f(x, y)dx dy f(x, y)dy dx 52.计算积分I 厂,∫。ye-dody,并且由此证明 √z dh 53.设f(x,y)在[0,1×[0,1上L可积.证明 ∫厂f(xy地=厂∫(xyk 54.设∫在[0,a]上L可积,g(x)= d.证明|ax=|ahx 提示g()=/(O 55.设E是R"上的L可测集,∫是E上有界的L可测函数,并且存在M>0和 0<a<1,使得 m({x∈E,(x)>4})<n,>0 证明∫在E上L可积 56.设∫是R上的L可积函数,a>0.证明→f(mx)→>0ae 提示先证明f六1 57.设(X,)和(,③)是两个可测空间,∫是X到Y的映射.使得对任意 B∈B,都有∫-(B)∈A(称∫是(X,A)到(Y,)的可测映射)又设若是(X,4)上 的测度.证明 (1).(逆像测度)集函数 1(B)=A(f-(B),B∈B 是(Y,)上的测度(称之为关于∫的逆像测度) (i).(积分的变量代换公式)若g是(Y,)上的可测函数,则成立 g()du=gd 上式表示当等式一边的积分存在时,等式另一边的积分也存在,并且两边相等 提示:先对g=lB是特征函数证明 58.设{n}是可测函数列称{n}是一致可积的,若 lim up Ild=o130 11 11 00 00 f (, ) (, ) . x y dx dy f x y dy dx        ≠ ∫∫ ∫∫    52. 计算积分 2 2 (1 ) 0 0 x y I ye dxdy +∞ +∞ − + = ∫ ∫ , 并且由此证明 2 0 . 2 x e dx +∞ − π ∫ = 53. 设 f (x, y) 在[0,1]×[0,1]上 L 可积. 证明 1 11 00 0 (, ) (, ) . x y ∫∫ ∫∫ dx f x y dy dy f x y dx = 54. 设 f 在 [0, a] 上 L 可 积 , ( ) () . a x f t g x dt t = ∫ 证 明 0 0 . a a ∫ gdx fdx = ∫ . 提示: [, ] 0 ( ) ( ) () . a x a f t g x I t dt t = ∫ 55. 设 E 是 n R 上的 L 可测集, f 是 E 上有界的 L 可测函数, 并且存在 M > 0和 0 < α < 1, 使得 ({ , ( ) }) , α λ λ M m x ∈ E f x > < λ > 0. 证明 f 在 E 上 L 可积. 56. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, α > 0. 证明 ( ) 0 a.e.. 1 f nx → nα 提示: 先证明 1 1 1 () . R n f nx dx nα ∞ = ∫ ∑ < +∞ 57. 设 (X , A) 和 (Y, B) 是两个可测空间, f 是 X 到 Y 的映射. 使得对任意 B ∈B, 都有 ∈ A − ( ) 1 f B (称 f 是(X , A) 到(Y, B) 的可测映射). 又设若 µ 是(X , A) 上 的测度. 证明: (i).(逆像测度)集函数 = ∈B − (B) ( f (B)), B 1 ν µ 是(Y, B) 上的测度(称之为 µ 关于 f 的逆像测度). (ii).(积分的变量代换公式) 若 g 是(Y, B) 上的可测函数, 则成立 () . X Y g f d gd µ = ν ∫ ∫ 上式表示当等式一边的积分存在时, 等式另一边的积分也存在, 并且两边相等. 提示: 先对 B g = I 是特征函数证明. 58. 设{ }n f 是可测函数列. 称{ }n f 是一致可积的, 若 { } 1 lim sup 0. n n k f k n f dµ →∞ ≥ > ∫ =