·254· 智能系统学报 第9卷 定义7设I0IS=(U,AT,V,)是一个不完备 R:除(X)={x∈U1[x]i≥∩X≠☑}= 序信息系统，对于A二AT,Hx,y∈U,则对象x在 U{[x]31x∈X 属性集A下优于y的概率为 可以看出，R(X)是确定属于X的一些对象 R,(x,y)=ΠR(x,y） a巴A 集，然而(X)是可能属于X的一些对象集。 通过定义7，可以得出不完备序信息系统各个 定理1设I0S=(U,AT,V,)是一个不完备 对象的优势类如下： 序信息系统，对于属性集HA二AT,对象集H 定义8设I01S=(U,AT,V,f)是一个不完备 XSU,则可以得出R:(X)CR(X)S 序信息系统，对于A二AT,Hx,y∈U,有 Ri(X),Ri(X)Ri(X)Ri(X) R={(x,y）∈U×U1R4(x,y)≥a 证明由性质2可得，VA C AT,Hx∈U, 则称R≥是不完备序信息系统上的一个α优势关 [x]≤[x]C[x],结合三者关系上下近似 系，其中0<a≤1。 的定义，HXCU,得出R(X)CRiDc R(X), 记：[y]a={x∈Ul(x,y)∈R},则 [y]≥描述的对象是：在条件属性集A下，以α的优势 R(X)CRa(X)CR(X)。证毕。 度优于对象y的最大对象的集合，简称为对象y的a优 从定理1可知，当a>0时，RX=R产X, 势类。由于U/Ra表示所有与优势关系族R≥相 RX=RiX;当a=1时，RAX=RX, 关的知识，记作U/Ra≥={[x]≥Ix∈U,则 R:≥X=R≥X。从而又可以验证了基于α优势关 U/R中的任何一个元素都是属于α优势类。从而 系的粗糙集模型是文献[12]提出的优势关系粗糙 可以得知U/R:≥中所有的α优势类构成了U中的覆 集模型和文献[15]提出的限制优势关系粗糙集模 盖，而不是U中的划分，即UU/Ra≥=U。 型的一种扩展形式：因此，本文提出的α优势关系的 根据定义8，结合定义2和定义4的概念，显然 粗糙集模型更具有灵活性，更加符合实际情况，更有 可以得出：当a>0时，Ra≥=R≥；当a=1时， 利于去处理现实中存在的不完备序信息系统。 R≥=R。因此，在不完备序信息系统中，本文 3 基于α优势关系粗糙集模型的属 提出的α优势关系是文献[12]提出的优势关系和 性约简 文献[15]提出的限制优势关系的一种扩展形式。 3.1不完备序信息系统的属性约简 性质1设101S=(U,AT,V,f)是一个不完备 定义10设10IS=(U,AT,Vf)是一个不完备 序信息系统，则α优势关系满足如下性质： 序信息系统，对于属性集A二AT,称属性集A是 1)R≥满足自反性，不满足对称性和传递性； IOIS的一个优势约简当且仅当Ra≥=R≥，且 2)当BCA≤AT时，R≥R≥CRg≥； BCA,Rg≥≠R≥成立。 3)当BCACAT时，Hx∈U, 定义10表明了基于α优势关系的不完备序信 [x]c[x]iec[x]ge。 息系统的属性约简保持的是对象的α优势类不变的 性质2设1OIS=(U,AT,V,)是一个不完备 最小属性组成的集合。基于此，下面给出其优势区 序信息系统，对于ACAT,R:≥、R≥、R三者 分矩阵构造的方法： 优势关系满足如下性质： 定义11设10IS=(U,AT,Vf)是一个不完备 I)R≥<R2<R≥，<表示优于； 序信息系统，对于Hx,y∈U,有 2)xeU,[x]iac[x]iaeC[x]≥。 A∈ATIy年[x]},y生[x] 定义9设I0IS=(U,AT,V,)是一个不完备 D(x,y）= AT,y∈[x] 序信息系统，HX二U,ACAT,对象集合X在优势 称D={Dx(x,y)IHx,y∈U}为IOIS关 关系R:a≥下关于属性集ACAT的上下近似集为： 于α优势关系的优势区分矩阵，其中属性集A为属 Ri(X)=xEUI [x]iaCX= 性集AT的幂集。 {x∈Xl[x]a≥CX} 根据对以往知识的了解，区分矩阵的构造是可定义 ７ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信息系统，对于 Ａ ⊆ ＡＴ， ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ， 则对象 ｘ 在 属性集 Ａ 下优于 ｙ 的概率为 ＲＡ（ｘ，ｙ） ＝ ∏ａ∈Ａ Ｒａ（ｘ，ｙ） 通过定义 ７，可以得出不完备序信息系统各个 对象的优势类如下： 定义 ８ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信息系统，对于 Ａ ⊆ ＡＴ， ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ， 有 Ｒ ∗α≥ Ａ ＝ ｛（ｘ，ｙ） ∈ Ｕ × Ｕ ｜ ＲＡ（ｘ，ｙ） ≥ α｝ 则称 Ｒ ∗α≥ Ａ 是不完备序信息系统上的一个 α 优势关 系，其中 ０ ＜ α ≤ １。 记： ［ｙ］ ∗α≥ Ａ ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ （ｘ，ｙ） ∈ Ｒ ∗α≥ Ａ ｝， 则 ［ｙ］ ∗α≥ Ａ 描述的对象是：在条件属性集Ａ 下，以α 的优势 度优于对象ｙ 的最大对象的集合，简称为对象ｙ 的α 优 势类。 由于 Ｕ／ Ｒ ∗α≥ Ａ 表示所有与优势关系族 Ｒ ∗α≥ Ａ 相 关的知识，记作 Ｕ／ Ｒ ∗α≥ Ａ ＝ ｛［ｘ］ ∗α≥ Ａ ｜ ｘ ∈ Ｕ｝， 则 Ｕ／ Ｒ ∗α≥ Ａ 中的任何一个元素都是属于 α 优势类。 从而 可以得知 Ｕ／ Ｒ ∗α≥ Ａ 中所有的 α 优势类构成了 Ｕ 中的覆 盖，而不是 Ｕ 中的划分，即 ∪ Ｕ／ Ｒ ∗α≥ Ａ ＝ Ｕ 。 根据定义 ８，结合定义 ２ 和定义 ４ 的概念，显然 可以得出：当 α ＞ ０ 时， Ｒ ∗α≥ Ａ ＝ Ｒ ∗≥ Ａ ； 当 α ＝ １ 时， Ｒ ∗α≥ Ａ ＝ Ｒ ∗Ｌ≥ Ａ 。 因此，在不完备序信息系统中，本文 提出的 α 优势关系是文献［１２］提出的优势关系和 文献［１５］提出的限制优势关系的一种扩展形式。 性质 １ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信息系统，则 α 优势关系满足如下性质： １） Ｒ ∗α≥ Ａ 满足自反性，不满足对称性和传递性； ２）当 Ｂ ⊆ Ａ ⊆ ＡＴ 时， Ｒ ∗α≥ ＡＴ ⊆ Ｒ ∗α≥ Ａ ⊆ Ｒ ∗α≥ Ｂ ； ３）当 Ｂ ⊆ Ａ ⊆ ＡＴ 时， ∀ｘ ∈ Ｕ， ［ｘ］ ∗α≥ ＡＴ ⊆ ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ∗α≥ Ｂ 。 性质 ２ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信息系统，对于 Ａ ⊆ ＡＴ， Ｒ ∗≥ Ａ 、 Ｒ ∗Ｌ≥ Ａ 、 Ｒ ∗α≥ Ａ 三者 优势关系满足如下性质： １） Ｒ ∗≥ Ａ ≺ Ｒ ∗Ｌ≥ Ａ ≺ Ｒ ∗α≥ Ａ ， ≺ 表示优于 ； ２） ∀ｘ ∈ Ｕ，［ｘ］ ∗Ｌ≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ∗≥ Ａ 。 定义 ９ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信息系统， ∀Ｘ ⊆ Ｕ， Ａ ⊆ ＡＴ， 对象集合 Ｘ 在优势 关系 Ｒ ∗α≥ Ａ 下关于属性集 Ａ ⊆ ＡＴ 的上下近似集为： Ｒ－ ∗α≥ Ａ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ⊆ Ｘ｝ ＝ ｛ｘ ∈ Ｘ ｜ ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ⊆ Ｘ｝ Ｒ － ∗α≥ Ａ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ∩ Ｘ ≠ ⌀｝ ＝ ∪ ｛［ｘ］ ∗α≥ Ａ ｜ ｘ ∈ Ｘ｝ 可以看出， Ｒ－ ∗α≥ Ａ （Ｘ） 是确定属于 Ｘ 的一些对象 集，然而 Ｒ － ∗α≥ Ａ （Ｘ） 是可能属于 Ｘ 的一些对象集。 定理 １ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信息系统， 对于属性集 ∀Ａ ⊆ ＡＴ， 对象集 ∀ Ｘ ⊆Ｕ， 则 可 以 得 出 Ｒ－ ∗≥ Ａ （Ｘ） ⊆ Ｒ－ ∗α≥ Ａ （Ｘ） ⊆ Ｒ－ ∗Ｌ≥ Ａ （Ｘ），Ｒ － ∗Ｌ≥ Ａ （Ｘ） ⊆ Ｒ － ∗α≥ Ａ （Ｘ） ⊆ Ｒ － ∗≥ Ａ （Ｘ）。 证明 由性质 ２ 可得， ∀Ａ ⊆ ＡＴ，∀ｘ ∈ Ｕ， ［ｘ］ ∗Ｌ≥ Ａ ⊆［ｘ］ ∗α≥ Ａ ⊆［ｘ］ ∗≥ Ａ ， 结合三者关系上下近似 的定义， ∀Ｘ ⊆ Ｕ， 得出 Ｒ－ ∗≥ Ａ （Ｘ） ⊆ Ｒ－ ∗α≥ Ａ（Ｘ）⊆ Ｒ－ ∗Ｌ≥ Ａ （Ｘ）， Ｒ － ∗Ｌ≥ Ａ （Ｘ） ⊆ Ｒ － ∗α≥ Ａ （Ｘ） ⊆ Ｒ － ∗≥ Ａ （Ｘ）。 证毕。 从定理 １ 可知，当 α ＞ ０ 时， Ｒ－ ∗α≥ Ａ Ｘ ＝ Ｒ－ ∗≥ Ａ Ｘ， Ｒ － ∗α≥ Ａ Ｘ ＝ Ｒ － ∗≥ Ａ Ｘ ； 当 α ＝ １ 时， Ｒ－ ∗α≥ Ａ Ｘ ＝ Ｒ－ ∗Ｌ≥ Ａ Ｘ， Ｒ － ∗Ｌ≥ Ａ Ｘ ＝ Ｒ － ∗α≥ Ａ Ｘ。 从而又可以验证了基于 α 优势关 系的粗糙集模型是文献［１２］提出的优势关系粗糙 集模型和文献［１５］提出的限制优势关系粗糙集模 型的一种扩展形式；因此，本文提出的 α 优势关系的 粗糙集模型更具有灵活性，更加符合实际情况，更有 利于去处理现实中存在的不完备序信息系统。 ３ 基于 α 优势关系粗糙集模型的属 性约简 ３．１ 不完备序信息系统的属性约简 定义 １０ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信息系统，对于属性集 Ａ ⊆ ＡＴ， 称属性集 Ａ 是 ＩＯＩＳ 的一个优势约简当且仅当 Ｒ ∗α≥ Ａ ＝ Ｒ ∗α≥ ＡＴ ， 且 ∀Ｂ ⊂ Ａ，Ｒ ∗α≥ Ｂ ≠ Ｒ ∗α≥ ＡＴ 成立。 定义 １０ 表明了基于 α 优势关系的不完备序信 息系统的属性约简保持的是对象的 α 优势类不变的 最小属性组成的集合。 基于此，下面给出其优势区 分矩阵构造的方法： 定义 １１ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信息系统，对于 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ， 有 Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） ＝ ｛Ａ ∈ ＡＴ ｜ ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ Ａ ｝，ｙ ∉ ［ｘ］ ∗α≥ ＡＴ ＡＴ，ｙ ∈ ［ｘ］ ∗α≥ ＡＴ { 称 Ｄ ∗α≥ ＡＴ ＝ ｛Ｄ ∗α≥ ＡＴ （ｘ，ｙ） ｜ ∀ｘ，ｙ∈Ｕ｝ 为 ＩＯＩＳ 关 于 α 优势关系的优势区分矩阵，其中属性集 Ａ 为属 性集 ＡＴ 的幂集。 根据对以往知识的了解，区分矩阵的构造是可 ·２５４· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷