42.设∫是R上的可积函数,并且对任意具有紧支集的连续函数g,有 f(x)g(x)dx=0.证明∫=0ae 43.设E,F,En∈XxY,n≥1,x∈X.证明 (1)(UEn)2=U(En) (2)(E-F)2=E2-F2 44.设(X,)和(Y,)是两个可测空间,f(x)和g(y)分别是(X,A)和 (,)上的可测函数.证明h(x,y)=f(x)g(y)是(XxY,×)上的可测函数 45.设(X,,A)是一完备的a-有限的测度空间,(R,M(R),m)是一维 L测度空间,f(x,1)是(XxR,0m,Xm)上的可测函数.若对几乎所有t∈R f(,1)是-ae.有限的,则对几乎所有x∈X,f(x,)是m-ae.有限的 提示令A={(x,1):(x,1=+∞},则{t:(t,x)=+}=A1,考虑(mxA) 46.设(X,4)和(H,B)是两个可测空间,4是(XxY,4×)上的测度令 1(A)=(A×Y),A∈A 证明:(1)山1是(X,上的测度(2)若f(x)是(x,4)上的可积函数,则 f(x)d f(x)d 提示:(2)先考虑特征函数 f(x)和g(y)分别是σ-有限测度空间(X,A,4)和 (,,p)上的可积函数证明h(x,y)=f(x)g(y)是(X×Y,A×B,4xv)上的可积函数, 并且 fdAH1·gdk2 48.用Fbi定理证明当am20或者∑∑{am<+时成立 mel rel 49.证明 0+∞)×(0+∞)(1+y)(1+x2y)2 50.计算I= an'-e-) dx(0<a<b) 51.设f(xy)=2 (x,y)≠(0,0),f(0,0)=0.证明129 42. 设 f 是 1 R 上的可积函数 , 并且对任意具有紧支集的连续函数 g , 有 1 ( ) ( ) 0. R ∫ f x g x dx = 证明 f = 0 a.e.. 43. 设 E, F, E X Y, n 1, x X. n ∈ × ≥ ∈ 证明 (2) ( ) . (1) ( ) ( ) . 1 1 x x x n x n x n n E F E F E E − = − = ∞ = ∞ = ∪ ∪ 44. 设 (X, A) 和 (Y, B) 是两个可测空间 , f (x) 和 g( y) 分别是 (X, A) 和 (Y, B) 上的可测函数. 证明h(x, y) = f (x)g( y) 是(X ×Y, A ×B) 上的可测函数. 45. 设 (X , F ,µ) 是一完备的 σ − 有限的测度空间, ( , ( ), ) 1 1 R M R m 是一维 L 测度空间, f (x,t) 是 , , ) 1 ( X × R M µ×m µ × m 上的可测函数. 若对几乎所有 t ∈ 1 R , f (⋅,t) 是 µ − a.e.有 限的, 则对几乎所有 x ∈ X , f (x,⋅) 是m − a.e. 有限的. 提示: 令 A = {(x,t) : f (x,t) = +∞}, 则{ : ( , ) } . Ax t f t x = +∞ = 考虑(m× µ)(A). 46. 设(X, A) 和(Y, B) 是两个可测空间, µ 是(X ×Y, A ×B) 上的测度.令 ( ) ( ), . µ1 A = µ A×Y A∈ A 证明: (1) µ1是(X , A) 上的测度. (2) 若 f (x) 是(X , A) 上的可积函数, 则 1 () () . X XY f xd f xd µ µ × ∫ ∫ = 提示: (2)先考虑特征函数. 47. 设 f (x) 和 g( y) 分别是 σ − 有限测度空间 (X, A,µ) 和 (Y, B,µ) 上的可积函数.证明 h(x, y) = f (x)g( y) 是 (X ×Y, A ×B,µ ×ν ) 上的可积函数, 并且 12 1 2 . ( ) XY X Y hd f d gd µ µ µµ × ×= ⋅ ∫ ∫∫ . 48. 用 Fubini 定理证明当 amn ≥ 0 或者∑∑ ∞ = ∞ = < +∞ n m 1 1 amn 时,成立 . 1 1 1 1 ∑∑ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = m n mn n m amn a 49. 证明 2 2 [0, ) [0, ) . (1 )(1 ) 2 dxdy +∞ × +∞ y xy = + + ∫ π 50. 计算 2 2 0 1 ( ) (0 ). ax bx I e e dx a b x +∞ − − = − << ∫ 51. 设 f (x, y) = , ( ) 2 2 2 2 2 x y x y + − (x, y) ≠ (0,0), f (0,0) = 0. 证明