积分 21.设∫,fn(n≥1)为非负可积函数 Nr ∫, m∫d=jfdu,证明:对任意可测集Ecx,成立 limf,d, fd 提示注意0≤-fm|+f-fn≤2f(≥1) 22.举例说明在 Fatou引理中,不等号可能成立 23.设{An}是一列可测集并且∑(A)<+.证明对几乎所有x∈x,x只属于 有限个An 24.设∫是有限测度空间X上的可测函数,c≤f(x)≤d,x∈X,对任意n≥1, 设c=y<y1<…<yn=d将[c,d]分成n个长度相等的小区间.证明 ∫=mn∑y(≤f<} (试将上式与 Riemann积分的定义比较 25.设/}是有限测度空间(X,,)上的可测函数列证明∫ 当且仅当∫。—“>0 26.设∫是[0,+∞)上的L可积函数,并且∫在[0,+∞)上一致连续.证明 f(x)→>0(x→+∞) 27.设∫是[0,1上的L可积函数若对任意c(0≤c≤1),总有 ∫。fx=0,则f=0a 28.设∫在[a,b上 Riemann可积,g是R上的连续函数证明g(f(x)在{a,b] 上 Riemann可积 29.证明f(x)=e在[0,+∞)上L可积,并且求其L积分 30.证明 Riemann函数 若 m 互质 f(x) 0若x是无理数 在[0,1上是 Riemann可积的127 积分. 21. 设 f , f (n ≥ 1) n 为非负可积函数 , 满 足 , a.e. f f n → ∫ ∫ = →+∞ lim f dµ f dµ, n n . 证明: 对任意可测集 E ⊂ X , 成立 lim . n n E E f d fd µ µ →+∞ ∫ = ∫ 提示: 注意0 ≤ f − f + f − f ≤ 2 f (n ≥ 1). n n 22. 举例说明在 Fatou 引理中, 不等号可能成立. 23. 设{ } An 是一列可测集并且 ( ) . 1 ∑ < +∞ ∞ n= µ An 证明对几乎所有 x ∈ X , x 只属于 有限个 . An 24. 设 f 是有限测度空间 X 上的可测函数, c ≤ f (x) ≤ d, x ∈ X. 对任意 n ≥ 1, 设c = y0 < y1 < " < yn = d 将[c,d] 分成n 个长度相等的小区间. 证明 lim ({ }). 1 ∫ ∑ 1 1 = − − →∞ = ≤ < n i i i i n fdµ y µ y f y (试将上式与 Riemann 积分的定义比较). 25. 设{ }n f 是有限测度空间(X , F ,µ) 上的可测函数列, 证明 ∫ → + 0 1 dµ f f n n 当且仅当 →0. µ n f 26. 设 f 是 [0, + ∞) 上的 L 可积函数, 并且 f 在 [0, + ∞) 上一致连续. 证明 f (x) → 0 (x → +∞). 27. 设 f 是 [0, 1] 上 的 L 可积函数 . 若对任意 c(0 ≤ c ≤ 1) , 总 有 [0, ] 0, c ∫ f dx = 则 f = 0 a.e. 28. 设 f 在[a,b]上 Riemann 可积, g 是 1 R 上的连续函数. 证明 g( f (x)) 在[a,b] 上 Riemann 可积. 29. 证明 x f x e − ( ) = 在[0, + ∞) 上 L 可积, 并且求其 L 积分. 30. 证明 Riemann 函数      = = . , 0 , , 1 ( ) 若 是无理数 若 互质 x m n n m x n f x 在[0, 1]上是 Riemann 可积的