,26(4): CHAIJ, MA WW, XIE X L Relations between spatial global dynamics and phase-patterns of open shear flows] Chinese Quarterly of Mechanics, 2005, 26(4). 580-588. (in Chinese) [5]尚宜廷,谢锡麟,麻伟巍,等.基于自谱及互谱实验研究二维单圆柱尾迹空间动力学行为[J].力学季刊,2010 31(3):319328 SHANG X T, XIEXL, MA WW, et al, Experimental studies on the spatial dynamical behaviors of two dimensional wakes of a circular-cylinder based on self-and cross-spectra[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2010, 31(3): [6] WILLIAMSON C HK. Three dimensional wake transition[. J. Fluid Mech., 1996, 328, 345-407. [7] WILLIAMSON C HK The natural and forced formation of spot- like'vortex dislocations'in the transition of a wake. J. Fluid Mech,1992,243:393-441 [8] XIE X L A framework of experimental studies on spatial dynamics of open flows[J]. Modern Physics Letter B 2005,19(28-29):1599160 [9] XIE X L, MA WW, ZHOU H L Coherent structures in counter-current axisymmetric shear flows]. Acta [10] MA WW, XU S R, YANG A, et al Un-pairing and pairing mechanisms of cylinders wakes at low reynolds numberlA]. Proceeding of the Fifth International Conference on Fluid Mechanics [C]. Berlin: Springer, 2007. 486-489