第2期 韦碧鹏，等：α优势关系下粗糙集模型的属性约简 ·253· R(X)={x∈UI[x]:Cx ER。然而，事实上，(x,y)∈R的可能性是 非常大。这说明文献[15]提出的限制优势关系划 R(X)={x∈UI[x]:nX≠⑦} 分的粒度过细，容易把一些本该属于优势类的对象 通过分析定义2，可以得出文献[12]在不完备 误判为不是优势类的对象，这样容易导致提取决策 序信息系统中提出的优势关系是以空值可以等于任 规则的不完全性。基于此，在不完备序信息系统中， 意值为假设前提的，即认为空值可以优于任意值，同 有必要提出一种相对于文献[12]提出的优势关系 时又认为任意值可以优于空值，这显然不符合实际 以及文献[15]提出的限制优势关系更加灵活的优 情况。例如：当x=(1,1,*),y=(1,1,4),z= (*,*,4)时，其中“4”表示属性值下最大的取值， 势关系。 “1”为属性值下最小的取值。根据定义2进行分析 2α优势关系的粗糙集模型 可得：(x,y)∈R,(x,z)∈R,(y,x)∈RA, (y,z)∈Ri,(z,x)∈Ri,(z,y）∈R≥成立。 设1OIS=(U,AT,Vf)是一个不完备序信息系 然而事实上，缺失值*优于属性值4以及属性值1 统，对于Va CAT,Hx,y∈U,对象在属性a下的取 优于缺失值*的可能性是非常之小，但是属性值4 值为V。={a1,a2,,anm{,并且a1<a2<…<am, 优于缺失值*以及缺失值*优于属性值1必然成 根据Vn的排序，令a1=1,a2=2…,am=m,则对象 立。因此，(x,y）∈R:≥，(x,z)∈R≥，(y,z)∈ 在属性a下的取值转变为V。={1,2,…,m},其中 R≥成立的可能性是非常之小。这说明文献[12] '(x)为对象x在V。中转化的值。 提出的优势关系的划分粒度过大，容易把不属于优 定义6设10IS=(U,AT,V,f)是一个不完备 势类的对象归结到优势类中。针对文献[12]提出 序信息系统，对于Va CAT,Hx,y∈U,对象在属 的不完备序信息系统粗糙集模型的缺陷，文献[15] 性a下的取值为V。={a1,a2,,an},并且a1<a2 提出了基于限制优势关系的粗糙集模型。 <·<am,则对象x在属性集a下优于y的概率为 定义4]设101S=(U,AT,V)是一个不完 1,fx,a)≥f(y,a) 备序信息系统，对于ACAT,Hx,y∈U,对象在属 V(x) f(x,a)≠*八f(y,a)=* 性集A下的限制优势关系为 m Ri={(x,y)∈U|Ha∈A.f(x,a)≥ R.(x,y）= m-V(y)+1 fx,a)=*八fy,a)≠* fy,a)V(f(x,a)=max'。∧f(y,a)= m *V(f(x,a)=*Af(y,a)=minv)UI f八x,a)=*Af(y,a)=* 其中maxV。={v∈Va1veVa,v≥v}, m minV。={v∈V.I,v∈V.,≤v},Iu是一个确定 o.f(x,a)f(y,a) 从定义6中得知，在单属性下，2个对象优于的 关系，1u={(x,x)1xeU}。因此，[y]2={x∈ 程度在0和1之间。当对象x在属性a下取值完全 U1(x,y)∈R≥} 小于对象y的取值时，用数值0来表示对象x劣于 定义5s]设10S=(U,AT,V,)是一个不完 对象y的程度，即概率：当对象x在属性a下取值完 备序信息系统，HXCU,ACAT,对象集合X在优 全大于对象y的取值时，用数值1来表示对象x优 势关系R下关于属性集A二AT的上下近似集为 于对象y的程度。然而，当对象x和对象y有一个 RA(X)={x∈U1[x]∈X} 缺失值时，且对象在属性下取值的多样性，使得很难 Re(X)={x∈UI[x]enX≠⑦ 确定2个对象的优于程度：根据概率的含义，即在m 通过分析定义4提出的限制优势关系，可以得 个数中，有n个数优于一个确定数值的概率为n/m, 出文献[15]提出的限制优势关系过于严格，划分的 得出定义6,2个对象中有一个为缺失值时它们的优 粒度过细。例如：当x=(4,3,2,1),y=（*,*,2, 于程度。当2个对象都为缺失值时，没有根据可以 1)时，其中“4”表示属性值下最大的取值，“1”为属 判别它们之间优于程度，因此，运用1/m概率来表 性值下最小的取值。根据定义4分析可得：(x,y) 示，意味着优于程度很小。Ｒ － ∗≥ Ａ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ ［ｘ］ ∗≥ Ａ ⊆ Ｘ｝ Ｒ － ∗≥ Ａ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ ［ｘ］ ∗≥ Ａ ∩ Ｘ ≠ ⌀｝ 通过分析定义 ２，可以得出文献［１２］在不完备 序信息系统中提出的优势关系是以空值可以等于任 意值为假设前提的，即认为空值可以优于任意值，同 时又认为任意值可以优于空值，这显然不符合实际 情况。 例如：当 ｘ ＝ （１，１，∗）， ｙ ＝ （１，１，４）， ｚ ＝ （∗，∗，４） 时，其中“４”表示属性值下最大的取值， “１”为属性值下最小的取值。 根据定义 ２ 进行分析 可得： （ｘ，ｙ） ∈ Ｒ ∗≥ Ａ ， （ｘ，ｚ） ∈ Ｒ ∗≥ Ａ ，（ｙ，ｘ） ∈ Ｒ ∗≥ Ａ ， （ｙ，ｚ） ∈ Ｒ ∗≥ Ａ ，（ｚ，ｘ） ∈ Ｒ ∗≥ Ａ ， （ｚ，ｙ） ∈ Ｒ ∗≥ Ａ 成立。 然而事实上，缺失值 ∗ 优于属性值 ４ 以及属性值 １ 优于缺失值 ∗ 的可能性是非常之小，但是属性值 ４ 优于缺失值 ∗ 以及缺失值 ∗ 优于属性值 １ 必然成 立。 因此， （ｘ，ｙ） ∈ Ｒ ∗≥ Ａ ， （ｘ，ｚ） ∈ Ｒ ∗≥ Ａ ， （ｙ，ｚ） ∈ Ｒ ∗≥ Ａ 成立的可能性是非常之小。 这说明文献［１２］ 提出的优势关系的划分粒度过大，容易把不属于优 势类的对象归结到优势类中。 针对文献［１２］ 提出 的不完备序信息系统粗糙集模型的缺陷，文献［１５］ 提出了基于限制优势关系的粗糙集模型。 定义 ４ ［１５］ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完 备序信息系统，对于 Ａ ⊆ ＡＴ， ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ， 对象在属 性集 Ａ 下的限制优势关系为 Ｒ ∗ Ａ Ｌ≥ ＝ ｛（ｘ，ｙ） ∈ Ｕ ２ ｜ ∀ａ ∈ Ａ，ｆ（ｘ，ａ） ≥ ｆ（ｙ，ａ） ∨ （ｆ（ｘ，ａ） ＝ ｍａｘＶａ ∧ ｆ（ｙ，ａ） ＝ ∗） ∨ （ｆ（ｘ，ａ） ＝ ∗ ∧ ｆ（ｙ，ａ） ＝ ｍｉｎＶａ ）｝ ∪ ＩＵ 其中 ｍａｘＶａ ＝ ｛ｖ ∈ Ｖａ ｜ ∀ｖ ＇ ∈ Ｖａ ，ｖ ≥ ｖ ＇ ｝， ｍｉｎＶａ ＝ ｛ｖ ∈ Ｖａ ｜ ，∀ｖ ＇ ∈ Ｖａ ，ｖ ≤ ｖ ＇ ｝， ＩＵ 是一个确定 关系， ＩＵ ＝ ｛（ｘ，ｘ） ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 。 因此， ［ｙ］ ∗Ｌ≥ Ａ ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ （ｘ，ｙ） ∈ Ｒ ∗Ｌ≥ Ａ ｝ 定义 ５ ［１５］ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完 备序信息系统， ∀Ｘ ⊆ Ｕ， Ａ ⊆ ＡＴ， 对象集合 Ｘ 在优 势关系 Ｒ ∗Ｌ≥ Ａ 下关于属性集 Ａ ⊆ ＡＴ 的上下近似集为 Ｒ － ∗Ｌ≥ Ａ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ ［ｘ］ ∗Ｌ≥ Ａ ⊆ Ｘ｝ Ｒ － ∗Ｌ≥ Ａ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ ［ｘ］ ∗Ｌ≥ Ａ ∩ Ｘ ≠ ⌀｝ 通过分析定义 ４ 提出的限制优势关系，可以得 出文献［１５］提出的限制优势关系过于严格，划分的 粒度过细。 例如：当 ｘ ＝ （４，３，２，１），ｙ ＝ （∗，∗，２， １） 时，其中“４”表示属性值下最大的取值，“１”为属 性值下最小的取值。 根据定义 ４ 分析可得： （ｘ，ｙ） ∉ Ｒ ∗Ｌ≥ Ａ 。 然而，事实上， （ｘ，ｙ） ∈ Ｒ ∗Ｌ≥ Ａ 的可能性是 非常大。 这说明文献［１５］提出的限制优势关系划 分的粒度过细，容易把一些本该属于优势类的对象 误判为不是优势类的对象，这样容易导致提取决策 规则的不完全性。 基于此，在不完备序信息系统中， 有必要提出一种相对于文献［１２］提出的优势关系 以及文献［１５］提出的限制优势关系更加灵活的优 势关系。 ２ α 优势关系的粗糙集模型 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备序信息系 统，对于 ∀ａ ⊆ ＡＴ， ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ， 对象在属性 ａ 下的取 值为 Ｖａ ＝ ｛ａ１ ，ａ２ ，．．．．，ａｍ｝， 并且 ａ１ ＜ ａ２ ＜ ．．． ＜ ａｍ， 根据 Ｖａ 的排序，令 ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２，．．．，ａｍ ＝ ｍ， 则对象 在属性 ａ 下的取值转变为 Ｖ ＇ ａ ＝ ｛１，２，．．．．，ｍ｝， 其中 Ｖ ＇ ａ（ｘ） 为对象 ｘ 在 Ｖ ＇ ａ 中转化的值。 定义 ６ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 序信息系统，对于 ∀ａ ⊆ ＡＴ， ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ， 对象在属 性 ａ 下的取值为 Ｖａ ＝ ｛ａ１ ，ａ２ ，．．．，ａｍ ｝， 并且 ａ１ ＜ ａ２ ＜ ．．． ＜ ａｍ ， 则对象 ｘ 在属性集 ａ 下优于 ｙ 的概率为 Ｒａ（ｘ，ｙ） ＝ １，ｆ（ｘ，ａ） ≥ ｆ（ｙ，ａ） Ｖ ＇ ａ（ｘ） ｍ ，ｆ（ｘ，ａ） ≠ ∗ ∧ ｆ（ｙ，ａ） ＝ ∗ ｍ － Ｖ ＇ ａ（ｙ） ＋ １ ｍ ，ｆ（ｘ，ａ） ＝ ∗∧ｆ（ｙ，ａ） ≠∗ １ ｍ ，ｆ（ｘ，ａ） ＝ ∗ ∧ ｆ（ｙ，ａ） ＝ ∗ ０，ｆ（ｘ，ａ） ＜ ｆ（ｙ，ａ） ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 从定义 ６ 中得知，在单属性下，２ 个对象优于的 程度在 ０ 和 １ 之间。 当对象 ｘ 在属性 ａ 下取值完全 小于对象 ｙ 的取值时，用数值 ０ 来表示对象 ｘ 劣于 对象 ｙ 的程度，即概率；当对象 ｘ 在属性 ａ 下取值完 全大于对象 ｙ 的取值时，用数值 １ 来表示对象 ｘ 优 于对象 ｙ 的程度。 然而，当对象 ｘ 和对象 ｙ 有一个 缺失值时，且对象在属性下取值的多样性，使得很难 确定 ２ 个对象的优于程度；根据概率的含义，即在 ｍ 个数中，有 ｎ 个数优于一个确定数值的概率为 ｎ ／ ｍ， 得出定义 ６，２ 个对象中有一个为缺失值时它们的优 于程度。 当 ２ 个对象都为缺失值时，没有根据可以 判别它们之间优于程度，因此，运用 １ ／ ｍ 概率来表 示，意味着优于程度很小。 第 ２ 期 韦碧鹏，等： α 优势关系下粗糙集模型的属性约简 ·２５３·