第七章定积分的应用 综例:设∫(x)在[a,b上连续且单调增,证明: a+b xf(x)dx≥ f(x)do 证法一]利用变上限定积分,利用单调性: 令F()10(0-=2丁(Mh,xea 因为∫(x)在ab上连续,故有 F(x)=xf(x) √J(l-如+x 1∫1(x)-f(ou 因f(x)在{ab]上单调增,有F(x)≥0 从而,F(x)在[a,b]上单调增 又F(a)=0,所以有F(b)≥F(a)=0,即 x(r)dxa+brb 2J,J(r)dx [证法二]利用定积分的性质 因∫(x)在[a,b上单调增,故有 a )(f(x)-f()≥0 a+b 从而(x X(x)-/*b )dx≥0 注意到x-a+b=0,从而, a+ a+b 于是有「(x )f(x)dx≥0,即 J(x)22(x) 证法三]利用积分中值定理: 9+b~) 9+p-r of(x)dx+L( Gr=a+b of(xdx =/5)(x-a+b d+f(52)(x 2 第七章定积分的应用第七章 定积分的应用 第七章 定积分的应用 综例: 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续且单调增，证明：   +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) . [证法一] 利用变上限定积分，利用单调性： 令   + = − x a x a f t dt a x F x tf t dt ( ) 2 ( ) ( ) ， x [a,b] 因为 f (x) 在 [a,b] 上连续，故有    = − − − = +  = − − x a x a x a f x f t dt f x f t dt x a f x a x F x xf x f t dt [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 因 f (x) 在 [a,b] 上单调增，有 F(x)  0 ， 从而， F(x) 在 [a,b] 上单调增 又 F(a) = 0 ，所以有 F(b)  F(a) = 0 ，即   +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) [证法二] 利用定积分的性质： 因 f (x) 在 [a,b] 上单调增，故有 )) 0 2 )( ( ) ( 2 (  + − + − a b f x f a b x 从而 )) 0 2 )( ( ) ( 2 (  + − + −  b a dx a b f x f a b x 注意到 ) 0 2 ( = + −  b a dx a b x ，从而， ) 0 2 ) ( 2 ( = + + −  b a dx a b f a b x 于是有 ) ( ) 0 2 (  + −  b a f x dx a b x ， 即   +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) [证法三] 利用积分中值定理：      + + + + + + − + = − + + − + = − + − b a b a b a a b a b a b a b dx a b dx f x a b f x f x dx a b f x dx x a b x f x dx a b x 2 2 2 2 ) 2 ) ( ) ( 2 ( ) ( ) ( ) 2 ) ( ) ( 2 ( ) ( ) 2 (  1  2