提示:利用积分的绝对连续性 10.设∫为可测函数证明∫可积的必有条件是 ∑n({n≤(<n+l)< 当(X)<+∞时,上述条件也是充分条件 11.若∫为可积函数则limm({f2m)=0 12.设∫为有限测度空间上的可测函数.则∫可积的充要条件是 ∑(≥n})<+0 13.设∫为有限测度空间上的可测函数.则∫可积的充要条件是 ∑2"(/≥2"})<+∞ 14.设∫为有限测度空间上的可测函数,并且存在M>0和a>1,使得 H(2)≤m,A>0 证明∫可积 15.设f,n(n≥1)为可积函数.若对每个可测集A均有 fdu≤J.Jm+d,n≥1 并且 lim.fnd=fd,则f=>f 16设,(n21为可测函数f→.若spn<+a,则厂可积 17.设f,n(n≥1)为可测函数,Jn-B>f.若存在可积函数g,使得 sgae(n≥1),则limJ-fd=0 18设}是可测函数列并且∑<+则∑,可积并且 ∫∑4=∑∫f,d 9.设∫,fn(n≥1)为非负可测函数列,厂n—>f.证明 ∫ fds lim f,4 20设级数∑a绝对收敛证明∑a可以表示成(N,m(N)A)上一个可积函数的126 提示: 利用积分的绝对连续性. 10. 设 f 为可测函数. 证明 f 可积的必有条件是 ({ 1}) . 1 ∑ ≤ < + < +∞ ∞ n= nµ n f n 当 µ(X ) < +∞时, 上述条件也是充分条件. 11. 若 f 为可积函数. 则 lim ({ ≥ }) = 0. →+∞ n f n n µ 12. 设 f 为有限测度空间上的可测函数. 则 f 可积的充要条件是 ({ }) . 1 ∑ ≥ < +∞ ∞ n= µ f n 13. 设 f 为有限测度空间上的可测函数. 则 f 可积的充要条件是 2 ({ 2 }) . 0 ∑ ≥ < +∞ ∞ n= n n µ f 14. 设 f 为有限测度空间上的可测函数, 并且存在 M > 0和α > 1, 使得 ({ ≥ }) ≤ , λ > 0. λ µ λ α M f 证明 f 可积. 15. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可积函数 . 若对每个可测集 A 均 有 1 , 1, n n A A ∫ ∫ fd f d n µ µ ≤ ≥ + 并且 lim , n n A A f d fd µ µ →+∞ ∫ ∫ = 则 . a.e. f f n → 16. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数. . a.e. f f n → 若 ∫ < +∞ ≥ sup , 1 f n dµ n 则 f 可积. 17. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数 , . a.e. f f n → 若存在可积函数 g , 使 得 f ≤ g a.e.(n ≥ 1), n 则 lim − = 0. ∫ →+∞ f n f dµ n 18. 设{ }n f 是可测函数列, 并且∑∫ ∞ = < +∞ 1 . n f n dµ 则∑ ∞ n=1 n f 可积, 并且 . 1 1 µ ∑ µ ∫∑ ∫ ∞ = ∞ = = n n n f n d f d 19. 设 f , f (n ≥1) n 为非负可测函数列, f f . n →µ 证明 ∫ ∫ →∞ f dµ ≤ lim f dµ. n n 20. 设级数 ∑ ∞ n=1 an 绝对收敛. 证明 ∑ ∞ n=1 an 可以表示成(N,P (N),µ) 上一个可积函数的