B=( 若要估计β1,β2,…βp的线性函数 P=C1B1+C2B2+…+CpBp (5-7) 则P=c'B 称为P的最小二乘估计。 对于02的估计记 R2=(Y-XB)(-B)=(-BX)Y-B)由(5-6)式有 Ro=YY-YXB=YY-BXr (5-8) 称R2为残差平方和,记r为X的秩,则 R6/ 为σ2的无偏估计 最小二乘估计的性质有: E(B)=EICXX-XY=(XX)XEY=(XX)XXB=B (5-10) Var(B)=Var(X X)XY=(XX)Xo IX(XX) (5-11) (r-X-YY(XX-1=0(Xr) 类似地 E(CB)=CB Var(CP=oIC(XX)] (5-13) 即:B、C'B分别为β、Cβ的唯一最小方差线性无偏估计,简称BLUE( Best linear unbiased estimator 2、当(X′X)不可逆时,(5-5)式无唯一解,B有无穷多解,此时常对β加上一个约束条件 HB=O (5-14) 使B的各分量不独立,从(5-14)可解出B与其中独立的那部分分量间的关系: B=T B(O) (5-15) βo)是B中在约束(5-14)下,独立的那些分量构成的向量(维数<P),于是原模型(5-4)变成 「EY=(XTB0 (5-16) vAry=oI 对于β0而言,又成为无约束问题了,所以上述(5-5)至(5-13)仍可适用,只须将其中X改为 XT,B改为B0),于是有正规方程 (XT)′(XT)B0)=(XT)′Y (5-17) 解出Bo,并由(5-15)式得到B,这时B、CB是在HB=0约束条件下的唯一的BLUE,记Bm0。 、对于参数的假设检验,即检验:H1B=0 Ro/ox(n-r (5-18) 其中r=rank(X),即X阵的秩 2、在约束H1B=0下 RH=(Y-XBH(Y-XBH) (5-19) 可以证明 R.a2~x2(d1) (5-20)56  ˆ =(X＇X)—1X＇Y （5—6） 若要估计β1，β2，…βp 的线性函数 P=C1β1+C2β2+…+Cpβp （5—7） 则 ˆ  ˆ P = c  C＇=（C1，C2，…Cp） 称为 P 的最小二乘估计。 对于σ2 的估计记： ) ˆ )( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ( 2 R0 = Y − X  Y − X = Y − X  Y − X 由（5—6）式有 R = YY −YX = YY − X Y 2 ˆ ˆ 0 （5—8） 称 2 R0 为残差平方和，记 r 为 X 的秩，则 ˆ = R / n − r 2 0 2  （5—9） 为σ2 的无偏估计。 最小二乘估计的性质有：  =   =   =    =  − − − E E X X X Y X X X EY X X X X 1 1 1 ) [( ) ] ( ) ( ) ˆ ( （5—10） 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ) [( ) ] ( ) ( ) ˆ ( − − − − − − − =   =  =   =    X X X X X X I X X Var Var X X X Y X X X IX X X     （5—11） 类似地： E(C ˆ ) = C （5—12） ) [ ( ) ] ˆ ( 2 1 Var C C X X C −  =    （5—13） 即：  ˆ 、C＇ ˆ 分别为β、C＇β的唯一最小方差线性无偏估计，简称 BLUE（Best Linear Unbiased Estimator） 2、当（X＇X）不可逆时，（5—5）式无唯一解，  ˆ 有无穷多解，此时常对β加上一个约束条件 Hβ=0 （5—14） 使β的各分量不独立，从（5—14）可解出β与其中独立的那部分分量间的关系： β=Tβ(0) （5—15） β(0)是β中在约束（5—14）下，独立的那些分量构成的向量(维数<P)，于是原模型（5—4）变成    = = VarY I EY XT 2 (0) ( )   （5—16） 对于β(0)而言，又成为无约束问题了，所以上述（5—5）至（5—13）仍可适用，只须将其中 X 改为 XT，β改为β(0)，于是有正规方程 （XT）＇（XT）β(0) =（XT）＇Y （5—17） 解出β(0)，并由（5—15）式得到  ˆ ，这时  ˆ 、C  ˆ  是在 Hβ=0 约束条件下的唯一的 BLUE，记 0 ˆ  H 。 三、对于参数的假设检验，即检验：H1β=0 1、 2 2 RO / ～ ( ) 2  n − r （5—18） 其中 r=rank(X)，即 X 阵的秩。 2、在约束 H1β=0 下 ) ˆ ) ( ˆ ( 1 1 1 2 RH Y X H Y − X H = −  （5—19） 可以证明 2 2 / 1 RH  ～ ( ) 1 2  d （5—20）