2013年中国力学大会：基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论研究膜的有限变形振动

2013年8月中国力学大会-2013 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 研究膜的有限变形振动 复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟史倩陈瑜 研究背景、研究思路 ·理论研究:限制于一般运动曲面上的连续介质的有限变形理论(连续介质作为二维 Riemann微分流形) 典型运动事例:膜的轴对称有限变形运动 总结

2013年8月 中国力学大会-2013 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 研究膜的有限变形振动 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 史倩 陈瑜 • 研究背景、研究思路 • 理论研究：限制于一般运动曲面上的连续介质的有限变形理论（连续介质作为二维 Riemann微分流形） • 典型运动事例 ：膜的轴对称有限变形运动 • 总结

海面油污扩散 亲水基团 水基团 匚生物膜 磷分子 嵌入腰中的蛋白质 Jun Zhang. Nature 2000 几何形态为曲面的连续介质运动 薄层运动假设(引入面密度) 膜的大变形运动示意 几何形态为曲面( Riemann流形

Jun Zhang. Nature 2000 海 面 油 污 扩 散 膜 的 大 变 形 运 动 示 意 几何形态为曲面的连续介质运动 —— 薄层运动假设（引入面密度） —— 几何形态为曲面（Riemann流形） 生物膜

有限维 xg-Crve 2(=x, t: RD DE)x ∑(x2t) n 〃gm 中一般曲面上的场论 空 →x,…x 间 (x2,) x 0Φ x Oxman p 8, 0g(=2), va(x2)=0 8, 0g'ETP(TE ,0,-40一g+1,+2(0)brn8g Φ=R.Φ+Rd. where R b-b b:vb=v b 此处ⅴΦ d =ax(x2,)+中-中,=(x,1)g:88(x2)

            2 2 = , = i j i j p q p p q j i j i i i t t i j i i t i j q p j q pt j qj p t i qi p j pi j pi qj t q j i j i j t t q p j p j p qj j q x g g x x g g T T x x x x b b b b g g b b b n g x b b b x                                                                                                    j j i i pi q p qi j g n b b b b n n               有 限 维 Euclid 空 间 中 一 般 曲 面 上 的 场 论       , : - = , , , i i i t s i s s s q p j p q j tqp j j qp t tqp q tp tq p q ps p qs i i i s i i i j j l j ls j lj s j i l R R where R b b b b b b x t x t g g x t x                                                         ； 此处

初始物理构形ⅳ 几何形态为曲面的 曲面方程:2{x) 当前物理构形n2连续介质之有限变 曲面方程:X(x, 形运动的构形构造 曲面方程 (x2,1):RPD23x2= 运动刻画x2=x2(52,) 初始参数构形V 当前参数构形V →2(x,1) xr?/(x2,)∈R 变形梯度 (5+△,)-2(5,1)(x2,1)(5,1) 质点速度“年低 物质导数)=出(x()+式 A(9Σ 0∑ g v∞d (x2,)V8 at at

                          , , , , , , , , i A i A i A A i B i A A i Bx t t x t t x x t g x t G x G x x t g x t G x                                                                                              1 1 +1 +1 , : , , p p p p p x x t D x x X x t X X x t                               , , , ,       i V x t t x g x t t i t                              , , , , , , , , s s s s t x t t x x t t t t x x t x g x t V x t t t t                                                                     变形梯度 质点速度 物质导数 曲面方程 几何形态为曲面的 连续介质之有限变 形运动的构形构造 F 

限①当前一初始物理构形中有向线元、面元间的转换 于 dc e dc 2|∑a∑ λ)=F det f. 形 (2,)n(, d 刻般 画运②当前一初始物理构形中有向线元、面元模间的转换 动 按曲 面 dc dc dc ∑0∑ A)F·F ∑a∑ det f. 郭仲衡先生书著中有限 d元 an au on ou 的 连 当前物理构形中有向线元、面元的物质导数 续介质的 d d ax(4)=a(x),此处LeeV(x 变有 形限 ∑0∑ (,)=B 2a∑o∑ 理变 论形 理④当前物理构形中有向线元、面元模的物质导数 平论 III+L 发 Z.D.2)de 展 d d d R3 a∑aΣ ∑ x.(, u =detF.ax a元a an a (=a a/ du

① 当前－初始物理构形中有向线元、面元间的转换     t o d C d C F d d              3 , det , , t t o o t       F n                       ② 当前－初始物理构形中有向线元、面元模间的转换       2 * t o o d C d C d C F F d d d                       3 3 , det , t t o o     F                      ③ 当前物理构形中有向线元、面元的物质导数     t t d C d C L d d        ，此处 L V x t  ,         , , : ,      t t t t t t        I V B                                                             ④ 当前物理构形中有向线元、面元模的物质导数       3 3 3 , det , , t t o o t t        F                                        3 3 3 * : 2 t t t t t t t t d C L L d C d C D d d d                                      限 制 于 一 般 运 动 曲 面 上 的 连 续 介 质 的 有 限 变 形 理 论 —— 变 形 刻 画 （ 按 郭 仲 衡 先 生 书 著 中 有 限 变 形 理 论 做 平 行 发 展 ）

限第二类输运定理 制 输于 运 线输运 1 定般 d (4)d=「*r+j(r)n 理运 面输运J+nlo *ndo+Φ*B.ndo 面上的连 的第一类输运定理 续 个线输运 ∫d=aJaa(4)d2=「d+∫ 质的 而偷运2d=边0B2(小如=如h+ 变形理论 基于输运方程获得 质量守恒的积分方程aJdo=p+pd=0,会v

限 制 于 一 般 运 动 曲 面 上 的 连 续 介 质 的 有 限 变 形 理 论 —— 输 运 定 理   t t t t C d d d C dl d dl L dl dt dt d                              线输运     * * * t t t d nd nd B n d dt                    面输运      3 , t t t t t D d d d d d d dt dt                             面输运       3 t t t t C C C d d d C dl d dl D dl dt dt d                        线输运     0, t t V d d d dt                          基于输运方程获得 质量守恒的积分方程 第二类输运定理 第一类输运定理

控 限制于 质量守恒方程 基于输运方程获得 方般Euar型积分方程 程 !mo+p)1=0,B会v Buar型质量守恒微分方程展开形式 运动曲面上的连续介质的有限变形理论 b(x,)+2an(ax,0)+p(V-BV)=0 基于变形刻画获得 Lagrange型微分方程 pe do 0∑a∑ paxX×|(,p)d plaE a> 0入 ( u)do d Pax ou(,u)do Lagrange型质量守恒微分方程: pF|=p(5)

限 制 于 一 般 运 动 曲 面 上 的 连 续 介 质 的 有 限 变 形 理 论 —— 控 制 方 程 质量守恒方程 基于输运方程获得 Eular型积分方程 基于变形刻画获得 Lagrange型微分方程 0, t t V d d d dt                          Eular型质量守恒微分方程展开形式： Lagrange型质量守恒微分方程：

三维Bli空间中一般曲面上的场论有关结果」 第一类广义 Stokes公式 dro-①dl=nxv|o-d 第二类广义 Stokes公式(本组) ∮(xn0-d=(v。-+mn-)do 殷雅俊等 一类梯度算子V:=8的:=B.,meL=kE;H=-Rn=、K°dtg det ∫一=手(xn)G。MJ(n)dn一M=手rG= ∫。-=手(xn)。=0k(-)dn一=手x=M 注:若干关系式(本文)[^为b]代数余子式 i=0: 结合第一、第二类广义 Stokes公式可得上述二类积分关系式

  n dl Hn d                            1 det ˆ ˆ , , : ; : , : det ˆ 2 ij l ij l l j i G l G j G i b g L g wher d n G dl H n d n d G d d n L dl K n d e L K L H n b K x x g                                                                                   二类梯度算子 － － ： ： l n d L dl                      第二类广义Stokes公式（本组） 殷雅俊等 三维 Euclid空间中一般曲面上的场论有关结果   dl n d                第一类广义Stokes公式     3 3 ˆ 0; Stokes kl kl kl kl ss kl il ks ls l sl sk kl kl ss kl b b b L e b e                     注：若干关系式（本文） 结合第一、第二类广义 公式可得上述二 为 的代 类积分 数余子式 关系式

内蕴形式广义 Stokes公式及其在控制方程中的应用 Xie et al. Science 第一类广义 Stokes公式 China G2013 o-④d=|n×Vo-Φd 第二类广义 Stokes公式(本组) ∮(xm)-d=v。-+mn。-)d 任意合法的运算 动量守恒]Vdn=Fm+Fm+Fm+△Pn+pf ⅴde dt dt (pV)+epv do=/ pado Fsur:=pr×nd=y/Hnd T×(pn)dl Vp-pHn do F U7S 1(×n):(V∞V)d

  n dl Hn d                    第二类广义Stokes公式（本组） 内蕴形式广义Stokes公式及其在控制方程中的应用   dl n d                第一类广义Stokes公式 动量守恒 任意合法的运算 Xie et al. Science China G,2013

限制 动量守恒 控于考虑引入曲面应力 方般 程运 t=tg2②g1+tag2n 动 面考虑表面张量、内压力以及内摩擦情形,曲面应力对应的表达式为 上的连续介质的有限变形理论 的t=(-pI+2(vsv+vav (V, Vi+ViV-2Vbij)9'og'+bsiV'g'on+bs; V'nog 对动量、动量矩以及能量守恒无实际贡献 动量守恒的积分表达式 d dt/ pv do=f,(rxn).td+fdo 微分方程=V·t+Hn·t+v·f

限制于一般运动曲面上的连续介质的有限变形理论 —— 控制方程 动量守恒