证明设A1+1()是A()的任一i+1阶子式,按第一行展开,则其每一展开项都是一个多项式与4() 个i阶子式的乘积.由于D(入)是所有i阶子式的公因式,则D2()A1+1()).因此D4(入)|D2+1()).口 定义73.2设D1(),D2(,…D1()是4()的行列式因子,则 91(入)=D1(A),91( Di(A) D1-1() 称为A(从)的不变因子 显然,A-矩阵的行列式因子和不变因子互相唯一确定,例1中不变因子分别为1,A-1,(入+ 1)(A-1;1,A-1,(X+1)(X-1);1,1,(X+1)(A-1)2.例2中n阶A-矩阵的法式的不变因子 为d1(入),d2(),…,d(入) 为了证明行列式因子,不变因子都是A一矩阵在相抵关系下的不变量,先证明如下结论 定理731相抵的入一矩阵有相同的行列式因子 证明只需证明行列式因子在任意λ一矩阵的初等变换下保持不变即可. 互换变换.交换A(从)的两行得到B(入),则A()和B()的s阶子式最多改变一个符号,因为行列 式因子首项系数为1,所以保持不变 倍法变换4()的某一行乘以非零常数得到B(A),则A(和B(从)的s阶子式与变换后的i阶子 式最多差一个非零常数,因为行列式因子首项系数为1,所以保持不变 消法变换.A(入)的第j行乘以f(入)加到第i行得到B(入).如果B(A)的s阶子式不含第i行, 或同时含第讠行和第j行,它等于A(A)的相应的一个s阶子式,如果B(A)的s阶子式含第i行但不含 第j行,它等于A(入)的相应的一个s阶子式加减f()乘以A()的另一个s阶子式,所以不影响所有 s阶子式的最大公因式 注入-矩阵的法式唯 定理732对于n阶入-矩阵A()和B(入),下列叙述是等价的 (1)A(X)≈B(); (2)A()和B(A)有相同的行列式因子 (3)A()和B()有相同的不变因子 (4)A()和B()有相同的法式 证明设A()≈B(入),根据定理73.1,A(A)和B(A)有相同的行列式因子,因而有相同的不变因 子.因为法式由不变因子唯一确定,所以A(和B(入)有相同的法式.而两个法式相同的入-矩阵是相抵 的 设A是数域F上n阶方阵,多项式矩阵AE-A称为矩阵A的特征矩阵ME-A的行列式因子 和不变因子分别称为A的行列式因子和不变因子 推论73.1对于n阶方阵A和B,下列叙述是等价的 (1)A相似于 (2)A和B有相同的行列式因子; (3)A和B有相同的不变因子 利用不变因子,我们可以构造n阶方阵的 Frobenius标准形XK v Ai+1(λ) z A(λ) r i+1 Q<y￾#.W￾-me.W%z5)y) A(λ) 5 i Q<yD%( Di(λ) z￾& i Q<y7 y￾- Di(λ)|Ai+1(λ).  Di(λ)|Di+1(λ). ✷ BS 7.3.2 v D1(λ), D2(λ), · · ·, Dr(λ) z A(λ) `y <￾- g1(λ) = D1(λ), gi(λ) = Di(λ) Di−1(λ) , i = 2, 3, · · · , r.  A(λ)  A?T[. q￾ λ− U1`y <> <Æp$\ 1 : </  1, λ − 1,(λ + 1)(λ − 1); 1, λ − 1,(λ + 1)(λ − 1); 1, 1,(λ + 1)(λ − 1)2 . \ 2 : n Q λ− U1+y <  d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ). _3i`y <￾ <%z λ− U1+Æ!: ^￾3is S BG 7.3.1 Æ! λ− U1&Æ`y < XK 93i`y <+r λ− U1 B FX BBMB A(λ) ℄ B(λ), - A(λ) > B(λ)  s Q<y>)251=￾ ` y <{ } 1, ￾ +B A(λ) k.a} B(λ), - A(λ) > B(λ)  s Q<y)B? i Q< y>)5.a}￾ `y <{ } 1, ￾ +B A(λ) # j  f(λ) I# i  B(λ). s; B(λ)  s Q<y<# i ￾ Cw<# i ># j ￾
( A(λ) Æ"5 s Q<ys; B(λ)  s Q<y<# i < # j ￾
( A(λ) Æ"5 s Q<yIK f(λ)  A(λ) b5 s Q<y￾#￾& s Q<y>7 y ✷ Y λ− U1+y BG 7.3.2 '( n Q λ− U1 A(λ) > B(λ), `|z J (1) A(λ) ≃ B(λ); (2) A(λ) > B(λ) &Æ`y < (3) A(λ) > B(λ) &Æ < (4) A(λ) > B(λ) &Æ+y XK v A(λ) ≃ B(λ), 6V$Z 7.3.1, A(λ) > B(λ) &Æ`y <￾ *&Æ < +y% <p$￾￾ A(λ) > B(λ) &Æ+y*℄5+yÆ λ− U1zÆ!  ✷ v A z}* F u n Q-1￾)yU1 λE − A U1 A  MWEV. λE − A `y < > </  A  RILT[ > A?T[. OJ 7.3.1 '( n Q-1 A > B, `|z J (1) A Æ~( B; (2) A > B &Æ`y < (3) A > B &Æ < [$ <￾gX8, n Q-1 Frobenius ; 2