.252 智能系统学报 第9卷 模型：Kryszkiewicz!)提出了基于容差关系的粗糙集 实中的数据集。此外，基于α优势关系的粗糙集模 模型，把不完备信息系统中的缺失值看作是遗漏型 型，给出了不完备序信息系统和序决策系统的区分 的，即可以和任意的对象进行比较：Stefanowski等[o) 矩阵属性约简算法，并表明了其区分矩阵只能运用 提出了基于非对称相似关系和量化容差关系的粗糙 属性集的幂集进行构造，而不能简单地运用单属性 集模型，把不完备信息系统中的缺失值看作是缺席 集进行构造。 型的：为了克服扩展模型的不足，王国胤[]又给出 1 了基于限制容差关系的粗糙集模型。这方面的更多 基本概念 研究，可以查看文献[8-10]。 四元组IS=(U,AT,V,f),其中U是非空有限 在现实世界中，很多的信息系统其属性值域可 的对象集合，AT是非空有限的属性集合，AT为条 能具有偏序性。此时，经典粗糙集方法显得无能为 件属性集，V=UV。,且V。是属性a的值域，满足 力。为了能够处理具有偏序关系的信息系统，Greco f:U×a→Vn(Hx∈U,a∈AT),称四元组1S为一 等提出了基于优势关系的粗糙集模型，即运用优 个信息系统。 势关系代替等价关系。为了让优势关系下的粗糙集 若存在一个属性a∈AT使得V,为空值（记作： 模型能够同时处理缺失值，Shao等[]把不完备序信 f(x,α)=*)，则称该信息系统是不完备的信息系 息系统中的缺失值看作是遗漏型的，提出了基于优 统，记作：S;否则称为完备的信息系统。 势关系的不完备序信息系统，并讨论了属性约简和 定义1)设S=(U,AT,V,)是一个完备信 规则提取。针对文献[12]提出的优势关系过于宽 息系统，对于A≤AT,Hx,y∈U,有： 松，容易将实际不满足条件的对象误判为同一个优 R={(x,y)eU×Ulfx,a)≥fy,a),Ha∈A 势类，胡明礼等)通过引入一个阈值得到了广义扩 则称R为信息系统下的优势关系，满足这种关系 展优势关系的概念，并对规则提取进行了重新考虑。 的完备信息系统称之为序信息系统，记作：OIS。 此外，针对优势系统中缺失值是缺席型的情况，杨习 记：[x]={y∈U川(y,x)eR}={y∈U川 贝等4)提出了相似优势关系的粗糙集模型，并对属 fy,a)≥f(x,a),a∈A} 性约简做了研究。然而这并没有弥补文献[12]提 为对象x在序信息系统中的优势类，且 出的优势关系过于宽松的缺陷，并且改进后的模型 U/R={[x]Ix∈U}。 还容易将一些本属于同一决策类的对象误判为不同 定义2设S=(U,AT,V,)是一个不完备 决策类。这在一定程度上会影响文献[12]提出的 信息系统，对于A二AT,Hx,y∈U,有 模型决策分析的效果。因此，Lo等[s进一步又给 R≥={(x,y）eU×U川Ha∈Afx,a)≥ 出了限制优势粗糙集模型，既可以避免文献[12]提 f(y,a)Vf(x,a)=*Vf(y,a)=* 出的优势关系过于宽松的现象，又不容易将一些本 则称R≥是不完备信息系统上的一个优势关系，满 属于同一决策类的对象误判为不同的决策类。但文 足具有优势关系的不完备信息系统称之为不完备序 献[15]提出的限制优势关系在某些情况下又显得 信息系统，记作：IOIS。 过于严格，例如：当2个对象在各属性下的取值为 通过R:的定义，显然可以看出，在条件属性 x=(4,3,2,1),y=（*,*,2,1)时，且各属性值域 集A下，对象x优于对象y。 的最大值均为4，那么根据文献[15]提出的限制优 记：[y]≥={x∈U1(x,y)∈R},则 势关系，对象x是不优于对象y的：可现实生活中， [y]:≥描述的是：论域中的对象在条件属性A下，优 对象x优于对象y的可能性是非常大的，这有可能 于或者等于对象y的集合，简称为对象y的优势类。 导致数据集中的决策规则没有充分提取。 因此，U/R:≥中所有的优势类构成了论域U的覆 基于此，本文在分析不完备序信息系统中现有 盖，而不是论域U的划分，即UU/R≥=U。 的几种扩展粗糙集模型的基础上，提出了基于α优 定义3)设10IS=(U,AT,V,)是一个不完 势关系的粗糙集模型，它既吸收了其他扩展模型的 备序信息系统，HXCU,ACAT,对象集合X在优 优点，又能有效克服它们的局限性，更有利于处理现 势关系R:≥下关于属性集A二AT的上下近似集为模型：Ｋｒｙｓｚｋｉｅｗｉｃｚ ［５］提出了基于容差关系的粗糙集 模型，把不完备信息系统中的缺失值看作是遗漏型 的，即可以和任意的对象进行比较；Ｓｔｅｆａｎｏｗｓｋｉ 等［６］ 提出了基于非对称相似关系和量化容差关系的粗糙 集模型，把不完备信息系统中的缺失值看作是缺席 型的；为了克服扩展模型的不足，王国胤［７］ 又给出 了基于限制容差关系的粗糙集模型。 这方面的更多 研究，可以查看文献［８⁃１０］。 在现实世界中，很多的信息系统其属性值域可 能具有偏序性。 此时，经典粗糙集方法显得无能为 力。 为了能够处理具有偏序关系的信息系统，Ｇｒｅｃｏ 等［１１］提出了基于优势关系的粗糙集模型，即运用优 势关系代替等价关系。 为了让优势关系下的粗糙集 模型能够同时处理缺失值，Ｓｈａｏ 等［１２］把不完备序信 息系统中的缺失值看作是遗漏型的，提出了基于优 势关系的不完备序信息系统，并讨论了属性约简和 规则提取。 针对文献［１２］提出的优势关系过于宽 松，容易将实际不满足条件的对象误判为同一个优 势类，胡明礼等［１３］通过引入一个阈值得到了广义扩 展优势关系的概念，并对规则提取进行了重新考虑。 此外，针对优势系统中缺失值是缺席型的情况，杨习 贝等［１４］提出了相似优势关系的粗糙集模型，并对属 性约简做了研究。 然而这并没有弥补文献［１２］ 提 出的优势关系过于宽松的缺陷，并且改进后的模型 还容易将一些本属于同一决策类的对象误判为不同 决策类。 这在一定程度上会影响文献［１２］ 提出的 模型决策分析的效果。 因此，Ｌｕｏ 等［１５］ 进一步又给 出了限制优势粗糙集模型，既可以避免文献［１２］提 出的优势关系过于宽松的现象，又不容易将一些本 属于同一决策类的对象误判为不同的决策类。 但文 献［１５］提出的限制优势关系在某些情况下又显得 过于严格，例如：当 ２ 个对象在各属性下的取值为 ｘ ＝（４，３，２，１），ｙ ＝ （∗，∗，２，１） 时，且各属性值域 的最大值均为 ４，那么根据文献［１５］提出的限制优 势关系，对象 ｘ 是不优于对象 ｙ 的；可现实生活中， 对象 ｘ 优于对象 ｙ 的可能性是非常大的，这有可能 导致数据集中的决策规则没有充分提取。 基于此，本文在分析不完备序信息系统中现有 的几种扩展粗糙集模型的基础上，提出了基于 α 优 势关系的粗糙集模型，它既吸收了其他扩展模型的 优点，又能有效克服它们的局限性，更有利于处理现 实中的数据集。 此外，基于 α 优势关系的粗糙集模 型，给出了不完备序信息系统和序决策系统的区分 矩阵属性约简算法，并表明了其区分矩阵只能运用 属性集的幂集进行构造，而不能简单地运用单属性 集进行构造。 １ 基本概念 四元组 ＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ）， 其中 Ｕ 是非空有限 的对象集合， ＡＴ 是非空有限的属性集合， ＡＴ 为条 件属性集， Ｖ ＝ ∪ａ∈ＡＴ Ｖａ ， 且 Ｖａ 是属性 ａ 的值域，满足 ｆ ａ ：Ｕ ×ａ→Ｖａ （ ∀ｘ∈Ｕ，ａ∈ＡＴ）， 称四元组 ＩＳ 为一 个信息系统。 若存在一个属性 ａ ∈ ＡＴ 使得 Ｖａ 为空值（记作： ｆ（ｘ，ａ） ＝ ∗ ），则称该信息系统是不完备的信息系 统，记作： ＩＩＳ ；否则称为完备的信息系统。 定义 １ ［１１］ 设 ＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个完备信 息系统，对于 ∀Ａ ⊆ ＡＴ， ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ， 有： Ｒ ≥ Ａ ＝ ｛（ｘ，ｙ） ∈Ｕ × Ｕ ｜ ｆ（ｘ，ａ） ≥ｆ（ｙ，ａ），∀ａ ∈Ａ｝ 则称 Ｒ ≥ Ａ 为信息系统下的优势关系，满足这种关系 的完备信息系统称之为序信息系统，记作： ＯＩＳ 。 记： ［ｘ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｙ ∈ Ｕ ｜ （ｙ，ｘ） ∈ Ｒ ≥ Ａ ｝ ＝ ｛ｙ ∈ Ｕ ｜ ｆ（ｙ，ａ） ≥ ｆ（ｘ，ａ），∀ａ ∈ Ａ｝ 为对 象 ｘ 在 序 信 息 系 统 中 的 优 势 类， 且 Ｕ／ Ｒ ≥ Ａ ＝｛［ｘ］ ≥ Ａ ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 。 定义 ２ ［１２］ 设 ＩＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完备 信息系统，对于 Ａ ⊆ ＡＴ， ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ， 有 Ｒ ∗≥ Ａ ＝ ｛（ｘ，ｙ） ∈ Ｕ × Ｕ ｜ ∀ａ ∈ Ａ，ｆ（ｘ，ａ） ≥ ｆ（ｙ，ａ） ∨ ｆ（ｘ，ａ） ＝ ∗ ∨ ｆ（ｙ，ａ） ＝ ∗｝ 则称 Ｒ ∗≥ Ａ 是不完备信息系统上的一个优势关系，满 足具有优势关系的不完备信息系统称之为不完备序 信息系统，记作： ＩＯＩＳ 。 通过 Ｒ ∗≥ Ａ 的定义，显然可以看出，在条件属性 集 Ａ 下，对象 ｘ 优于对象 ｙ 。 记： ［ｙ］ ∗≥ Ａ ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ （ｘ，ｙ） ∈ Ｒ ∗≥ Ａ ｝， 则 ［ｙ］ ∗≥ Ａ 描述的是：论域中的对象在条件属性 Ａ 下，优 于或者等于对象 ｙ 的集合，简称为对象 ｙ 的优势类。 因此， Ｕ／ Ｒ ∗≥ Ａ 中所有的优势类构成了论域 Ｕ 的覆 盖，而不是论域 Ｕ 的划分，即 ∪ Ｕ／ Ｒ ∗≥ Ａ ＝ Ｕ 。 定义 ３ ［１２］ 设 ＩＯＩＳ ＝ （Ｕ，ＡＴ，Ｖ，ｆ） 是一个不完 备序信息系统， ∀Ｘ ⊆ Ｕ， Ａ ⊆ ＡＴ， 对象集合 Ｘ 在优 势关系 Ｒ ∗≥ Ａ 下关于属性集 Ａ ⊆ ＡＴ 的上下近似集为 ·２５２· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷