·256 智能系统学报 第9卷 不完备序决策系统，对于A二AT,D(x,y)是基 [5]r={2,3,4,5}。 于α优势关系的优势决策区分矩阵，Hx,y∈U,4 ②根据定义4，可以得出文献[15]提出的限制 ∩D产(x,y)≠O(D(x,y)≠☑)当且仅当 优势关系下，各个对象的优势类为：[1]={1,2， RiRi。 3,4,5},[2]2=12,[3]2=13},[4]= 证明（→）对于Hx∈U,ACAT,根据性质 {4},[5]2=12,5}。 1,可以得出[x]≥C[x]除。又由于Hx,ye ③令a=0.6,根据定义8，可得α优势关系下， U,A∩D(x,y)≠☑(Da(x,y）≠☑)，即y 各个对象的a优势类为：[1]≥=1,2,3,4,5}， [x]≥，y生[x]≥，由于对象y的任意性，则可以 [2]腔={2}，[3]≥={2,3}，[4]≥={4}， 得出[x]eC[x],即RCR。 [5]={2,5}。 (=)由于R≥CR腔，则Hx∈U有 根据定义得出三者优势关系下各个对象的优势 [x]≥≤[x]≥成立。即当y庄[x]≥时，y 类，在文献[12]提出的优势关系下，对象4的优势 [x],因此AnD(x,y)≠0。证毕。 类为对象2、4，然而在条件属性c下，由于对象4取 因此，Ai≥=人VD(x,y)为a优势关 得最大值，因此，对象2优于对象4的可能性是非常 (x,y）eUxU 之小：另外，对象5的优势类为对象2、3、4、5，然而 系下不完备序决策系统的区分函数，△(x)= ,AVD(x,)为对象x在a优势关系下不完备 在条件属性a下，对象4优于对象5的可能性也是 非常之小。因此，可以说文献[12]提出的优势关系 序决策系统的区分函数。 划分的粒度过大了。在文献[15]提出的限制优势 4实例分析 关系下，对象3的优势类为对象3，然而对象2优于 对象3的可能性是非常之大。因此，说明了文献 例1下面给出一个不完备序决策系统，其中 [15]提出的限制优势关系划分的粒度过细了。然 U={1,2,3,4,5},AT={a,b,c}为条件属性，d为决 而，在α优势关系下，设定确定的取值，各个对象 策属性，且对象在单个条件属性a、b、c下最大的取 的优势类就不会出现上述的情况：可以看出，α优势 值分别为4、3、3，最小值都是1。运用表1给出的不 关系吸取了上述两者优势关系的优点，丢弃了两者 完备序决策系统来分析文献[12]提出的优势关系、 的缺陷，更加符合实际情况，更有利于去处理现实生 文献[15]提出的限制优势关系以及本文提出的α 活中存在复杂的不完备序信息系统。 优势关系之间的性能：并计算α优势关系不完备序 2)不完备序信息系统的属性约简 信息系统与决策系统的属性约简。 根据定义11，结合α优势类，可以得出不完备 表1不完备序决策系统 序信息系统的优势区分矩阵如表2。 Table 1 Incomplete ordered decision system 表2优势区分矩阵 U b d Table 2 Dominance discernibility matrix 1 2 3 4 5 2 2 1 a.b.c a.b.c a.b.c b.c 3 2 2 a,b,c a,b,c a,b.c c a,b.c 4 2 3 3 a.b.c a,b a,b.c ab 5 a,b.c a,b a,b.c a 1)把表1中的决策属性去掉，不完备序决策系 5 a.b.c a.b.c a,c c a,b,c 统转化为不完备序信息系统，分析三者优势关系之 故△≥=(a V b V e)A(aVb)∧a∧c 间的关系。 (aVc)∧(aAb)∧(bVc)=abc,即该不完备 ①根据定义2，可得文献[12]提出的优势关系 序信息系统的属性约简为abc。 下，各个对象的优势类为：[1]={1,2,3,4,5}， 3)不完备序决策系统的属性约简。 [2]={2},[3]={2,3},[4]={2,4}, 由于各个对象在决策属性下的优势类如下：不完备序决策系统，对于 Ａ ⊆ ＡＴ，Ｄ ∗α≥ ｄ （ｘ，ｙ） 是基 于 α 优势关系的优势决策区分矩阵， ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ，Ａ ∩ Ｄ ∗α≥ ｄ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀（Ｄ ∗α≥ ｄ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀） 当且仅当 Ｒ ∗α≥ Ａ ⊆ Ｒ ∗α≥ ｄ 。 证明 （⇒） 对于 ∀ｘ ∈ Ｕ，Ａ ⊆ ＡＴ， 根据性质 １，可以得出 ［ｘ］ ∗α≥ ＡＴ ⊆ ［ｘ］ ∗α≥ Ａ 。 又由于 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ，Ａ ∩ Ｄ ∗α≥ ｄ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀（Ｄ ∗α≥ ｄ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀）， 即 ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ ｄ ，ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ， 由于对象 ｙ 的任意性，则可以 得出 ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ∗α≥ ｄ ， 即 Ｒ ∗α≥ Ａ ⊆ Ｒ ∗α≥ ｄ 。 （⇐） 由 于 Ｒ ∗α≥ Ａ ⊆ Ｒ ∗α≥ ｄ ， 则 ∀ｘ ∈ Ｕ， 有 ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ∗α≥ ｄ 成立。 即当 ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ ｄ 时， ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ， 因此 Ａ ∩ Ｄ ∗α≥ ｄ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀。 证毕。 因此， Δ ∗≥ ｄ ＝ ∧ （ｘ，ｙ）∈Ｕ×Ｕ ∨ Ｄ ∗α≥ ｄ （ｘ，ｙ） 为 α 优势关 系下不完备序 决 策 系 统 的 区 分 函 数， Δ ∗≥ ｄ （ｘ） ＝ ∧ｙ∈Ｕ ∨ Ｄ ∗α≥ ｄ （ｘ，ｙ） 为对象 ｘ 在 α 优势关系下不完备 序决策系统的区分函数。 ４ 实例分析 例 １ 下面给出一个不完备序决策系统，其中 Ｕ ＝ ｛１，２，３，４，５｝，ＡＴ ＝ ｛ａ，ｂ，ｃ｝ 为条件属性， ｄ 为决 策属性，且对象在单个条件属性 ａ、ｂ、ｃ 下最大的取 值分别为 ４、３、３，最小值都是 １。 运用表 １ 给出的不 完备序决策系统来分析文献［１２］提出的优势关系、 文献［１５］ 提出的限制优势关系以及本文提出的 α 优势关系之间的性能；并计算 α 优势关系不完备序 信息系统与决策系统的属性约简。 表 １ 不完备序决策系统 Ｔａｂｌｅ １ Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｏｒｄｅｒｅｄ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ Ｕ ａ ｂ ｃ ｄ １ １ １ １ １ ２ ４ ３ ∗ ２ ３ ３ ∗ ２ ２ ４ １ ２ ３ ３ ５ ∗ ２ １ ２ １）把表 １ 中的决策属性去掉，不完备序决策系 统转化为不完备序信息系统，分析三者优势关系之 间的关系。 ① 根据定义 ２，可得文献［１２］提出的优势关系 下，各个对象的优势类为： ［１］ ∗≥ ＡＴ ＝ ｛１，２，３，４，５｝， ［２］ ∗≥ ＡＴ ＝ ｛２｝， ［３］ ∗≥ ＡＴ ＝ ｛２，３｝， ［４］ ∗≥ ＡＴ ＝ ｛２，４｝， ［５］ ∗≥ ＡＴ ＝ ｛２，３，４，５｝。 ② 根据定义 ４，可以得出文献［１５］提出的限制 优势关系下，各个对象的优势类为： ［１］ ∗Ｌ≥ ＡＴ ＝ ｛１，２， ３，４，５｝， ［２］ ∗Ｌ≥ ＡＴ ＝｛２｝， ［３］ ∗Ｌ≥ ＡＴ ＝ ｛３｝， ［４］ ∗Ｌ≥ ＡＴ ＝ ｛４｝，［５］ ∗Ｌ≥ ＡＴ ＝ ｛２，５｝。 ③ 令 α ＝ ０．６， 根据定义 ８，可得 α 优势关系下， 各个对象的 α 优势类为： ［１］ ∗α≥ ＡＴ ＝ ｛１，２，３，４，５｝， ［２］ ∗α≥ ＡＴ ＝ ｛２｝， ［３］ ∗α≥ ＡＴ ＝ ｛２，３｝， ［４］ ∗α≥ ＡＴ ＝ ｛４｝， ［５］ ∗α≥ ＡＴ ＝ ｛２，５｝。 根据定义得出三者优势关系下各个对象的优势 类，在文献［１２］提出的优势关系下，对象 ４ 的优势 类为对象 ２、４，然而在条件属性 ｃ 下，由于对象 ４ 取 得最大值，因此，对象 ２ 优于对象 ４ 的可能性是非常 之小；另外，对象 ５ 的优势类为对象 ２、３、４、５，然而 在条件属性 ａ 下，对象 ４ 优于对象 ５ 的可能性也是 非常之小。 因此，可以说文献［１２］提出的优势关系 划分的粒度过大了。 在文献［１５］ 提出的限制优势 关系下，对象 ３ 的优势类为对象 ３，然而对象 ２ 优于 对象 ３ 的可能性是非常之大。 因此，说明了文献 ［１５］提出的限制优势关系划分的粒度过细了。 然 而，在 α 优势关系下，设定确定的 α 取值，各个对象 的优势类就不会出现上述的情况；可以看出， α 优势 关系吸取了上述两者优势关系的优点，丢弃了两者 的缺陷，更加符合实际情况，更有利于去处理现实生 活中存在复杂的不完备序信息系统。 ２）不完备序信息系统的属性约简 根据定义 １１，结合 α 优势类，可以得出不完备 序信息系统的优势区分矩阵如表 ２。 表 ２ 优势区分矩阵 Ｔａｂｌｅ ２ Ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｄｉｓｃｅｒｎｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ Ｕ １ ２ ３ ４ ５ １ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ｂ，ｃ ａ，ｂ ２ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ｃ ａ，ｂ，ｃ ３ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ ａ，ｂ，ｃ ｃ ａｂ ４ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ ａ ａ，ｂ，ｃ ａ ５ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｂ，ｃ ａ，ｃ ｃ ａ，ｂ，ｃ 故 Δ ∗≥ ＝ （ａ ∨ ｂ ∨ ｃ） ∧ （ａ ∨ ｂ） ∧ ａ ∧ ｃ ∧ （ａ ∨ ｃ） ∧ （ａ ∧ ｂ） ∧ （ｂ ∨ ｃ） ＝ ａｂｃ， 即该不完备 序信息系统的属性约简为 ａｂｃ。 ３）不完备序决策系统的属性约简。 由于各个对象在决策属性下的优势类如下： ·２５６· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷