在以下各题中,除题目中已有说明的外,可测函数的积分都是关于给定的测度空间 (X,,4)的 1设F(x=1,x21.是由F导出的LS测度计算fJd其中 f(x)=aleo. )+bl+Cl 2.设A1,…,A,是[0,1中的n个 Lebesgue可测集.若每个x∈[O,1至少于这n 个集中的q个,则必存在某个A,使得m(4)≥ 3.设f是[0,2]上的L可测函数并且 ∫(x)(+1(x)t<+x 证明∫是[0,2m]上的L可积函数 4.设和H2是可测空间(X,)上的两个测度.证明 (i).1+H2是(X,)上的测度 (i).若关于1和H2都可积,则关于1+42可积,并且 f(1+2)=f1+| 5.设为可测函数.若存在正测度集A,使得当x∈A时,f(x)>0,则 fau>0 6.证明:()设为可测函数,若对每个可测集A,均有fax≥0,则 f≥0ae. (i).设f和g是可积函数并且对任意可测集A,成立 f1=|.gd.则f=ga 7.设()为可积函数列∫为可测函数若imJn-d=0.则∫可积 8.设f,f(m≥1)为可测函数、若Im∫Gn-fd=0.则Jn→f 9.设∫为有限测度空间上的可测函数.则∫可积的充要条件是对任给的E>0,存 在k>0,使得 wkk, Idu<s125 习 题 四 在以下各题中, 除题目中已有说明的外, 可测函数的积分都是关于给定的测度空间 (X, F ,µ) 的. 1. 设    ≥ < = , 1. 0, 1, ( ) 2 x x x F x µ F 是由 F 导出的 L-S 测度. 计算 (0, ) . F f dµ ∫ +∞ 其中 ( ) . ( ,1) {1} (1,2] f x = aI + bI + cI −∞ 2. 设 A An , , 1 " 是[0, 1]中的 n 个 Lebesgue 可测集. 若每个 x ∈[0, 1]至少于这 n 个集中的 q 个, 则必存在某个 , Ai 使得 ( ) . n q m Ai ≥ 3. 设 f 是[0, 2π ]上的 L 可测函数并且 2 0 f x f x dx ( ) ln(1 ( ) ) . π ∫ + < +∞ 证明 f 是[0, 2π ]上的 L 可积函数. 4. 设 µ1和 µ 2 是可测空间(X , F ) 上的两个测度. 证明 (i). µ1 + µ 2 是(X, F ) 上的测度. (ii). 若 f关于 µ1和 µ 2 都可积, 则 f关于 µ1 + µ 2 可积, 并且 ∫ ∫ ∫ ( + ) = + . µ1 µ 2 µ1 µ 2 fd fd fd 5. 设 f为可测函数 . 若存在正测度集 A, 使得当 x ∈ A 时 , f (x) > 0, 则 0. A ∫ fdµ > 6. 证 明 : (i). 设 f为可测函数 . 若对每个可测集 A, 均 有 0, A ∫ f dx ≥ 则 f ≥ 0 a.e. (ii). 设 f 和 g 是可积函数并且对任意可测集 A , 成 立 . A A fd gd µ = µ ∫ ∫ 则 f = g a.e.. 7. 设( ) n f 为可积函数列, f 为可测函数. 若 lim − = 0. ∫ →∞ f n f dµ n 则 f 可积. 8. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数 . 若 lim − = 0, ∫ →∞ f n f dµ n 则 f f . n →µ 9. 设 f 为有限测度空间上的可测函数. 则 f 可积的充要条件是对任给的ε > 0, 存 在k > 0, 使得 { } . f k f dµ ε ≥ ∫ <