第一章集合与映射 习题1.1集合 1.证明由n个元素组成的集合7={a1,a2,…,an}有2"个子集。 解由k个元素组成的子集的个数为C 2.证明 (1)任意无限集必包含一个可列子集 (2)设A与B都是可列集,证明AUB也是可列集 证(1)设T是一个无限集,先取a1∈T由于T是无限集,必存在a2∈T, a2≠a1。再由T是无限集,必存在a3∈T,a3≠a1,a3≠a2。这样的过 程可以无限进行下去,于是得到可列集S={a,a2…an2…},ScT (2)设A={a1a2…an},B={,b2…bn,…},则AUB可表示为 儿∪B={a,b,a2,b2…,anbn 3.指出下列表述中的错误: (1){0}=②; (2)ac{a,b,c}; (3){a,b}∈{a,b,c}; (4){a,b,{a,b}={a,b} 解(1){0}是由元素0构成的集合,不是空集 (2)a是集合{a,b,c}的元素,应表述为v∈{a,b,c}第一章 集合与映射 习 题 1.1 集合 ⒈ 证明由n个元素组成的集合T a = a an { 1 2 ， ，"， }有2n个子集。 解 由k 个元素组成的子集的个数为Cn k ， ∑ 。 = = + = n k k n n Cn 0 (1 1) 2 ⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设 A与 B都是可列集，证明 A∪ B也是可列集。 证（1）设T 是一个无限集，先取a1 ∈T 。由于T 是无限集，必存在 ， 。再由T 是无限集，必存在 a2 ∈T 2 1 a ≠ a a3 ∈T ，a3 ≠ a1，a3 ≠ a2。这样的过 程可以无限进行下去，于是得到可列集S = {a1, a2 ,", an ,"}，S ⊂ T 。 （2）设 A = { } a1, a2 ,", an ," ，B = {b1,b2 ,",bn ,"}，则 A∪ B可表示为 A B ∪ = { } a1,b1,a2 ,b2 ,",an ,bn ," 。 ⒊ 指出下列表述中的错误： (1) { }0 = ∅； (2) a ⊂ { , a b, c }； (3) { , a b } ∈{ , a b, c }； (4) { , a b,{a b, } } = { , a b }。 解 （1）{0}是由元素0构成的集合，不是空集。 （2） a 是集合{ , a b, c }的元素，应表述为 a∈ { , a b, c }。 1