证明:{fn}是一致可积的当且仅当{n}满足 (i).{fn}是一致积分绝对连续的,即对任意E>0,存在6>0,使得当A∈, (4)<6时,成立Jd<E(2D) )}是一致积分有界的,即pJn<+ 59.设{fn}是可测函数列证明若{fn}满足以下条件之 ()存在可积函数g,使得f川≤gae,n≥1 )存在p>1使得s4<+、则}是一致可积的 60.设(X)<+∞,{n}是可积函数列,∫为可测函数.证明: ()若{n}是一致可积的并且f一→f,则∫是可积的并且imn-/(d=0 )若f可积并且mn-d=0,则n}是一致可积的并且f一→f (in).利用这个结果,给出当八(X)<+∞时控制收敛定理的另一个证明 提示:利用定理3.25, Fatou引理和等式 ∫-fdu≤J-ld+∫Md+JMda 61.叙述并且证明关于复值可测函数积分的控制收敛定理.131 证明: { }n f 是一致可积的当且仅当{ }n f 满足 (i). { }n f 是一致积分绝对连续的, 即对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使得当 A∈F , µ(A) < δ 时, 成立 ( 1). n A ∫ fd n µ ε < ≥ ( } ii). { n f 是一致积分有界的, 即sup . 1 < +∞ ∫ ≥ f n dµ n 59. 设{ }n f 是可测函数列. 证明若{ }n f 满足以下条件之一: (i). 存在可积函数 g, 使得 f ≤ g a.e. , n ≥ 1. n (ii). 存在 p > 1使得 ∫ < +∞ ≥ sup . 1 f dµ p n n 则{ }n f 是一致可积的. 60. 设 µ(X ) < +∞, { }n f 是可积函数列, f 为可测函数. 证明: (i).若{ }n f 是一致可积的并且 f f , n →µ 则 f 是可积的并且 ∫ − = →∞ lim f f dµ 0. n n (ii).若 f 可积并且 ∫ − = →∞ lim f f dµ 0, n n 则{ }n f 是一致可积的并且 f f . n →µ (iii).利用这个结果, 给出当 µ(X ) < +∞时控制收敛定理的另一个证明. 提示: 利用定理 3.2.5, Fatou 引理和等式 . nn n C C A AA f −≤−+ + fd f fd f d fd µ µ µµ ∫ ∫ ∫∫ 61. 叙述并且证明关于复值可测函数积分的控制收敛定理