第2期 韦碧鹏，等：α优势关系下粗糙集模型的属性约简 ·255. 以仅仅在单元素下进行。但是，在α优势关系的粗 分函数A≥=∧VD≥(x,y)中D(x,y) (,y）ex 糙集模型中，这样的构造是不成立的，如 是属性集的幂集组成的集合，因此，运用八作为连 假设基于α优势关系的优势区分矩阵可以如下 接符。例如：D,(x,y)中区分这2个对象的属性 构造： 集合为aAb,可以写成ab。即在优势区分矩阵 ({a∈AT1y座[x]aa},y生[x] 中，“，”表示“或”含义。 D(x,y）= AT,y∈[x]a 推论1设I0IS=(U,AT,V,)是一个不完备 存在这样的不完备序信息系统：U={x,y}, 序信息系统，对于AT={a,b,c},若区分函数 AT={a,b,c},x=（3,*,2),y=（*,2,1),其中在 D(x,y）中的2个对象可以运用属性集a、b、ab、 属性a下，最大的取值为4：在属性b下，最大的取值 abc加以区分，则ab、abc可以省略。 为3：根据定义6和定义7，计算得出对象在条件属 推论2设IOIS=(U,AT,V,)是一个不完备 性集下的优势概率为：R4r(x,y)=3/4×2/3=1/2。 序信息系统，对于AT={a,b,c},若区分函数 当α=0.6时，可以得出对象x不是对象y的α优势 Dr(x,y)中的2个对象仅仅能用属性集ab来区 类，即x生[y],≥；因此，运用单元素构成的优势区 分，则属性集ab为这2个对象的区分属性集。 分矩阵对不完备序信息系统进行属性约简，可以得 3.2不完备序决策系统的属性约简 出其约简为空集，这显然不符合属性约简的概念。 在α优势关系的不完备序信息系统中，若添加 但是，当根据定义11，即运用属性集的幂集构成的 决策属性d,则不完备序信息系统可以转变为 优势区分矩阵对该不完备序信息系统进行属性约简 IODS=(U,ATU{d},V,f)情形，其中属性d也是 时，可以得出属性集{a,b}为该系统的约简。显 一个准则，称之为决策属性，d主AT且*生V,则 然，可以验证基于《优势关系粗糙集模型的优势区 称IODS为不完备序决策系统。 分矩阵应该是在属性集的幂集下进行的。 记：R={(x,y)Ifx,d)≥f(y,d)},则称 定理2设IOS=(U,AT,V,f)是一个不完备 R:≥为决策属性d的一个优势关系。因此，可以记 序信息系统，对于A二AT,Dr(x,y)是基于a优 作：[y]a≥={x∈Ul(x,y)∈R≥}。 势关系的优势区分矩阵，Hx,y∈U,A∩D 定义12设10DS=(U,ATU{d},V,f)是一 (x,y)≠0(D(x,y)≠☑)当且仅当R≥= 个不完备序决策系统，若R≥二R≥，则称a优 Ra。 势关系的不完备序决策系统是协调的：否则称为不 证明（→）对于Hx,y∈U,ACAT,由性质 协调的。 1可得R≥CRA。要证明Ra腔=R≥，因此 定义13设1ODS=(U,ATU{d},V,f)是一 个不完备序决策系统，对于属性集A二AT,称属性 只需要证明R≥2R≥即可。然而由于A∩ 集A是IODS的一个优势约简当且仅当Ra≥≤ D≥(x,y）≠☑(D(x,y）≠☑)，即存在a∈ Ra≥，且HBCA,Ra≥tRa≥成立。 A,a∈D(x,y),可以得出y年[x]a,即y主 从定义13中可以得出，基于α优势关系的不完 [x]≥，则y生[x];因为y是任意的，所以可 备序决策系统的属性约简保持α优势关系的协调性 以得出R22Ra,即R≥=R。 不变的最小子集。下面给出其优势决策区分矩阵构 (仁)由于R=R,可得Hx∈U, 造的方法。 [x]a4=[x],则存在a∈A,当y生[x]r 定义14设IODS=(U,ATU{d},V,f)是一 时，y生[x],即A∩Dx(x,y)≠。证毕。 个不完备序决策系统，对于Hx,y∈U,有 因此，令△n个wVD(x,)为a优势 ({A∈ATIy生[x]=},y年[x] Dia≥(x,y）= 关系下不完备序信息系统的区分函数，4·(x)= (AT,ye [x]ias AVD(x,y)为对象x在a优势关系下不完备 其中D≥={D(x,y)IVx,y∈U}称为IODS 序信息系统的区分函数。 中基于α优势关系的优势决策区分矩阵。 在α优势关系的不完备序信息系统中，由于区 定理3设1ODS=(U,ATU{d},V)是一个以仅仅在单元素下进行。 但是，在 α 优势关系的粗 糙集模型中，这样的构造是不成立的，如 假设基于 α 优势关系的优势区分矩阵可以如下 构造： Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） ＝ ｛ａ ∈ ＡＴ ｜ ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ ａ ｝，ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ ＡＴ ＡＴ，ｙ ∈ ［ｘ］ ∗α≥ ＡＴ { 存在这样的不完备序信息系统： Ｕ ＝ ｛ｘ，ｙ｝， ＡＴ ＝｛ａ，ｂ，ｃ｝，ｘ ＝ （３，∗，２），ｙ ＝ （∗，２，１）， 其中在 属性 ａ 下，最大的取值为 ４；在属性 ｂ 下，最大的取值 为 ３；根据定义 ６ 和定义 ７，计算得出对象在条件属 性集下的优势概率为： ＲＡＴ（ｘ，ｙ） ＝ ３ ／ ４ × ２ ／ ３ ＝ １ ／ ２。 当 α ＝ ０．６ 时，可以得出对象 ｘ 不是对象 ｙ 的 α 优势 类，即 ｘ ∉ ［ｙ］ ∗α≥ ＡＴ ； 因此，运用单元素构成的优势区 分矩阵对不完备序信息系统进行属性约简，可以得 出其约简为空集，这显然不符合属性约简的概念。 但是，当根据定义 １１，即运用属性集的幂集构成的 优势区分矩阵对该不完备序信息系统进行属性约简 时，可以得出属性集 ｛ａ，ｂ｝ 为该系统的约简。 显 然，可以验证基于 α 优势关系粗糙集模型的优势区 分矩阵应该是在属性集的幂集下进行的。 定理 ２ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信息系统，对于 Ａ ⊆ ＡＴ，Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） 是基于 α 优 势关系的优势区分矩阵， ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ，Ａ ∩ Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） ≠⌀（Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀） 当且仅当 Ｒ ∗α≥ Ａ ＝ Ｒ ∗α≥ ＡＴ 。 证明 （⇒） 对于 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ，Ａ ⊆ ＡＴ， 由性质 １ 可得 Ｒ ∗α≥ ＡＴ ⊆ Ｒ ∗α≥ Ａ 。 要证明 Ｒ ∗α≥ Ａ ＝ Ｒ ∗α≥ ＡＴ ， 因此 只需要证明 Ｒ ∗α≥ ＡＴ ⊇ Ｒ ∗α≥ Ａ 即可。 然而由于 Ａ ∩ Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀（Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀）， 即存在 ａ ∈ Ａ，ａ ∈ Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ）， 可以得出 ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ ａ ， 即 ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ， 则 ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ ＡＴ ； 因为 ｙ 是任意的，所以可 以得出 Ｒ ∗α≥ ＡＴ ⊇ Ｒ ∗α≥ Ａ ， 即 Ｒ ∗α≥ Ａ ＝ Ｒ ∗α≥ ＡＴ 。 （⇐） 由 于 Ｒ ∗α≥ Ａ ＝ Ｒ ∗α≥ ＡＴ ， 可 得 ∀ｘ ∈ Ｕ， ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ＝ ［ｘ］ ∗α≥ ＡＴ ， 则存在 ａ ∈ Ａ， 当 ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ ＡＴ 时， ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ ａ ， 即 Ａ ∩ Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀。 证毕。 因此，令 Δ ∗≥ ＝ ∧ （ｘ，ｙ）∈Ｕ×Ｕ ∨ Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） 为 α 优势 关系下不完备序信息系统的区分函数， Δ ∗≥ （ｘ） ＝ ∧ｙ∈Ｕ ∨ Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） 为对象 ｘ 在 α 优势关系下不完备 序信息系统的区分函数。 在 α 优势关系的不完备序信息系统中，由于区 分函数 Δ ∗≥ ＝ ∧ （ｘ，ｙ）∈Ｕ×Ｕ ∨ Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） 中 Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） 是属性集的幂集组成的集合，因此，运用 ∧ 作为连 接符。 例如： Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） 中区分这 ２ 个对象的属性 集合为 ａ ∧ ｂ， 可以写成 ａｂ 。 即在优势区分矩阵 中，“，”表示“或”含义。 推论 １ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信 息 系 统， 对 于 ＡＴ ＝ ｛ａ，ｂ，ｃ｝， 若 区 分 函 数 Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） 中的 ２ 个对象可以运用属性集 ａ、ｂ、ａｂ、 ａｂｃ 加以区分，则 ａｂ、ａｂｃ 可以省略。 推论 ２ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信 息 系 统， 对 于 ＡＴ ＝ ｛ａ，ｂ，ｃ｝， 若 区 分 函 数 Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） 中的 ２ 个对象仅仅能用属性集 ａｂ 来区 分，则属性集 ａｂ 为这 ２ 个对象的区分属性集。 ３．２ 不完备序决策系统的属性约简 在 α 优势关系的不完备序信息系统中，若添加 决策属性 ｄ， 则 不 完 备 序 信 息 系 统 可 以 转 变 为 ＩＯＤＳ ＝（Ｕ，ＡＴ ∪ ｛ｄ｝，Ｖ，ｆ） 情形，其中属性 ｄ 也是 一个准则，称之为决策属性， ｄ ∉ ＡＴ 且 ∗ ∉ Ｖｄ ， 则 称 ＩＯＤＳ 为不完备序决策系统。 记： Ｒ ∗α≥ ｄ ＝ ｛（ｘ，ｙ） ｜ ｆ（ｘ，ｄ） ≥ ｆ（ｙ，ｄ）｝， 则称 Ｒ ∗α≥ ｄ 为决策属性 ｄ 的一个优势关系。 因此，可以记 作： ［ｙ］ ∗α≥ ｄ ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ （ｘ，ｙ） ∈ Ｒ ∗α≥ ｄ ｝。 定义 １２ 设 ＩＯＤＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ ∪ ｛ｄ｝，Ｖ，ｆ） 是一 个不完备序决策系统，若 Ｒ ∗α≥ ＡＴ ⊆ Ｒ ∗α≥ ｄ ， 则称 α 优 势关系的不完备序决策系统是协调的；否则称为不 协调的。 定义 １３ 设 ＩＯＤＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ ∪ ｛ｄ｝，Ｖ，ｆ） 是一 个不完备序决策系统，对于属性集 Ａ ⊆ ＡＴ， 称属性 集 Ａ 是 ＩＯＤＳ 的一个优势约简当且仅当 Ｒ ∗α≥ Ａ ⊆ Ｒ ∗α≥ ｄ ， 且 ∀Ｂ ⊂ Ａ，Ｒ ∗α≥ Ｂ ⊄ Ｒ ∗α≥ ｄ 成立。 从定义 １３ 中可以得出，基于 α 优势关系的不完 备序决策系统的属性约简保持 α 优势关系的协调性 不变的最小子集。 下面给出其优势决策区分矩阵构 造的方法。 定义 １４ 设 ＩＯＤＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ ∪ ｛ｄ｝，Ｖ，ｆ） 是一 个不完备序决策系统，对于 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ， 有 Ｄ ∗α≥ ｄ （ｘ，ｙ） ＝ ｛Ａ ∈ ＡＴ ｜ ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ｝，ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ ｄ ＡＴ，ｙ ∈ ［ｘ］ ∗α≥ ｄ { 其中 Ｄ ∗α≥ ｄ ＝ ｛Ｄ ∗α≥ ｄ （ｘ，ｙ） ｜ ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ｝ 称为 ＩＯＤＳ 中基于 α 优势关系的优势决策区分矩阵。 定理 ３ 设 ＩＯＤＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ ∪ ｛ｄ｝，Ｖ，ｆ） 是一个 第 ２ 期 韦碧鹏，等： α 优势关系下粗糙集模型的属性约简 ·２５５·