第2期 韦碧鹏，等：α优势关系下粗糙集模型的属性约简 .257. [1]={1,2,3,4,5},[2]={2,3,4,5}, decision system[J].Journal of University of Electronic Sci- [3]ae=2,3,4,5},[4]a≥={4}，[5]a≥={2， ence and Technology of China,2007,36(6):1237-1240. 3,4,5}。 [4]罩丽珍，姚炳学，李金海.基于信息量的完备覆盖约简算 因此，得出R≥CRa,即该不完备序决策 法[J].计算机科学，2012,39(10)：235-239. QIN Lizhen,YAO Bingxue,LI Jinhai.Complete algorithm 系统是协调的。 for covering reduction based on information quantity[J]. 根据定义14，可以得出不完备序决策系统的优 Computer science,2012,39(10):235-239. 势决策区分矩阵如表3。 [5]KRYSZKIEWICZ M.Rough set approach to incomplete in- 表3优势决策区分矩阵 formation systems[J].Information Sciences,1998,112: Table 3 Dominance decision discernibility matrix 39.49. 1 2 3 4 [6]STEFANOWSKI J,TSOUKIAS A.On the extension of rough a,b,c a,b.c a,b.c b.c a,b sets under incomplete information[C]//Proceedings of New a,b,c a,b,c a,b,c a,b,c Directions in Rough Sets,Data Mining and Granular-Soft 3 a.b,c a.b.c a,b.c a.b.c Computing.Berlin:Springer,1999:73-81. 4 a,b,c a,b,c a,b,c a,b,c a,b,c [7]王国胤.Rough集理论在不完备信息系统中的扩充[J]。 5 a,b,c a,b,c a,b,c a,b,c 计算机研究与发展，2002,39(10)：1238-1243 △：≥=(a Vb V c)A(bVc)∧cA WANG Guoyin.Extension of rough set under incomplete in- formation systems[J].Jourmnal of Computer Research and (aVb)=ac V be,即表1中不完备序决策系统的 Development,2002,39(10):1238-1243. 属性约简为{a,c}或者{b,c}。 [8]LIANG J Y,QU K S.Information measures of roughness of 5结束语 knowledge and rough sets in incomplete information systems [J].Joumal of System Science and System Engineering, 由于现实中处理的数据很多是不完备的，且存 2001,24(5):544-547. 在偏序性，因此研究处理这种复杂数据情况的粗糙 [9]GRZYMALA-BUSSE J W.Characteristic relations for incom- 集方法是很有实际意义的。本文通过对现有优势关 plete data:a generalization of indisceribility relation[C] 系的分析后提出了α优势关系及其相应的粗糙集模 Proceedings of Rough Sets and Current Trends in Compu- 型，以使得对不完备序信息系统的数据分析更加合 ting.Berlin:Springer,2004:244-253. 理。此外，在基于α优势关系的粗糙集模型上，给出 [10]杨习贝，杨静宇，吴陈，等.不完备信息系统中的集对 分析方法[J].计算机科学，2007.34(4)：171-174. 了不完备序信息系统的优势区分矩阵以及不完备序 决策系统的优势决策区分矩阵，从而实现了属性约 YANG Xibei,YANG Jingyu,WU Chen,et al.Set pair a- nalysis in incomplete information systems[J].Information 简，同时也表明了区分矩阵只能运用属性集的幂集 Science.2007.34(4):171-174. 进行构造，而不能运用单个属性集进行构造。 [11]GRECO S,MATARAZZO B,SLOWINGSKI R.Rough sets 需要指出的是，在α优势关系的基础上，还可以 theory for multicriteria decision analysis [J].European 进一步研究不协调不完备序决策系统的属性约简算 Journal of Operational Research,2001,129(1):1-47. 法，这是本文的下一步工作任务。 [12]SHAO M W,ZHANG W X.Dominance relation and rules 参考文献： in an incomplete ordered information system [J].Interna- tional Journal of Intelligent Systems,2005,20:13-27. [1]PAWLAK Z.Rough sets [J].International Journal of Com- [13]胡明礼，刘思峰.基于广义扩展优势关系的粗糙决策分 puter and Information Sciences,1982,11(5):341-356. 析方法[J].控制与决策，2007,22(12)：1347-1351. [2]张文修，吴伟志，梁吉业，等.粗糙集理论与方法[M].北 HU Mingli,LIU Sifeng.Rough analysis method of multi-at- 京：科学出版社，2001：14-19. tribute decision making based on generalized extended [3]李金海，吕跃进决策系统的快速属性约简算法[J].电子 dominance relation[J].Control and Decision,2007,22 科技大学学报，2007,36(6)：1237-1240. (12):1347-1351. LI Jinhai,LO Yuejin.Quick attribute reduction algorithm on [14]YANG X B,YANG J Y,WU C,et al.Dominance-based［１］ ∗α≥ ｄ ＝ ｛１，２，３，４，５｝，［２］ ∗α≥ ｄ ＝ ｛２，３，４，５｝， ［３］ ∗α≥ ｄ ＝ ｛２，３，４，５｝，［４］ ∗α≥ ｄ ＝ ｛４｝，［５］ ∗α≥ ｄ ＝ ｛２， ３，４，５｝。 因此，得出 Ｒ ∗α≥ ＡＴ ⊆ Ｒ ∗α≥ ｄ ， 即该不完备序决策 系统是协调的。 根据定义 １４，可以得出不完备序决策系统的优 势决策区分矩阵如表 ３。 表 ３ 优势决策区分矩阵 Ｔａｂｌｅ ３ Ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｉｓｃｅｒｎｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ Ｕ １ ２ ３ ４ ５ １ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ｂ，ｃ ａ，ｂ ２ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ｃ ａ，ｂ，ｃ ３ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ｃ ａ，ｂ，ｃ ４ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ５ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ｃ ａ，ｂ，ｃ Δ ∗≥ ｄ ＝ （ａ ∨ ｂ ∨ ｃ） ∧ （ｂ ∨ ｃ） ∧ ｃ ∧ （ａ ∨ ｂ） ＝ａｃ ∨ ｂｃ ，即表 １ 中不完备序决策系统的 属性约简为 ｛ａ，ｃ｝ 或者 ｛ｂ，ｃ｝ 。 ５ 结束语 由于现实中处理的数据很多是不完备的，且存 在偏序性，因此研究处理这种复杂数据情况的粗糙 集方法是很有实际意义的。 本文通过对现有优势关 系的分析后提出了 α 优势关系及其相应的粗糙集模 型，以使得对不完备序信息系统的数据分析更加合 理。 此外，在基于 α 优势关系的粗糙集模型上，给出 了不完备序信息系统的优势区分矩阵以及不完备序 决策系统的优势决策区分矩阵，从而实现了属性约 简，同时也表明了区分矩阵只能运用属性集的幂集 进行构造，而不能运用单个属性集进行构造。 需要指出的是，在 α 优势关系的基础上，还可以 进一步研究不协调不完备序决策系统的属性约简算 法，这是本文的下一步工作任务。 参考文献： ［１］ＰＡＷＬＡＫ Ｚ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍ⁃ ｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９８２， １１（５）： ３４１⁃３５６． ［２］张文修，吴伟志，梁吉业，等．粗糙集理论与方法［Ｍ］．北 京：科学出版社， ２００１： １４⁃１９． ［３］李金海，吕跃进．决策系统的快速属性约简算法［ Ｊ］．电子 科技大学学报， ２００７， ３６（６）： １２３７⁃１２４０． ＬＩ Ｊｉｎｈａｉ， ＬÜ Ｙｕｅｊｉｎ． Ｑｕｉｃｋ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｎ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｃｉ⁃ ｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ， ２００７， ３６（６）： １２３７⁃１２４０． ［４］覃丽珍，姚炳学，李金海．基于信息量的完备覆盖约简算 法［Ｊ］． 计算机科学， ２０１２， ３９（１０）： ２３５⁃２３９． ＱＩＮ Ｌｉｚｈｅｎ， ＹＡＯ Ｂｉｎｇｘｕｅ， ＬＩ Ｊｉｎｈａｉ． Ｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｑｕａｎｔｉｔｙ ［ Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ， ２０１２， ３９（１０）： ２３５⁃２３９． ［５］ＫＲＹＳＺＫＩＥＷＩＣＺ Ｍ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎ⁃ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９９８， １１２： ３９⁃４９． ［６］ＳＴＥＦＡＮＯＷＳＫＩ Ｊ， ＴＳＯＵＫＩＡＳ Ａ． Ｏｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｕｎｄｅｒ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ Ｎｅｗ Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔｓ， Ｄａｔａ Ｍｉｎｉｎｇ ａｎｄ Ｇｒａｎｕｌａｒ⁃Ｓｏｆｔ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ． Ｂｅｒｌｉｎ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ， １９９９： ７３⁃８１． ［７］王国胤． Ｒｏｕｇｈ 集理论在不完备信息系统中的扩充［ Ｊ］． 计算机研究与发展， ２００２， ３９ （１０）： １２３８⁃１２４３． ＷＡＮＧ Ｇｕｏｙｉｎ． Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｕｎｄｅｒ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎ⁃ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ［ Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ， ２００２， ３９ （１０）： １２３８⁃１２４３． ［８］ＬＩＡＮＧ Ｊ Ｙ， ＱＵ Ｋ Ｓ． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｏｆ ｒｏｕｇｈｎｅｓｓ ｏｆ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｎｄ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｉｎ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ［ Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ２００１， ２４（５）： ５４４⁃５４７． ［９］ＧＲＺＹＭＡＬＡ⁃ＢＵＳＳＥ Ｊ Ｗ． Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｉｎｃｏｍ⁃ ｐｌｅｔｅ ｄａｔａ： ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｄｉｓｃｅｒｎｉｂｉｌｉｔｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ［Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｃｕｒｒｅｎｔ Ｔｒｅｎｄｓ ｉｎ Ｃｏｍｐｕ⁃ ｔｉｎｇ． Ｂｅｒｌｉｎ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ， ２００４： ２４４⁃２５３． ［１０］杨习贝， 杨静宇， 吴陈， 等． 不完备信息系统中的集对 分析方法［Ｊ］． 计算机科学， ２００７， ３４（４）： １７１⁃１７４． ＹＡＮＧ Ｘｉｂｅｉ， ＹＡＮＧ Ｊｉｎｇｙｕ， ＷＵ Ｃｈｅｎ， ｅｔ ａｌ． Ｓｅｔ ｐａｉｒ ａ⁃ ｎａｌｙｓｉｓ ｉｎ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ２００７， ３４（４）： １７１⁃１７４． ［１１］ＧＲＥＣＯ Ｓ， ＭＡＴＡＲＡＺＺＯ Ｂ， ＳＬＯＷＩＮＧＳＫＩ Ｒ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｃｒｉｔｅｒｉａ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ［ Ｊ ］． Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ， ２００１， １２９（１）： １⁃４７． ［１２］ＳＨＡＯ Ｍ Ｗ， ＺＨＡＮＧ Ｗ Ｘ． Ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｕｌｅｓ ｉｎ ａｎ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｏｒｄｅｒｅｄ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａ⁃ ｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２００５， ２０： １３⁃２７． ［１３］胡明礼， 刘思峰． 基于广义扩展优势关系的粗糙决策分 析方法［Ｊ］． 控制与决策， ２００７， ２２（１２）： １３４７⁃１３５１． ＨＵ Ｍｉｎｇｌｉ， ＬＩＵ Ｓｉｆｅｎｇ． Ｒｏｕｇｈ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｔ⁃ ｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ［ Ｊ］． Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ， ２００７， ２２ （１２）： １３４７⁃１３５１． ［１４］ＹＡＮＧ Ｘ Ｂ， ＹＡＮＧ Ｊ Ｙ， ＷＵ Ｃ， ｅｔ ａｌ． Ｄｏｍｉｎａｎｃｅ⁃ｂａｓｅｄ 第 ２ 期 韦碧鹏，等： α 优势关系下粗糙集模型的属性约简 ·２５７·