31.当a>0为何值时,函数f(x)=-在,+∞)上是L可积 32.设K为[0,1中的 Cantor集.当x∈K时定义f(x)=x2,当x属于[0,1-K 中长为的开区间时定义f(x)=n计算|f(x)d 33.设∫和g在[a,b]上 Riemann可积,并且在[a,b]的一个稠密子集上相等.证 明∫和g在[a,b上积分相等 34.设∫是R上的L可积函数,f(0)=0,∫(0)存在并且有限证明在 R上是L可积的 35.计算厂f(x)tx,其中 x3若x为有理数 f(x) 若x为无理数 36.设∫是[O,1]上的单调增加函数,E是[0,1中的L可测集并且m(E)=t.证 明f(x)xs|f(x)tx 37.用 Lebesgue积分的性质证明 ∫,吗=∑-y (2n-1) 38.设f(x)=(-1)n x≤-,n=1,2,…,∫(0)=0.证明∫在[O,1 上是广义 Riemann可积的,但不是 Lebesgue可积的 39.设a<c<b,F(x)=le+x(x)又设∫是la,b]上的有界实值函数证明在 a,b]上关于FLS可积当且仅当∫在x=c连续.并且当∫在x=c连续时 f(xdF(x)=f(c) 40.设∫在[a-h,b+h是 Lebesgue可积的.证明 lim If(x+)f(xdx=0 提示:利用定理452 41.设∫是R上的L可积函数,g是R上的有界L可测函数证明函数 10)=m(x+)g(xk,t∈R 是R上的连续函数128 31. 当α > 0 为何值时, 函数 α x x f x sin ( ) = 在[1, + ∞) 上是 L 可积的. 32. 设 K 为[0, 1]中的 Cantor 集. 当 x ∈ K 时定义 ( ) , 2 f x = x 当 x 属于[0, 1] − K 中长为 n 3 1 的开区间时定义 . 2 1 ( ) n f x = 计算 1 0 f () . x dx ∫ 33. 设 f 和 g 在[a,b]上 Riemann 可积, 并且在[a,b]的一个稠密子集上相等. 证 明 f 和 g 在[a,b]上积分相等. 34. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, f (0) = 0, f ′(0)存在并且有限. 证明 x f (x) 在 1 R 上是 L 可积的. 35. 计算 1 0 f () , x dx ∫ 其中      = . , 1 ( ) 3 若 为无理数 若 为有理数 x x x x f x 36. 设 f 是[0, 1]上的单调增加函数, E 是[0, 1]中的 L 可测集并且 m(E) = t. 证 明 0 () () . t E ∫ ∫ f x dx f x dx ≤ 37. 用 Lebesgue 积分的性质证明 1 2 0 1 arctg 1 ( 1) . (2 1) n n x dx x n ∞ = = − ∑ − ∫ 38. 设 ( ) ( 1) , 1 f x n n+ = − , 1, 2, , 1 1 1 < ≤ = " + n n x n f (0) = 0. 证明 f 在[0, 1] 上是广义 Riemann 可积的, 但不是 Lebesgue 可积的. 39. 设a < c < b, ( ) ( ). [ , ) F x I x = c +∞ 又设 f 是[a,b]上的有界实值函数. 证明在 [a,b] 上关于 F L-S 可积当且仅当 f 在 x = c 连 续 . 并且当 f 在 x = c 连续时 , ( ) ( ) ( ). b a ∫ f x dF x f c = 40. 设 f 在[a − h, b + h] 是 Lebesgue 可积的. 证明 0 lim ( ) ( ) 0. b t a f x t f x dx → ∫ +− = 提示:利用定理 4.5.2. 41. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, g 是 1 R 上的有界 L 可测函数. 证明函数 1 () ( ) ( ) , R I t f x t g x dx = + ∫ t ∈ . 1 R 是 1 R 上的连续函数